【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案4．5《三角恒等变换》(含详解).doc，共(9)页，309.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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4．5三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝____________________.(2)cos(α±β)＝____________________.(3)tan(α±β)＝____________________.2．二倍

角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝______________．(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．(3)tan2α＝_______________

_____.3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sinα2＝±1－cosα2.(2)cosα2＝±1＋cosα2.(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±

sinα＝____________________；1＋cosα＝____________________；1－cosα＝____________________．(2)降幂公式：sin2α＝____________________；cos2α＝________________

____．(3)tanα±tanβ＝______________________；tanαtanβ＝tanα－tanβtan（α－β）－1＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）.(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，

其中cosφ＝____________________，sinφ＝__________________，或tanφ＝________________，φ角所在象限与点(a，b)所在象限________，φ

角的终边经过点(a，b)．自查自纠：1．(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ∓sinαsinβ(3)tanα±tanβ1∓tanαtanβ2．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α(3)2tanα

1－tan2α4．(1)sinα2±cosα222cos2α22sin2α2(2)1－cos2α21＋cos2α2(3)tan(α±β)(1∓tanαtanβ)(4)aa2＋b2ba2＋b2ba相同sin20°cos10°－cos

160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.故选D.(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解：cos2α＝1－2sin2α＝

1－29＝79.故选B.(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.15解：f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝15sinx·12＋cosx·

32＋cosx·32＋sinx·12＝35sinx＋335cosx＝35·2sinx＋π3＝65sinx＋π3，最大值为65.故选A.(2017·江苏)若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解：tanα＝tan

α－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.故填75.(东莞2018考前冲刺)化简cos2x－π4＋sin2x＋π4＝________.解：cos2x－π4＋sin2x＋π4＝

1＋cos2x－π22＋1－cos2x＋π22＝12(1＋sin2x＋1＋sin2x)＝1＋sin2x.故填1＋sin2x.类型一非特殊角求值问题(1)(2017·山东)已知cosx＝34，则cos2x＝()A．－14B.14C．－1

8D.18解：由cosx＝34得cos2x＝2cos2x－1＝2³342－1＝18.故选D.(2)(教材复习参考题)sin50°(1＋3tan10°)＝________.解：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°

1＋3³sin10°cos10°＝sin50°³cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°³2³12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos1

0°cos10°＝1.故填1.(3)(福建漳州2017届八校联考)已知tanα＝2(α∈(0，π))，则cos52π＋2α＝()A.35B.45C．－35D．－45解：由tanα＝2得sinα＝2cosα，s

in2α＋cos2α＝1，得4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝15，cos52π＋2α＝cosπ2＋2α＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－4cos2α＝－45.故选D.点拨：解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；

③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．(1)(2016·四川)cos2π8－sin2π8＝________.解：根据二倍角公式有cos2π8

－sin2π8＝cosπ4＝22.故填22.(2)3tan12°－3sin12°（4cos212°－2）＝________.解：3tan12°－3sin12°（4cos212°－2）＝3（sin12°－3cos12°）2cos24°

sin12°cos12°＝23sin（12°－60°）12sin48°＝－43.故填－43.(3)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于()A.3B.33C．－33D．－3解：因为tan120°＝tan70°＋

tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.故选D.类型二给值求值问题(1)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．解：tanβ＝ta

n[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17＋21－27＝3.故填3.(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝

__________．解：因为sinα＋cosβ＝1①，cosα＋sinβ＝0②，所以①2＋②2得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.故填－12.(3)(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝

________.解：tanα－5π4＝tanα－tan5π41＋tanα·tan5π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.故填32.点拨：应用三角恒等变换公式求值的三个变换：①变角，目的是沟通题

设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆

用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．(1)(2018·济南调研)已知sinα＋π6－cosα＝13，则cos2α－π3＝()A．－518B.518C．－79D.79解：由sinα＋π6－cosα＝13，得32s

inα＋12cosα－cosα＝sinα－π6＝13，得cos2α－π3＝1－2sin2α－π6＝1－29＝79.故选D.(2)已知tanα2＝3，则cosα＝()A.45B．－45C.415D．－35解：cosα＝cos2α2－sin2α

2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.故选B.(3)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)

的值等于()A．－12B.12C．－13D.2327解：因为α∈0，π2，2α∈(0，π)，cosα＝13，所以cos2α＝2cos2α－1＝－79，sin2α＝1－cos22α＝429.而α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，

π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79³－13＋429³223＝2327.故选D.类型三给值求角问题(福州外校2017届高三适应性

考试)已知A，B均为钝角，sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，且sinB＝1010，则A＋B＝()A.3π4B.5π4C.7π4D.7π6解：由题意知12(1－cosA)＋12cosA－32sinA＝12－151

0，得sinA＝55，sinB＝1010.A，B均为钝角，π<A＋B<2π，cosA＝－255，cosB＝－31010，cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255³－31010－55³1010＝

22>0，那么，3π2<A＋B<2π，所以A＋B＝7π4.故选C.点拨：给值求角问题，可转化为“给值求值”问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的范围及函数的单调性可求得角．(2016·苏北四市调研)已知π2<α<π，－π<β<0，tanα＝－13，tanβ＝－17，则

2α＋β等于________．解：tan2α＝2tanα1－tan2α＝2³－131－－132＝－34，tan(2α＋β)＝tan2α＋tanβ1－tan2αtanβ＝－34－171－－34³－17＝－1.因为π2<α<π，－1<tanα＝－13<0，所以

34π<α<π，32π<2α<2π.①又－π<β<0，tanβ＝－17<0，所以－π2<β<0.②由①②知，π<2α＋β<2π.又tan(2α＋β)＝－1，所以2α＋β＝7π4.故填7π4.类型四三角恒等变换与三角函数

性质的综合应用(2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解：(1)f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＝32s

in2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin2x－π6＋12.因为x∈－π3，m，所以2x－π6∈－5π6，2m－π6.要使得f(x)

在－π3，m上的最大值为32，则需sin2x－π6在－π3，m上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.点拨：化简时要注意特殊角的三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负．已知函数f(x)＝sin

π2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．解：(1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsin

x－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，因此f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，f(x)的最大值为1－32.(2)当x∈π6，2π3时，有0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2时，即π6≤x≤5π1

2时，f(x)单调递增；当π2≤2x－π3≤π时，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增，在5π12，2π3上单调递减．1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第

一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2．余弦的

差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的．3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理

后使用．4．熟知一些恒等变换的技巧(1)公式的正用、逆用及变形用．(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等．(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要

重视常数“1”的各种变形，例如：1＝tanπ4，1＝sin2α＋cos2α等．(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的

分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．(2016·韶关1月调研)cos2165°－sin215°＝()A.12B.22C.32D.33解

：cos2165°－sin215°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.故选C.2．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解：sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2³3＝6.故选D.3．(传统经典题)已知sinα＝55

，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6解：因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又si

nα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55³31010－255³－1010＝22.所以β＝π4.故选C.4．(河南南阳第一中学2018届第二十次考试)若sinπ6－

α＝13，则cos2π3＋2α的值为()A．－79B.79C.13D．－13解：cos2π3＋2α＝cosπ－π3－2α＝－cosπ3－2α＝2sin2π6－

α－1＝2³19－1＝－79.故选A.5．(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sinα＋π3＝()A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538解：由7sinα＝2cos2α得7s

inα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，所以sinα＝－2(舍去)或sinα＝14.因为α为锐角，所以cosα＝154，所以sinα＋π3＝14³12＋154³32＝1＋358.故选A.6．(2018届福建闽侯高三开学考试)若2cos2α＝sin

α－π4，且α∈π2，π，则cos2α的值为()A．－78B．－158C．1D.158解：因为α∈π2，π，所以sinα>0，cosα<0，因为2cos2α＝sinα－π4，所以2(cos2α－sin2α)＝22(si

nα－cosα)．所以cosα＋sinα＝－24，①①式平方得1＋2sinαcosα＝18，则2sinαcosα＝－78，则(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1＋78＝158，所以co

sα－sinα＝－304，②联立①②，解得cosα＝－30＋28，所以cos2α＝2cos2α－1＝158.故选D.7．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．解：f(x)＝2cosx＋sinx＝22＋12sin(x＋φ)≤22＋12

＝5，其中tanφ＝2.故填5.8．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解：因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin

α＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22(sinα＋cosα)＝31010.故填31010.9．已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－

π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1232sin2x－12cos2x＝12sin2x－π6，f(x)

的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间

－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.10．(2018·合肥质检)已知cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2，求：(1)sin2α；(2)tanα－1tanα.解：(1)cosπ6＋αcosπ3－α＝cosπ6＋αsin

π6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，即sin2α＋π3＝－12.又因为α∈π3，π2，故2α＋π3∈π，4π3，从而cos2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π

3sinπ3＝12.(2)因为α∈π3，π2，所以2α∈2π3，π，则由(1)知cos2α＝－32，所以tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαc

osα＝－2cos2αsin2α＝－2³－3212＝23.另解：由(1)知2α＋π3＝7π6，所以α＝5π12，所以tanα－1tanα＝tan2α－1tanα＝－2tan2α＝23.11．(2018·南昌调

研)已知函数f(x)＝cosx²[sinx＋π3－3sinx＋π2]＋34.(1)若fθ2＋5π12＝310，0<θ<π2，求tanθ的值；(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝f－x2的单调递增区间．解：f(x)＝cosx

sinx＋π3－3sinx＋π2＋34＝cosx12sinx＋32cosx－3cosx＋34＝cosx12sinx－32cosx＋34＝12sinxcosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34cos2x－34＋34＝14sin2x－34c

os2x＝12sin2x－π3.(1)由于fθ2＋5π12＝310，所以12sinθ＋5π6－π3＝310，即12cosθ＝310，所以cosθ＝35.又θ∈0，π2，所以s

inθ＝1－cos2θ＝45，从而tanθ＝sinθcosθ＝43.(2)f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.又g(x)＝f－x2＝12sin－x－π3＝－12sinx＋π3，g(x)的单调递增区间即y＝sinx＋π3的单调递减区间，由2kπ＋π2≤x＋π3≤

2kπ＋3π2，得2kπ＋π6≤x≤2kπ＋7π6，k∈Z，故g(x)的单调递增区间是2kπ＋π6，2kπ＋7π6(k∈Z)．(2018·广西南宁质检)已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4sinx－π4.(1)若

tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．解：(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋co

s2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2

α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35，所以f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤5π4.所以－22≤sin2x＋

π4≤1，0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12.