【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案4．3《三角函数的图象与性质》(含详解).doc，共(13)页，477.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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4．3三角函数的图象与性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．2．周期函数的定

义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________

．3．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域①________②________③_______图象（一个周期）值域④________⑤________R对称性对称轴：⑥________；对称中心：⑦_______对称轴：⑧___

_____；对称中心：⑨________无对称轴；对称中心：⑩______最小正周期⑪________⑫_________⑬_______单调性单调增区间⑭________；单调增区间⑮________单调减区间⑯________；单调减区间⑰______

__单调增区间⑱_______奇偶性⑲________⑳________○21_______自查自纠：1．(1)(0，0)π2，1(π，0)3π2，－1(2π，0)(2)(0，1)π2，0(π，－1)3

2π，0(2π，1)2．f(x＋T)＝f(x)最小正周期3．①R②R③x|x≠kπ＋π2，k∈Z④[－1，1]⑤[－1，1]⑥x＝kπ＋π2(k∈Z)⑦(kπ，0)(k∈Z)⑧x＝kπ(k∈Z)⑨kπ＋π

2，0(k∈Z)⑩kπ2，0(k∈Z)⑪2π⑫2π⑬π⑭2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)⑮2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z)⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)⑱kπ－π2，kπ＋π2(

k∈Z)⑲奇函数⑳偶函数○21奇函数下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解：对A项，y＝sin2

x＋π2＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；对B项，y＝cos2x＋π2＝－sin2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；对C项，y＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，最小

正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；对D项，y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．故选B.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.

π4B.π2C．πD．2π解：由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.(2017·山西五校联考)设k∈R，则函数f(x)

＝sinkx＋π6＋k的部分图象不可能为()ABCD解：当k＝0时，f(x)＝sinπ6＝12，其图象为A；当k＝2时，f(x)＝sin2x＋π6＋2，其图象为B；当k＝－1时，f(x)＝sin－x＋π

6－1，其图象为C；由选项D的图象可知f(x)max＝2，则2＝1＋k⇒k＝1，此时f(x)＝sinx＋π6＋1的图象关于直线x＝π3对称，这与图象不符．故选D.(2016·浙江)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0

)，则A＋b＝________.解：由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4＋1，所以A＝2，b＝1，即A＋b＝2＋1.故填2＋1.(2018·湖南六校联考改编)已知函数f(x)＝2sin2x＋π3的图象为C，则：①C关于直线x＝7π12对称

；②C关于点π12，0对称；③f(x)在－π3，π12上是增函数；④把y＝2cos2x的图象向右平移π12个单位长度可以得到图象C.以上结论正确的有________．(填所有正确的序号)解：当x＝7π12时，f(x)＝－2，为最小值，故C关于直线x

＝7π12对称，①正确．当x＝π12时，f(x)＝2，为最大值，故C不关于点π12，0对称，②错误．令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，因为－π3，π12⊆－5π12，π12，所以f(x)在

－π3，π12上单调递增，故③正确(或由T＝π及解②所述知③正确)．把y＝2cos2x的图象向右平移π12个单位长度，可得y＝2cos2x－π12＝2cos2x－π6＝2sinπ2＋2x－π6＝2sin2x＋π3＝f(x)，故④正确．故填①③④

.类型一三角函数的定义域、值域(1)函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是___________________________________________．解：要使函数有意义，必须使sinx－cos

x＞0.方法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，在π4，5π4内sinx＞cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x|π4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈

Z}．方法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx＞cosx，只须π4＜x＜5π4(在[0，2π]内)．所以定义域为{x|π4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z}．方法三：sinx－cosx＝2sinx－π4＞0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ

＜x－π4＜π＋2kπ，解得2kπ＋π4＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z.所以定义域为x|π4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z.故填x|π4＋2kπ＜x＜5π4＋2kπ，k∈Z.点拨：①求三角函数的定义域常常归

结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．(2)(2017·

全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解：f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cos

x－322＋1，由自变量的范围x∈0，π2可得，cosx∈[0，1]，当cosx＝32时，函数f(x)取得最大值1.故填1.点拨：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题．求最值时，要注意三角函数的取值范围．

(3)已知函数f(x)＝2cos2x＋π4，求函数f(x)在区间－π2，0上的最大值和最小值．解：因为－π2≤x≤0，所以－34π≤2x＋π4≤π4，所以当2x＋π4＝－34π，即x＝－π2时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；当2

x＋π4＝0，即x＝－π8时，f(x)有最大值，f(x)max＝2，即f(x)在－π2，0上的最小值为－1，最大值为2.点拨：求三角函数的值域(最值)时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法(参看例1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等

式法等．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可直接求出ωx＋φ在区间的范围，然后根据单调性求解．(1)函数y＝lgsinx2sinx－3的定义域为________．解：因为y＝lgsinx2sinx－3，所以

sinx＞0，2sinx－3≠0.所以原函数的定义域为{x|2kπ＜x＜2kπ＋π，且x≠2kπ＋π3，x≠2kπ＋23π，k∈Z}．故填{x|2kπ＜x＜2kπ＋π，且x≠2kπ＋π3，x≠2kπ＋23π，k∈Z}

．(2)已知函数f(x)＝sin2x－π6，x∈R，求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．解：因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6.当2x－π6＝－π6，

即x＝0时，函数f(x)有最小值－12；当2x－π6＝π2，即x＝π3时，函数f(x)有最大值1.(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．解：设t＝sinx－cosx，则t2＝1－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.所

以y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.所以函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为－12－2，1.故填

－12－2，1.类型二三角函数的周期性求下列函数的最小正周期．(1)y＝(asinx＋cosx)2(a∈R)；(2)y＝2cosxsinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx；(3)y＝

2sin4x－π3.解：(1)y＝[a2＋1sin(x＋φ)]2＝(a2＋1)sin2(x＋φ)＝(a2＋1)·1－cos（2x＋2φ）2(φ为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)y＝2cosx12s

inx＋32cosx－3sin2x＋sinxcosx＝sinxcosx＋3cos2x－3sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，该函数的最小正周期为T＝2π2＝

π.(3)y＝2sin4x－π3的最小正周期是y＝2sin(4x－π3)的最小正周期的一半，即T＝12×2π4＝π4.点拨：求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义；②利用公式y＝Asin(ωx＋φ

)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|；③对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先把其化为y＝a2＋b2·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；④

带绝对值的三角函数的周期是否减半，要根据图象来确定．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，

最大值为4解：根据题意有f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝32(2cos2x－1)＋32＋1＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)

max＝32＋52＝4.故选B.类型三三角函数的奇偶性(1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)；(Ⅱ)f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x.解：(Ⅰ)f(x)＝cosπ

2＋2xcos(π＋x)＝(－sin2x)(－cosx)＝cosxsin2x.因为f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，x∈R，所以f(x)是奇函数．(Ⅱ)由cos2x≠0得

2x≠kπ＋π2，k∈Z，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以f(x)的定义域为x|x∈R，且x≠kπ2＋π4，k∈Z.因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝6cos4（－x）＋5sin2

（－x）－4cos（－2x）＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝f(x)．所以f(x)是偶函数．(2)已知函数f(x)＝2sinx＋θ＋π3θ∈－π2，π2是偶函数，则

θ的值为()A．0B.π6C.π4D.π3解：因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)．又因为θ∈－π2，π2，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B.点

拨：判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x取代x，再化简判断，还可利用f(－x)±f(x)＝

0是否成立来判断其奇偶性．(1)判断下列函数的奇偶性．(Ⅰ)f(x)＝2sinx－1；(Ⅱ)f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)．解：(Ⅰ)因为2sinx－1≥0，所以sinx≥12，即x∈2kπ＋π6，2kπ

＋5π6(k∈Z)，此区间不关于原点对称．所以f(x)是非奇非偶函数．(Ⅱ)由题意知函数f(x)的定义域为R.f(－x)＝lg[sin(－x)＋1＋sin2（－x）]＝lg()－sinx＋1＋sin2x＝lg11＋sin2x＋sinx＝－lg(1＋sin2x＋si

nx)＝－f(x)．所以函数f(x)是奇函数．(2)若函数y＝3cos(2x－π3＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．解：依题意得，－π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋5π6(k∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.故填π6.类型四三角函数的单调性(1)(2

017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(Ⅰ)求f2π3的值；(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(Ⅰ)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12

，得f2π3＝322－－122－23×32×－12＝2.(Ⅱ)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.函数f(x)的单调递增区间即

y＝sin2x＋π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．(2)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，

函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0，2]解：由π2＜x＜π得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4，由题意知π2ω＋π4

，πω＋π4⊆π2，3π2，所以π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A.点拨：求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性

“同增异减”的规律；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解(若ω<0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错)，由－π2＋2kπ

≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求减区间．对于逆向的已知三角函数的单调区间求参数问题，常先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(

1)(2016·衡阳模拟)设函数f(x)＝3sinωx＋cosωx，ω∈(－3，0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一个单调递减区间是()A.－π2，0B.－π6，π3C.π3，5π6D.π2，π解：f(x)＝2sinωx＋π6，f(x)

的最小正周期T＝2π|ω|＝π，又ω∈(－3，0)，所以ω＝－2，所以f(x)＝－2sin2x－π6，令2kπ－π2<2x－π6<2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π6<x<kπ＋π3，k∈Z，当k＝0时，可得f(x)的一个单调递减

区间是－π6，π3.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π解：因为f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，所以由2kπ≤x＋π4≤π＋

2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)，因此[－a，a]⊆－π4，3π4，所以－a<a，－a≥－π4，a≤3π4，所以0<a≤π4，从而a的最大值为π4.故选A.类型五三角函数图象的对称性(1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f

(x)＝cos(x＋π3)，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解法一：

(数形结合法)函数f(x)＝cosx＋π3的图象可由y＝cosx向左平移π3个单位得到，如图可知，f(x)在π2，π上先递减后递增，D选项错误．解法二：(排除法)函数的最小正周期为T＝2π1＝2π，则函数的周期为T＝2k

π(k∈Z且k≠0)，取k＝－1，可得函数f(x)的一个周期为－2π，选项A正确；令x＋π3＝kπ(k∈Z)，可得对称轴x＝kπ－π3(k∈Z)，取k＝3，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称，则选项B正确；f(x＋π)＝c

osx＋π3＋π＝－cosx＋π3，代入x＝π6得y＝0，则选项C正确；当x∈π2，π时，x＋π3∈5π6，4π3，函数在该区间不单调，选项D错误．故选D.(2)(2018·东北四市二联)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<π2的图象

向右平移π12个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A.32B.12C．－12D．－32解：f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移π12个单位得到函数g(x)＝sin2x－π12＋φ＝sin2x－π6＋φ的图象，此函数图象关

于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，由|φ|<π2，可得φ＝－π3，所以f(x)＝sin2x－π3，因为0≤x≤π2，所以－π3≤2x－π3≤2π3，所以f(x)的最小值为sin－π3＝－32.故选D.点拨：

①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，如果求f(x)图象的对称轴，只需解方程sin(ωx＋φ)＝±1，也就是令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)求x；如果

求f(x)图象的对称中心，只需解方程sin(ωx＋φ)＝0，也就是令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求x；③对于较复杂的三角函数表达式，常通过恒等变换为②的情形．(1)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(

)A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称解：由T＝π知ω＝2πT＝2ππ＝2，所以函数f(x)＝sin2x＋π3.函数f(x)

的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝π12＋kπ2(k∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x＝－π6＋kπ2(k∈Z)．故选A.(2)(2018·江苏)已知函数y＝sin(2x

＋φ)－π2<φ<π2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________．解：由题意可得sin2π3＋φ＝±1，所以2π3＋φ＝π2＋kπ，φ＝－π6＋kπ(k∈Z),因为－π2<φ<π

2，所以k＝0，φ＝－π6.故填－π6.1．三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来

确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数)等．2．三角函数值域的求法(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin

(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±co

sx，化为关于t的二次函数求值域．3．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．

一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．4．求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义

出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论T＝2π|ω|或T＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．5．三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．

对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求其增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求其减区间．关于复合函数的单调性的求法，参见本书“2.2函数的单调性与

最大(小)值”．(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)

求解．1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD.π2解：函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.故选C.2．(2019届湖南师大附中高三上学期月考)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x＋1，

给出下列四个结论：①函数f(x)的最小正周期是2π；②函数f(x)在区间π8，5π8上是减函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝π8对称；④函数f(x)的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解：f(x)＝si

n2x＋cos2x＝2sin2x＋π4.①因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论错误．②当x∈π8，5π8时，2x＋π4∈π2，3π2，则f(x)在区间π8，5

π8上是减函数，结论正确．③因为fπ8＝2为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝π8对称，结论正确．④设g(x)＝2sin2x，则gx＋π4＝2sin2x＋π4＝2sin

2x＋π2＝2cos2x≠f(x)，结论错误．故选B.3．(2018届武汉二月调研测试)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f(x)＝fπ2－

x，则φ＝()A.π6B.π3C.π3或2π3D.π6或5π6解：由f(x)的最大值为2，知1＋a2＝2，即a＝±3，所以f(x)＝2sin2x＋φ±π3，由f(x)＝fπ2－x知f(x

)的图象关于直线x＝π4对称，所以当x＝π4时，2x＋φ±π3＝kπ＋π2，即φ＝kπ±π3(k∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝π3或2π3.故选C.4．(2019·广东高三六校第一次联考)已知A是函数f

(x)＝sin2018x＋π6＋cos2018x－π3的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A·|x1－x2|的最小值为()A.π2018B.π1009C.2π10

09D.π4036解：函数f(x)＝sin2018x＋π6＋cos[－π2＋2018x＋π6]＝sin2018x＋π6＋cos[π2－2018x＋π6]＝2sin2018x＋π6，所以A＝2.因为存在实数x

1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是函数f(x)＝2sin2018x＋π6的周期的二分之一，则A·|x1－x2|的最小值为函数的一个周期2π2018＝π1009.故选B.5．(2017·天津)设函数f(

x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π12C．ω＝13，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π24解：由f5π8＝2

，得5π8ω＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，①由f11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②由①②，得ω＝－23＋43(k′－2k)，又f(x)的最小正周期T＝2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所

以ω＝23，又|φ|＜π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A符合．故选A.6．(2018届江西五市八校联考)已知f(x)＝4sinωx2·cosωx2(ω>0)在区间－π2，2π3上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是

()A．(0，1]B.0，34C.12，34D．[1，＋∞)解：由题意，得f(x)＝2sinωx(ω>0)，且在区间－π2，2π3上是增函数，则－π2ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0<ω≤34，又函数在区间[0，π]上恰好取

得一次最大值，所以π2≤πω<5π2，解得12≤ω<52，则ω的取值范围是12，34.故选C.7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．解：因为0≤x≤π，所以π6≤3x＋π6≤19π6，由题可知3x＋

π6＝π2，3x＋π6＝3π2或3x＋π6＝5π2，解得x＝π9，4π9或7π9，故有3个零点．故填3.8．(2018·河北邢台调研)已知定义在R上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx时，f(x)

＝cosx；当sinx>cosx时，f(x)＝sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值；④当且仅当2kπ－π2<x<(

2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)>0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是________．解：易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f(x)的最小值为－22

，当且仅当x＝2kπ＋5π4(k∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－π2<x<(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)>0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.故填①④⑤.9．(2017·江西上饶模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋

φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．解：(1)由fπ8＝±1得sinπ4＋φ＝±1，因为－π<φ<0，所以－3π4<φ＋π4<π4，所以φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4.(2)由(1)得f(x)＝s

in2x－3π4，由－π2＋2kπ≤2x－3π4≤π2＋2kπ，k∈Z，解得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k∈Z.因此y＝f(x)的单调递增区间为π8＋kπ，5π8＋kπ，k∈Z.10．(2016·天津)已

知函数f(x)＝4tanxsinπ2－xcos(x－π3)－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解：(1)f(x)的定义域为x|x≠π2＋kπ，k∈Z，f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4si

nxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π2＋2kπ≤2

x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.所以，当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．11．函数f(x)＝3s

in2x＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，x0＝7π6，y0＝3.(2)因

为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0，于是当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.(2016·全国

卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)的图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5解：由题意得－π4ω＋φ＝kπ，π4ω＋φ＝mπ＋π2

(k，m∈Z)，所以φ＝m＋k2π＋π4，ω＝1＋2(m－k)，又|φ|≤π2，所以φ＝π4或φ＝－π4.当φ＝π4时，ω＝1－4k，若ω＝9，当x∈π18，5π36时，9x＋π4的范围为3π4，3π2，满足f(x)在π

18，5π36上单调，当φ＝－π4时，ω＝－1－4k，若ω＝11，当x∈π18，5π36时，11x－π4的范围为13π36，23π18，不满足f(x)在π18，5π36上单调，所以ω的最大值为9.故选B.