【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案4．4《三角函数图象的变换及三角函数模型的应用》(含详解).doc，共(13)页，479.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

4．4三角函数图象的变换及三角函数模型的应用1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示．xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.图象变换(ω＞0

)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变

为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，

得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函

数解析式y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝_____

___，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝1T＝________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．4．如果某种变化着的现象具有周期性

，那么它就可以借助________来描述．5．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并

进行________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．6．y＝|sinx|是以________为周期的波浪形曲线．7．太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：_______

_.自查自纠：1.x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π32π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.||φ1ωA1ωφωA3.2πωω2π04．三角函数5.周期函数拟合6.π7.h0＝htanθ(2016·四川)为了得到函数y＝sinx＋π3

的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向上平行移动π3个单位长度D．向下平行移动π3个单位长度解：把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y＝sin

x＋π3的图象．故选A.(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y

＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解：函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6

＝2sin2x－π3.故选D.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解：由图知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin

π6x＋φ＋5，ymax＝3＋5＝8.故选C.(南京市、盐城市2017届高三一模)将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移φ0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.解：因为y＝3sin2x＋π3的图象向

右平移φ(0<φ<π2)个单位后，所得函数为y＝3sin2（x－φ）＋π3，即y＝3sin2x＋π3－2φ是偶函数，则2×0＋π3－2φ＝kπ＋π2，φ＝－k2π－π12，k∈Z，又因为0<φ<π2，所以k＝－1，φ＝5π12.故填5π12.(2019届安徽江

淮六校联考改编)将函数f(x)＝cosωπ2·2sinωx2－23cosωx2＋3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解：

函数f(x)＝cosωx22sinωx2－23cosωx2＋3＝sinωx－23·1＋cosωx2＋3＝sinωx－3cosωx＝2sinωx－π3，f(x)的图象向左平移π3ω个单位，得y＝2sinωx＋π3ω－π3的图象，所以函数y＝g(x)＝2

sinωx.又y＝g(x)在0，π4上为增函数，所以T4≥π4，即2π4ω≥π4，解得ω≤2，所以ω的最大值为2.故填2.类型一五点法作图与求解析式(1)作出函数y＝2sinx2＋π3的图象．解：周期T＝2π12＝4π，振幅A

＝2.按五个关键点列表：x2＋π30π2π3π22πx－2π3π34π37π310π3y020－20描点作图：点拨：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X＝ωx＋φ，由X＝0，π2，π，32π，2π来

求出相应的x值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3解：由图可知，T＝2

π3－－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法结合各选项可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6.故选A.点拨：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式

，常用如下两种方法：①升降零点法，由ω＝2πT，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；②代入最值法，将最值点(最高点、

最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.(1)(2018·浙江温州统考)已知函数f(x)＝12sinωx＋32cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；(Ⅱ)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝

sinx的图象经过怎样的变换得到？解：(Ⅰ)函数可化为f(x)＝sinωx＋π3，因为T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝sin2x＋π3.列表如下：x0π12π37π125π6πy3210－1032画出图象如图所示：(Ⅱ)将函数y＝sinx(x∈R

)图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx＋π3(x∈R)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的图象．(2)(2016·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝A

sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)的递增区间为()A.－π12＋kπ2，5π12＋kπ2，k∈ZB.－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈ZC.

－π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈ZD.－π6＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z解法一：由图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，故ω＝2.由f1112π＝－2，得φ＝2kπ－π

3(k∈Z)．因为|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f(x)＝2sin2x－π3.由2x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x∈－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z)．解法二：34T＝11π12－π6＝3

π4，所以T＝π，π6－T4＝π6－π4＝－π12，π6＋T4＝π6＋π4＝5π12，所以f(x)的递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．故选B.类型二三角函数的图象变换说明由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换就

能得到下列函数的图象．(1)y＝sinx＋π3；(2)y＝sin2x－23π；(3)y＝||sinx；(4)y＝sin||x.解：(1)将y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3

的图象．(2)方法一：将y＝sinx的图象向右平移23π个单位长度，得到y＝sinx－23π的图象，再把y＝sinx－23π图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，就得到y＝sin2x

－23π的图象．方法二：先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，就得到y＝sin2x－23π的图象．(3)将y＝sinx的

图象的x轴下方部分翻折到x轴上方，去掉x轴下方图象，即可得到y＝||sinx的图象．(4)先去掉y轴左边的y＝sinx的图象，再将y轴右边的图象翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，即可得到y＝sin||x的图象．点拨：①本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换．三角函数的图象变换

，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．②三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．(20

18·天津)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间－π4，π4上单调递增B．在区间－π4，0上单调递减C．在区间π4，π2上单调递增D．在区间π2，π上单调递增解：将

y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x，令2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)，再令k＝0可得函数的一个单调递

增区间为－π4，π4，选项A正确，B错误；令2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)，再令k＝0可得函数的一个单调递减区间为π4，3π4，选项C，D错误．故选A.类型三函数y

＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象及其变换(2017·山东)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3.已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象

向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝3

2sinωx－32cosωx＝3·12sinωx－32cosωx＝3sinωx－π3.由题设知fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin

2x－π3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.因为x∈－π4，3π4，所以x－π12∈－π3，2π3，当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g(x)取得最小值－3

2.点拨：题(1)用辅助角法，将较复杂的三角式转化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式．题(2)问要看清由谁平移到谁，若自变量的系数不为1时，要将系数先提出来，再平移．(2016·山东)设f(x)＝23si

n(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值．解：

(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝23sin2x－(1－2sinxcosx)＝3(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－3cos2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1，由2kπ－π2≤2x

－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(

纵坐标不变)，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.所以gπ6＝2sinπ6＋3－1＝3.类型四三角函数模型的应用如图，某大风车的半径为2m，每12

s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h＝f(t)的关系式；(2)画出函数h＝f(t)的图象．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.

设∠OO1A＝θ，则cosθ＝2－y2，y＝－2cosθ＋2.又θ＝2π12·t＝πt6，所以y＝－2cosπt6＋2，h＝f(t)＝－2cosπt6＋2.5.(2)列表：t036912h0.52.54.52.50.5描点连线，即得函数h＝－2cosπ6t＋2.5的图象如图

所示：点拨：本题主要考查建模能力，考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键．已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作

：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋

b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1.25m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．解：(1)由题意知T＝12，

所以ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，所以A＝0.5，b＝1，即y＝12cosπ6t＋1，t∈[0，24]．(2)由题意知，当y>1.25时才可对冲浪者开放，所以12cosπ6t＋1>1.25，c

osπ6t>12.所以2kπ－π3<π6t<2kπ＋π3，k∈Z，即12k－2<t<12k＋2，k∈Z.①因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，得0≤t<2或10<t<14或22<t≤24.所以有8个小时的时间可供冲浪运动．1．五点法作函数图

象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也

经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来．2．根据y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象求解析式的步骤(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω.(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到

：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助

图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．其中，峰点：ωx＋φ＝π2＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－π2＋2kπ.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；降零点(

图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．3．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(φ由tanα＝ba确定)的应用是高考的热点，应予以重视．4．三角函数模型的三种模式在现实生活中，许多变化的现

象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题，主要有以下三种模式．(1)给定呈周期变化规律的三

角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题．(3)搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变

化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题．1．为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度解：

因为y＝sin(2x＋1)＝sin2x＋12，所以只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向左平移12个单位长度即可．故选A.2．(2019届湖南师大附中高三月考)将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数()A．在区间

π12，7π12上单调递增B．在区间π12，7π12上单调递减C．在区间－π6，7π12上单调递增D．在区间－π6，π3上单调递减解：将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y＝3sin

2x－2π3，令2kπ－π2≤2x－2π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，令k＝0，则π12≤x≤7π12.故函数在区间π12，7π12上单调递增．故选A.3．(2

018届河南新乡高三第三次联考)将函数f(x)＝sin2x－12的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g5π6＝()A．－12B.12C

．－32D.32解：函数f(x)＝12(2sin2x－1)＝－12cos2x，则fx－π6＝－12cos2x－π3，g(x)＝2fx－π6＝－cos2x－π3，所以g5π6＝－cos5π3－π3＝－cos4π3＝12.故选B.4．(

2018·江西上饶高三第三次联考)如图所示的是函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<π2在区间[－π6，5π6]上的图象，将该函数图象上各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于直

线x＝5π12对称，则m的最小值为()A.7π6B.π6C.π8D.7π24解：由图可知，函数的最小正周期是π，所以ω＝2，则函数y＝sin(2x＋φ)．由sin2×－π6＋φ＝0及0<φ<π2，得φ＝π3，则函数为y＝sin2x＋π

3，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m(m>0)个单位长度后，y＝sin4（x－m）＋π3.因为该函数图象关于直线x＝5π12对称，所以45π12－m＋π3＝π2＋kπ，解得m＝3π8－kπ4

，k∈Z，因为m>0，所以当k＝1时，m有最小值为π8.故选C.5．如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点Q开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx

＋φ)＋2(A＞0)，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5解：因为水轮上最高点距离水面r＋2＝5m，即A＋2＝5，所以A＝3.又因为水轮每秒钟旋转8π60＝2π15rad，所以角速度ω＝2

π15.故选A.6.(2016·北京)将函数y＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝12，s的最小值为π6B．t＝32，s

的最小值为π6C．t＝12，s的最小值为π3D．t＝32，s的最小值为π3解：因为点Pπ4，t在函数y＝sin2x－π3的图象上，所以t＝sin2×π4－π3＝sinπ6＝12.又P′π4－s，12在函数y＝si

n2x的图象上，所以12＝sin2π4－s，则2π4－s＝2kπ＋π6或2π4－s＝2kπ＋56π，k∈Z，得s＝－kπ＋π6或s＝－kπ－π6，k∈Z，又s＞0，故s的最小值为π6.故选A.7．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－3co

sx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．解：因为y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3＝2sinx＋π3－2π3，所以函数

y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．故填2π3.8．把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得

到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y＝2sin2x＋π6；②该函数图象关于点π3，0对称；③该函数在0，π6上是增函数；④若函数y＝f(x)＋a在0，π2上的最小值为3，则

a＝23.其中正确判断的序号是________．解：将函数y＝sin2x的图象向左平移π6得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin2x＋π3的图象，①不正确；y＝fπ3＝2sin

2×π3＋π3＝2sinπ＝0，函数图象关于点π3，0对称，②正确；由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为[－5π12

＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，增区间为－5π12，π12，③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin2x＋π3＋a，当0≤x≤π2时，π3≤2x＋π3≤4π3，当2x＋π3＝4π3，即x＝π2时，函数取得最小值，有y

min＝2sin4π3＋a＝－3＋a＝3，得a＝23，④正确．故填②④.9．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天6～14时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)由图可知：这段时间的最大温差为30

－10＝20(°C)．(2)从图可以看出：从6～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以T2＝14－6＝8，所以T＝16.因为T＝2πω，所以ω＝π8.又因为A＝30－102＝10，b＝30＋102＝20，所以y＝10sinπ

8x＋φ＋20，将点(6，10)代入得sin3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，所以φ＝2kπ＋3π4，k∈Z，取φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，6≤x≤14.10．(2017·山东青岛一模)已知函数f(x)＝sin2

x＋π3＋cos2x＋π6＋2sinxcosx.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在π3，2π上的值域

．解：(1)f(x)＝sin2x＋π3＋cos2x＋π6＋2sinxcosx＝12sin2x＋32cos2x＋32cos2x－12sin2x＋sin2x＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝π12＋kπ2，k∈Z，所以函数f(

x)图象的对称轴方程为x＝π12＋kπ2，k∈Z.(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位，可得函数解析式为y＝2sin2x－π12＋π3＝2sin2x＋π6，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变

，得到函数解析式为y＝g(x)＝2sinx2＋π6，因为x∈π3，2π，所以x2＋π6∈π3，7π6，可得sinx2＋π6∈－12，1，所以g(x)＝2sinx2＋π6∈[－1，2]．所以y＝g(x)在

π3，2π上的值域为[－1，2]．11．(2017·福建福州模拟)已知函数f(x)＝3sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0<ω<1)，若点－π6，1是函数f(x)图象的一个对称中心．(1)

求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f(x)＝3sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)(cos2ωx＋sin2ωx)＋1

＝3sin2ωx＋cos2ωx＋1＝2sin2ωx＋π6＋1.因为点－π6，1是函数f(x)图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝kπ，k∈Z，所以ω＝－3k＋12，k∈Z.因为0<ω

<1，所以k＝0，ω＝12，所以f(x)＝2sinx＋π6＋1.由x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ＋π3，k∈Z.令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝π3.(2)由(1)知，f(x)＝2sin

x＋π6＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：x＋π6－5π6－π20π2π7π6x－π－2π3－π6π35π6πf(x)0－11310则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．(2016·厦门模拟)已知向量a＝(2cos

x，3sinx)，b＝(cosx，2cosx)，函数f(x)＝a·b＋m，m∈R，且当x∈0，π2时，f(x)的最小值为2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐

标缩短到原来的12，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间0，π2上的所有根之和．解：(1)f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m＝cos2x＋3si

n2x＋m＋1＝2sin2x＋π6＋m＋1.因为x∈0，π2，所以2x＋π6∈π6，7π6，当2x＋π6＝76π，即x＝π2时，f(x)min＝2×－12＋m＋1＝2，解得

m＝2，所以f(x)＝2sin2x＋π6＋3，令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2得f(x)的增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)将函数y＝f(x)的图象上点的纵坐标不变

，横坐标缩短到原来的12，得到f(x)＝2sin4x＋π6＋3，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝2sin4x－π12＋π6＋3＝2sin4x－π6＋3，又g(x)＝4，得sin4x－π6＝

12，解得4x－π6＝2kπ＋π6或4x－π6＝2kπ＋5π6，k∈Z.即x＝kπ2＋π12或x＝kπ2＋π4(k∈Z)，因为x∈0，π2，所以x＝π12或π4，故所有根之和为π12＋π4＝π3.