【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案5．1《平面向量的概念及线性运算》(含详解).doc，共(8)页，307.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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15．1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模)．AB→的模记作_________

___．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量．a||a是一个与a同向的____________．－a|a|是一个与a________的

单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度__________

__且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用_________

___表示；用________表示．2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为____

____的向量OB→就是a与b的________(如图1)．推广：A1A2→＋A2A3→＋„＋An－1An＝____________．图1图2②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，BC→＝AD

→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a＋b＝____________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)；a＋0＝____________＝a．(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取

一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作___________

_，它的长度与方向规定如下：①||λa＝____________；②当λ>0时，λa与a的方向____________；当λ<0时，λa与a的方向____________；当λ＝0时，λa＝____________．(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝_________

___；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________．4．两个向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠：1．(1)大小方向长度||AB→(2)长度为0

任意(3)1个单位长度单位向量方向相反(4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反2(7)字母有向线段坐标2．(1)①起点终点和A1An→②对角线AC→③b＋aa＋(b＋c)0＋a(2)a－b3．(1)λa①|λ||a|②相同相反0(2)①μ(λa)②λa＋μa③λa

＋λb4．b＝λa设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：向量是

既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|

a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．故选D．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于()A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C．BC→－12BA→D．BC→＋12BA→解：如图，CD→＝

CB→＋BD→＝CB→＋12BA→＝－BC→＋12BA→．故选A．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，所以“a＋

b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A．(2019届武汉新高三起点考试)已知a＝(1，－1)，与a方向相同的单位向量为________．解：与a方向相同的单位向量为a|a|＝12(1，－1)＝22，－22．故填2

2，－22．直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP→＝OA→＋12(AB→＋AC→)，则|AP→|＝________．解：如图，取BC边中点D，连接AD，则12(AB→＋AC→)＝AD→，OP→＝OA→＋12(AB→＋AC→)⇒OP→

＝OA→＋AD→⇒OP→－OA→＝AD→⇒AP→＝AD→，因此|AP→|＝|AD→|＝1．故填1．类型一向量的基本概念(2017·海淀期末)下列说法正确的是()A．长度相等的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．AB→∥CD→就是A

B→所在的直线平行于CD→所在的直线解：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当AB→∥CD→时，AB→所在的直线与CD→所在的直线可能重合，故D不正确．故

选C．点拨：从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及3特征逐一进行考察．①向量定义的关键是方向和长度．②非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．③相等向量的关键是方向相同且长度相等．④共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．⑤向量

可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同

或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A，B，C，D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确

，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b为零向量，则a与c不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，

可以比较大小．故填⑤．类型二向量的线性运算(1)(2018新疆维吾尔自治区高三二模)已知A、B、C三点不共线，且点O满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则下列结论正确的是()A．OA→＝13AB→＋23BC→B．O

A→＝－23AB→－13BC→C．OA→＝－13AB→－23BC→D．OA→＝23AB→＋13BC→解：因为OA→＋OB→＋OC→＝0，所以点O为△ABC的重心，所以OA→＝－23×12(AB→＋AC→)＝－13(AB→＋A

C→)＝－13(AB→＋AB→＋BC→)＝－23AB→－13BC→．故选B．(2)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→．若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________．解：因为AM→＝2MC→，所以AM→＝23AC→．因

为BN→＝NC→，所以AN→＝12(AB→＋AC→)，所以MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AC→)－23AC→＝12AB→－16AC→，所以x＝12，y＝－16．故填12；－16．点拨：①进行向量的线性运算时，要尽可能转化

到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．②除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接

关系的向量来求解．③在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．(1)在平行四边形ABCD中

，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A．14a＋12bB．23a＋13bC．12a＋14bD．13a＋23b解：如图，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝4DF∶AB，所以DF→＝13AB→，所以AF→＝AD→

＋DF→＝AO→＋OD→＋13AB→＝12a＋12b＋1312a－12b＝23a＋13b．故选B．(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．解：在平行四边形中，有AC→＝AB→＋A

D→，因E，F分别为CD、BC的中点，所以AE→＝12(AC→＋AD→)，AF→＝12(AB→＋AC→)，则AE→＋AF→＝12(AD→＋AB→＋2AC→)＝32AC→，所以AC→＝23AE→＋23AF→，所以λ＝μ＝23，则λ＋μ＝43．故填43．类型三向量共线的充

要条件及其应用(1)设两个非零向量a和b不共线．若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝

BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线．又AB→与BD→有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)(2017·资阳二模)设a与b是两个不共线的向量，AB→＝3a＋2b，CB→＝ka＋b，CD→＝3a

－2kb，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．－94B．－49C．－38D．－83解：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→．又BD→＝CD→－CB→＝3a－2kb－(ka＋b)＝(3－k)a－(2k＋1)b

，所以3a＋2b＝λ(3－k)a－λ(2k＋1)b，所以3＝λ（3－k），2＝－λ（2k＋1），解得k＝－94．故选A．点拨：平面向量共线定理的三个应用：①证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．②证明三点共线：若

存在实数λ，使AB→＝λAC→，AB→与AC→有公共点A，则A，B，C三点共线．③求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．另注意如下定理：O是平面内任一点，则平面内不同的三点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得O

C→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1．(1)(2017·温州八校检测)设向量a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解：因为BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，所以BD→＝BC→＋CD→＝

2a－b．又因为A，B，D三点共线，所以AB→，BD→共线．设AB→＝λBD→，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1．故选B．(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b

＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________．解：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na．又a与5c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0．故填0．1．准确理解向

量的概念，请特别注意以下几点．(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形．(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b．(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行．(4)对于任意非零向量a，a||a是与a同向的单位

向量，这也是求单位向量的方法．(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上．(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．

向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合

，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记“起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝

λa)中条件“a≠0”的理解．(1)当a＝0时，a与任一向量b都是共线的．(2)当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0．换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“

存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解：因为a，b是两个非零向

量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．故选D．2．(2018·重庆高三二诊)已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为()A．5B．3C．52D．2解：因为向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，所以存在实数t，使得m＝tn

，即4a＋5b＝t(2a＋λb)，又向量a，b互相垂直，故a，b不共线，所以2t＝4，tλ＝5，解得t＝2，λ＝52．故选C．3．(2018届黑龙江统一仿真模拟（一）)点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点)，设BG→＝a，GC→＝b，则AB→＝

()A．32a－12bB．32a＋12bC．2a－bD．b－2a解：如图，EB→＋BG→＝EG→，即12AB→＋BG→＝12GC→，故AB→＝GC→－2BG→＝b－2a．故选D．4．(东北育才学校2018届高三模拟)在△ABC6中，若AB→＋AC→＝4AP→，则CP→＝()A．34AB→－

14AC→B．－34AB→＋14AC→C．14AB→－34AC→D．－14AB→＋34AC→解：因为AB→＋AC→＝4AP→，所以AP→＝14(AB→＋AC→)，CP→＝AP→－AC→＝14(AB→＋A

C→)－AC→＝14AB→－34AC→．故选C．5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解：由

已知得，AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，故AD→∥BC→．又因为AB→与CD→不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C．6．在△ABC中，

点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A．0，12B．0，13C．－12，0D．－13，0解法一：由已知有AC→＋CO→＝xAB→＋AC→－xAC→，

则CO→＝x(AB→－AC→)＝xCB→，所以x∈－13，0．解法二：设CO→＝yBC→，因为AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)＝－yAB→＋(1＋y)AC→．因为BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈0，1

3，因为AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，所以x＝－y，所以x∈－13，0．故选D．7．(2017·上海黄浦调研)向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，

D共线．其中所有正确结论的序号为________．解：由AC→＝AB→－CB→＝4e1＋2e2＝2CD→，且AB→与CB→不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．故填④．8．(2018·江西八校4月联考)点M为△ABC所在平面内一

动点，且M满足：AM→＝13λAB→＋23(1－λ)AC→，|AC|＝3，A＝π3，若点M的轨迹与直线AB，AC围成封闭区域的面积为32，则|BC|＝________．解：设AD→＝13AB→，AE→＝23AC→，则|AE|＝2．因为M满足AM→＝13λAB

→＋23(1－λ)AC→，所以AM→＝λAD→＋(1－λ)AE→，所以M，D，E三点共线，所以M点轨迹为直线DE．因为点M的轨迹与直线AB，AC围成封闭区域的面积为32，所以12|AD|·|AE|sinA＝32，即12|AD|·2sinπ3＝32，所以|AD|＝1，即|AB|＝3．所以|A

B|＝|AC|，所以△ABC为等边三角形，所以|BC|＝3．故填3．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA→＝a，BC→＝b，试用a，b表示向量EF→，DF→，CD→．7解：EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－16

b－a＋12b＝13b－a，DF→＝DE→＋EF→＝－16b＋13b－a＝16b－a，CD→＝CF→＋FD→＝－12b－16b－a＝a－23b．10．在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试

用a，b表示AG→．解法一：AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋23(AE→－AB→)＝AB→＋2312AC→－AB→＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b．解法二：由于G是△ABC的中线BE与CF的

交点，所以G为△ABC的重心．延长AG交BC于H，由重心的性质知，AG→＝23AH→＝23×12(AB→＋AC→)＝13a＋13b．11．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证

：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．解：(1)证明：因为AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，所以AC→

＝AB→＋BC→＝4e1＋e2＝－12(－8e1－2e2)＝－12CD→，所以AC→与CD→共线．又因为AC→与CD→有公共点C，所以A，C，D三点共线．(2)AC→＝AB→＋BC→＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，因为A，C，D三点共线，所以AC

→与CD→共线，从而存在实数λ使得AC→＝λCD→，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得3＝2λ，－2＝－λk，解得λ＝32，k＝43．故k的值为43．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB→，BC→分别为a，b，则AH→＝()A．25a－4

5bB．25a＋45bC．－25a＋45bD．－25a－45b解：如图，过点F作BC的平行线交DE于点G，则G是DE的中点，且GF→＝12EC→＝14BC→，所以GF→＝14AD→，则△AHD∽△FHG，从而FH→＝14HA

→，所以AH→＝45AF→，AF→＝AD→＋DF→＝b＋12a，所以AH→＝45b＋12a＝25a＋45b．故选B．8