【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案4．1《弧度制及任意角的三角函数》(含详解).doc，共(22)页，975.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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4．1弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有

作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z；②α是第二象限角可表示为_____

_______；③α是第三象限角可表示为____________；④α是第四象限角可表示为____________．(3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边

在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作_______________________________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作______________________________________

_；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_______________________________________；⑤终边在x轴上的角的集合可记作_______________________________________；⑥终边在y轴上的角的集合可记作______

_________________________________；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_______________________________________．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在

内，可构成一个集合S＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．||α＝____________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：36

0°＝______rad，180°＝______rad，1°＝____________rad≈0.01745rad，反过来1rad＝____________≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝___________

_＝____________．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝____________，cosα＝____________，tanα＝____________(x≠0)．(2)正弦、余弦

、正切函数的定义域三角函数定义域sinα①cosα②tanα③(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或

其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝____________＝________.像OM，MP，AT这种

被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的________、________、________，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°2

70°360°角α的弧度数sinαcosαtanα注：sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．

(1)旋转逆时针顺时针零角(2)非负半轴②α|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z③α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z④α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z或{α|2kπ－π2<α<2kπ，k∈Z}(3)

坐标轴②{}α|α＝2kπ＋π，k∈Z③α|α＝2kπ＋π2，k∈Z④α|α＝2kπ＋32π，k∈Z⑤{α|α＝kπ，k∈Z}⑥α|α＝kπ＋π2，k∈Z⑦α|α＝kπ2，k∈

Z(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．(1)半径长lr(2)2πππ180180π°(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαsi

nαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα012223213222120－10cosα13222120－12－22－32－101

tanα03313不存在－3－1－330不存在0(2017·成都一诊)cos(－1560°)的值为()A．－32B．－12C.12D.32解：cos(－1560°)＝cos(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°

)＝－cos60°＝－12.故选B.(安徽合肥2018届高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点Psin5π3，cos5π3，则sin(π＋α)＝()A．－32B．－12C.12D.32解：sinα＝yP＝cos5π3＝cos2π－π3＝cosπ3＝12，所

以sin(π＋α)＝－12.故选B.若α是第二象限角，其终边上一点P(x,5)，且cosα＝24x，则sinα的值是()A.104B.64C.24D．－104解：r＝|PO|＝x2＋5，由三角函数的定义知cosα＝xx2＋5，则x2＋5＝8.sinα＝5x2＋5＝58＝104.故选A

.(传统经典题)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解：设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形周长公式和扇形面积公式得2r＋αr＝6，αr2＝4，消去r得36α＝4(2＋α)2，即α2－5α＋4

＝0解得α＝1，α＝4.故填1或4.(2018·山东临沂检测)已知角θ的终边经过点P(－4cosα，3cosα)，α∈π，3π2，则sinθ＋cosθ＝________.解：因为π<α<3π2，所以cosα<0，所以r＝－5cosα，故sinθ＝－35，

cosθ＝45，所以sinθ＋cosθ＝15.故填15.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)因为180°＋2k·3

60°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)因为45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α

2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，所以α2的终边在第一或第三象限．(3)因为30°＋k·120°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n·360°，当

k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α3＜180°＋n·360°，当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α3＜300°＋n·360°，所以α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角

的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为：写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2kπ＜2α＜2

kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＜α＜kπ＋π2(k∈Z)．当k＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k∈Z，α为第一或第三象限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题(2017·江苏盐城模拟)如图，

在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3

)若α∈0，2π3，请写出劣弓形AB的面积S与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B－45，35，根据三角函数的定义得tanα＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β

的集合为β|β＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，2π3，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×1×sinα＝12sinα，故劣弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝12α－12sinα，α∈0

，2π3.点拨：直接用公式l＝|α|R可求弧长，利用S弓＝S扇－S△可求弓形面积．关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧

度，使度量单位一致．(2017·安徽芜湖月考)如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P、点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·π3

＋t·－π6＝2π.所以t＝4(秒)，即第一次相遇所用的时间为4秒．设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则xC＝－cosπ3×4＝－2，yC＝－sinπ3×4＝－23.所以C点的坐标为(－2，－23)

．P点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q点走过的弧长为2π3×4＝8π3.类型三三角函数的定义(北京海淀2017届期中)若角θ的终边过点P(3，－4)，则sin(θ－π)＝________.解：角θ的终边过点P(3，－4)，所以点P(3，－4)到原点O(0，0)的距离为5，根据三角函数的定义s

inθ＝－45，sin(θ－π)＝－sinθ＝45.故填45.点拨：三角函数定义应用问题的解题思路：①直接利用三角函数的定义，找到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．②已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数

的方程，求参数的值．已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)．(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；(2)若cosα≤0且sinα＞0，求实数m的取值范围．解：(1)因为m＝2，所以P(－3，4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5.所以sinα＝yr＝45，tanα＝yx＝－43.所以5

sinα＋3tanα＝5×45＋3×－43＝0.(2)因为cosα≤0且sinα＞0，所以3m－9≤0，m＋2＞0.所以－2＜m≤3.类型四三角函数线的应用(2017·郑州模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．解：要

使原函数有意义，需2sinx－1>0，1－2cosx≥0，即sinx>12，cosx≤12，如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．故填2kπ

＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．点拨：三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．此题考

查三角函数的定义域，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解．函数y＝sinx－32的定义域为________．解：作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，因为sinx≥32，则OA与OB围

成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故填x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的

集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋π2(k∈Z)的写法都是不规范的．3．一般情况下，在弧度制下计算

扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，

则要注意对可能情况进行分类讨论．7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单．8．2kπ＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin

(2kπ＋α)＝sinα.(2)sin(kπ＋α)＝sinα（k为偶数），－sinα（k为奇数）＝(－1)ksinα.1．(必修4第10页A组第10题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10

D.10π9解：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义知10π9＝lr，所以l＝10π9.故选D.2．若θ是第三象限角，且cosθ2>0，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为θ是第三象限角，所以－π＋2kπ

<θ<－π2＋2kπ，则－π2＋kπ<θ2<－π4＋kπ，k∈Z，即θ2是第二象限或者第四象限角，因为cosθ2>0，所以θ2是第四象限角．故选D.3．(九江十校2017届联考)sin570°的值是()A．－12B.12C.32D．－32解：sin570°＝sin

(360°＋210°)＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.故选A.4．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45解：cosα＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点

，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解：由题意，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·1a2＋12－1＝23，解得a2＝15，即

|a|＝55，所以|a－b|＝|a－2a|＝55.故选B.6．(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cosα<sinα，则P所在的

圆弧是()A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解：由右图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线．当点P在AB︵上时，cosα＝OM，sinα＝MP，即cosα>sinα，故A选项错误；当点P在CD︵上时，cosα＝OM，即sinα＝MP

，tanα＝AT，AT>MP>OM>0，即tanα>sinα>cosα，故B选项错误；当点P在EF︵上时，cosα＝OM<0，sinα＝MP>0，tanα＝AT<0，且|OM|<|AT|，所以sinα>cosα>tanα，故C选项正确；点P在GH︵上且GH

︵在第三象限，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故D选项错误．故选C.7．(2018届河南省洛阳市高三第三次统考)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3，4)，则sinα＋2cosαsinα－cosα＝__

______.解：根据角α的终边过P(3，4)，利用三角函数的定义，得tanα＝43，所以有sinα＋2cosαsinα－cosα＝tanα＋2tanα－1＝43＋243－1＝10313＝10.故填10.8．(2018届湖北黄冈中学高三5月模

拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tanα＋π4＝13，则sinα＝________.解：由tanα＋π4＝13，得tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝13，tanα＝－12，根据三角函数的定义，m2＝－12，则m＝－1，所以P(2，－1)

，P到原点距离为5，则sinα＝yr＝－15＝－55.故填－55.9．(2018届黑龙江齐齐哈尔八中8月月考)已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a)，其中a≠0，求sinα，cosα，tanα.解：r＝5|a|.当a>0时，r＝

5a，所以sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝3a5a＝35，tanα＝yx＝4a3a＝43；当a<0时，r＝－5a，所以sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.综上可知，sinα＝45，cosα＝35，tan

α＝43或sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.10．若α∈[0，2π)，且cosα≥32，求角α的取值范围．解：如图，OM为[0，2π)内的角π6和11π6的余弦线，欲使cosα≥32，角α的余弦线

≥OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过部分为图中扇形(阴影部分)，则0≤α≤π6或11π6≤α<2π.所以角α的取值范围是0，π6∪11π6，2π.11．利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin2π3与sin4π5；(2

)tan2π3与tan4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin2π3＝MP，tan2π3＝AT；同理，sin4π5＝M′P′，tan4π5＝AT

′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以，(1)sin2π3>sin4π5；(2)tan2π3<tan4π5.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则sinθ|sinθ|＋cosθ|c

osθ|＋tanθ|tanθ|的值为________．解：因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，则sinθ|s

inθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|＝－1＋1－1＝－1.故填－1.4．1弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，

按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边

在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z；②α是第二象限角可表示为____________；③α是第三象限角可表示为____________；④α是第四象限角可表示为________

____．(3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作

_______________________________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_______________________________________；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作___________________

____________________；⑤终边在x轴上的角的集合可记作_______________________________________；⑥终边在y轴上的角的集合可记作_______________________________

________；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_______________________________________．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝______________________

__.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．||α＝____________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝______rad，

180°＝______rad，1°＝____________rad≈0.01745rad，反过来1rad＝____________≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝_____

_____；扇形面积公式S扇＝____________＝____________．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝____________，cosα＝____________，tanα＝____

________(x≠0)．(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sinα①cosα②tanα③(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，

设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝____________＝____

____.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的________、________、________，统称为三角函数线．5．特殊角

的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数sinαcosαtanα注：sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝

2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．(1)旋转逆时针顺时针零角(2)非负半轴②α|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z③α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z④α|2kπ＋32

π<α<2kπ＋2π，k∈Z或{α|2kπ－π2<α<2kπ，k∈Z}(3)坐标轴②{}α|α＝2kπ＋π，k∈Z③α|α＝2kπ＋π2，k∈Z④α|α＝2kπ＋32π，k∈Z⑤{α|α＝kπ，k∈Z}⑥α|α＝

kπ＋π2，k∈Z⑦α|α＝kπ2，k∈Z(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．(1)半径长lr(2)2πππ180180π°(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③α|α

≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαsinαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα0122232132221

20－10cosα13222120－12－22－32－101tanα03313不存在－3－1－330不存在0(2017·成都一诊)cos(－1560°)的值为()A．－32B．－12C.12D.32解：cos(－1560°)＝cos

(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.故选B.(安徽合肥2018届高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点Psin5π3，cos5π3，则sin(π＋α)＝()A．－32B．－12C.12D.

32解：sinα＝yP＝cos5π3＝cos2π－π3＝cosπ3＝12，所以sin(π＋α)＝－12.故选B.若α是第二象限角，其终边上一点P(x,5)，且cosα＝24x，则sinα的值是()A.104B.64C.24D．－104解：r＝|PO|＝x2＋5，由三角函数的定义知cos

α＝xx2＋5，则x2＋5＝8.sinα＝5x2＋5＝58＝104.故选A.(传统经典题)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解：设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形周长公式和扇形面积公式得2r＋αr＝6，αr2＝4，消去r得36α＝4(2

＋α)2，即α2－5α＋4＝0解得α＝1，α＝4.故填1或4.(2018·山东临沂检测)已知角θ的终边经过点P(－4cosα，3cosα)，α∈π，3π2，则sinθ＋cosθ＝________.解：因

为π<α<3π2，所以cosα<0，所以r＝－5cosα，故sinθ＝－35，cosθ＝45，所以sinθ＋cosθ＝15.故填15.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：因为α

是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)因为45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(

n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，所以α2的终边在第一或第三象限．(3)因为30°＋k·120°＜α3＜60°＋k

·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n·360°，当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α3＜180°＋n·360°，当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α3＜300°＋n·360°，所以α3的终

边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为：写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x轴的

上方(不与x轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＜α＜kπ＋π2(k∈Z)．当k＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k∈Z，α为第一或第三象

限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题(2017·江苏盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方

一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，2π3，请写出劣弓形AB的面积S与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B－45，35，根据三角函数的定义得tan

α＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为β|β＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，2π3，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×1×sinα＝12sinα，故劣弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝12

α－12sinα，α∈0，2π3.点拨：直接用公式l＝|α|R可求弧长，利用S弓＝S扇－S△可求弓形面积．关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．(2017·安

徽芜湖月考)如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P、点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．解：设P，Q第一次

相遇时所用的时间是t，则t·π3＋t·－π6＝2π.所以t＝4(秒)，即第一次相遇所用的时间为4秒．设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则xC＝－cosπ3×4＝－

2，yC＝－sinπ3×4＝－23.所以C点的坐标为(－2，－23)．P点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q点走过的弧长为2π3×4＝8π3.类型三三角函数的定义(北京海淀2017届期中)若角θ的终边过点P(3，－4)，则sin(θ－π)＝_______

_.解：角θ的终边过点P(3，－4)，所以点P(3，－4)到原点O(0，0)的距离为5，根据三角函数的定义sinθ＝－45，sin(θ－π)＝－sinθ＝45.故填45.点拨：三角函数定义应用问题的解题思路：①直接利用三角函数的定义，找到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这

点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．②已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值．已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)．(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；(2)若cosα≤0且sinα＞0，求实数

m的取值范围．解：(1)因为m＝2，所以P(－3，4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5.所以sinα＝yr＝45，tanα＝yx＝－43.所以5sinα＋3tanα＝5×45＋3×－43＝0.(2)因为cosα≤0

且sinα＞0，所以3m－9≤0，m＋2＞0.所以－2＜m≤3.类型四三角函数线的应用(2017·郑州模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．解：要使原函数有

意义，需2sinx－1>0，1－2cosx≥0，即sinx>12，cosx≤12，如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．故填2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．点拨：三角函

数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．此题考查三角函数的定义域，解题的

关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解．函数y＝sinx－32的定义域为________．解：作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，因为sinx≥32，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故

满足条件的角x的集合为x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故填x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第

一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋π2(k∈Z)的写法都是不规范的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比

在角度制下计算更方便、简捷．4．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．已知角的终边上一点的坐标可利用三角

函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单．8．2kπ＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨

论．如：(1)sin(2kπ＋α)＝sinα.(2)sin(kπ＋α)＝sinα（k为偶数），－sinα（k为奇数）＝(－1)ksinα.1．(必修4第10页A组第10题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10D.10π9解：单位圆的半径r＝

1，200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义知10π9＝lr，所以l＝10π9.故选D.2．若θ是第三象限角，且cosθ2>0，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为θ是第三象限角，所以

－π＋2kπ<θ<－π2＋2kπ，则－π2＋kπ<θ2<－π4＋kπ，k∈Z，即θ2是第二象限或者第四象限角，因为cosθ2>0，所以θ2是第四象限角．故选D.3．(九江十校2017届联考)sin570°的值是()A．－12B.12C.32D．－32

解：sin570°＝sin(360°＋210°)＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.故选A.4．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45解：cosα＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知

角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解：由题意，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因

为cos2α＝2cos2α－1＝2·1a2＋12－1＝23，解得a2＝15，即|a|＝55，所以|a－b|＝|a－2a|＝55.故选B.6．(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB︵，CD

︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是()A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解：由右图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦

线，有向线段AT为正切线．当点P在AB︵上时，cosα＝OM，sinα＝MP，即cosα>sinα，故A选项错误；当点P在CD︵上时，cosα＝OM，即sinα＝MP，tanα＝AT，AT>MP>OM>0，即tanα>sinα>cosα，故B选项错误；当点P在EF︵上时，cosα＝OM<0，

sinα＝MP>0，tanα＝AT<0，且|OM|<|AT|，所以sinα>cosα>tanα，故C选项正确；点P在GH︵上且GH︵在第三象限，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故D选项错误．故选C.

7．(2018届河南省洛阳市高三第三次统考)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3，4)，则sinα＋2cosαsinα－cosα＝________.解：根据角α的终边过P(3，4)，利用三角函数的定义，得tanα＝43，所以有si

nα＋2cosαsinα－cosα＝tanα＋2tanα－1＝43＋243－1＝10313＝10.故填10.8．(2018届湖北黄冈中学高三5月模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tanα＋π4＝13，则sinα＝_

_______.解：由tanα＋π4＝13，得tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝13，tanα＝－12，根据三角函数的定义，m2＝－12，则m＝－1，所以P(2，－1)，P到原点距离为5，则sinα＝yr＝－15＝－

55.故填－55.9．(2018届黑龙江齐齐哈尔八中8月月考)已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a)，其中a≠0，求sinα，cosα，tanα.解：r＝5|a|.当a>0时，r＝5a，所以si

nα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝3a5a＝35，tanα＝yx＝4a3a＝43；当a<0时，r＝－5a，所以sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.综上可知，sinα＝45，cosα＝35，tanα＝43或sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.10．若α∈[

0，2π)，且cosα≥32，求角α的取值范围．解：如图，OM为[0，2π)内的角π6和11π6的余弦线，欲使cosα≥32，角α的余弦线≥OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过部分为图中扇形(阴影部分)，则0≤α≤π6或11π6≤α<2π.所以角α的取值范围是0，π6∪1

1π6，2π.11．利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin2π3与sin4π5；(2)tan2π3与tan4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin2π3＝MP

，tan2π3＝AT；同理，sin4π5＝M′P′，tan4π5＝AT′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以，(1)sin2π3>sin4π5；(2)tan2π3<tan4π5.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－

sinC)，则sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的值为________．解：因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在

第四象限，则sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|＝－1＋1－1＝－1.故填－1.4．1弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形

．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合

．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z；②α是第二象限角可表示为____________；③α是第三象限角可表示为____

________；④α是第四象限角可表示为____________．(3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作___

____________________________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_______________________________________；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作____________________________

___________；⑤终边在x轴上的角的集合可记作_______________________________________；⑥终边在y轴上的角的集合可记作_______________________________________；⑦终边在坐标轴上的角

的集合可记作_______________________________________．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，

用符号rad表示，读作弧度．||α＝____________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝______rad，180°＝______rad，1°＝____________rad

≈0.01745rad，反过来1rad＝____________≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝____________＝____________．3．任意角的三角函数(1)任意角

的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝____________，cosα＝____________，tanα＝____________(x≠0)．(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域s

inα①cosα②tanα③(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限

角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝____________＝________.像OM，MP，AT这

种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的________、________、________，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧

度数sinαcosαtanα注：sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．自查自纠：1．(1)旋转逆时针顺时针零角(2

)非负半轴②α|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z③α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z④α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z或{α|2kπ－π2<α<2kπ，k∈Z}(3)坐标轴②{}α|α＝2kπ＋π，k

∈Z③α|α＝2kπ＋π2，k∈Z④α|α＝2kπ＋32π，k∈Z⑤{α|α＝kπ，k∈Z}⑥α|α＝kπ＋π2，k∈Z⑦α|α＝kπ2，k∈Z(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·

360°，k∈Z}2．(1)半径长lr(2)2πππ180180π°(3)||αr12||αr212lr3．(1)yrxryx(2)①R②R③α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosαs

inαyxtanα正弦线余弦线正切线5.角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角α的弧度数0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsinα012223213222120－10cosα13222

120－12－22－32－101tanα03313不存在－3－1－330不存在0(2017·成都一诊)cos(－1560°)的值为()A．－32B．－12C.12D.32解：cos(－1560°)＝cos(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋

60°)＝－cos60°＝－12.故选B.(安徽合肥2018届高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点Psin5π3，cos5π3，则sin(π＋α)＝()A．－32B．－12C.12D.32解：sinα＝yP＝cos5π3＝cos2π－π3＝

cosπ3＝12，所以sin(π＋α)＝－12.故选B.若α是第二象限角，其终边上一点P(x,5)，且cosα＝24x，则sinα的值是()A.104B.64C.24D．－104解：r＝|PO|＝x2＋5，由三角函数的定义知cosα＝xx2＋5，则

x2＋5＝8.sinα＝5x2＋5＝58＝104.故选A.(传统经典题)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解：设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形周长公式和扇形面积公式得2r＋

αr＝6，αr2＝4，消去r得36α＝4(2＋α)2，即α2－5α＋4＝0解得α＝1，α＝4.故填1或4.(2018·山东临沂检测)已知角θ的终边经过点P(－4cosα，3cosα)，α∈π，3π2，则sinθ＋c

osθ＝________.解：因为π<α<3π2，所以cosα<0，所以r＝－5cosα，故sinθ＝－35，cosθ＝45，所以sinθ＋cosθ＝15.故填15.类型一角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解：因为α是

第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)．(1)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上．(2)因为

45°＋k·180°＜α2＜90°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°＜α2＜90°＋n·360°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°＜α2＜270°＋n·360°，所以α2的终边在第一或第三象限．(3)因为30°＋k·12

0°＜α3＜60°＋k·120°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°＜α3＜60°＋n·360°，当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α3＜180°＋n·360°，当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α

3＜300°＋n·360°，所以α3的终边在第一或第二或第四象限．点拨：关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为：写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求

出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＜α＜kπ＋π2(k∈Z)．当k＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限

角．综上，对任意k∈Z，α为第一或第三象限角．故α的终边在第一或第三象限．类型二扇形的弧长与面积问题(2017·江苏盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单

位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，2π3，请写出劣弓形AB的面积S与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B－45，35，根据三角函数的定义得

tanα＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为β|β＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，2π3，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB

＝12×1×1×sinα＝12sinα，故劣弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝12α－12sinα，α∈0，2π3.点拨：直接用公式l＝|α|R可求弧长，利用S弓＝S扇－S△可求弓形面积．关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制

与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．(2017·安徽芜湖月考)如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按

顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P、点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·π3＋t·－π6＝2π.所以t＝4(秒)，即第一次相遇所用的时间为4秒．设第一次相遇点为

C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则xC＝－cosπ3×4＝－2，yC＝－sinπ3×4＝－23.所以C点的坐标为(－2，－23)．P点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q点走过的弧长为2π3×4＝8π3.类型

三三角函数的定义(北京海淀2017届期中)若角θ的终边过点P(3，－4)，则sin(θ－π)＝________.解：角θ的终边过点P(3，－4)，所以点P(3，－4)到原点O(0，0)的距离为5，根据三角函数的定义sinθ＝－45，s

in(θ－π)＝－sinθ＝45.故填45.点拨：三角函数定义应用问题的解题思路：①直接利用三角函数的定义，找到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．②已知角的某一个三

角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值．已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)．(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；(2)若cosα≤0且sinα＞0，求实数m的取值范围．解：(1)因为m＝2，

所以P(－3，4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5.所以sinα＝yr＝45，tanα＝yx＝－43.所以5sinα＋3tanα＝5×45＋3×－43＝0.(2)因为cosα≤0且sinα＞0，所以3m－9≤0，m＋2＞0.所

以－2＜m≤3.类型四三角函数线的应用(2017·郑州模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．解：要使原函数有意义，需2sinx－1>0，1－2cosx≥0，即sinx>1

2，cosx≤12，如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．故填2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．点拨：三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角

函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．此题考查三角函数的定义域，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，通过确

定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解．函数y＝sinx－32的定义域为________．解：作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，因为sinx≥32，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终

边的范围，故满足条件的角x的集合为x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故填x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅

是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋π2(k∈Z)的写法都是不规范的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长

和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的

定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单．8．2kπ＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2kπ＋α)＝

sinα.(2)sin(kπ＋α)＝sinα（k为偶数），－sinα（k为奇数）＝(－1)ksinα.1．(必修4第10页A组第10题改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10D.10π9解：单位圆的半径r＝

1，200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义知10π9＝lr，所以l＝10π9.故选D.2．若θ是第三象限角，且cosθ2>0，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为θ是第三象限角，所以－π＋2kπ<θ<－π2＋2kπ，则－π2＋kπ<θ2

<－π4＋kπ，k∈Z，即θ2是第二象限或者第四象限角，因为cosθ2>0，所以θ2是第四象限角．故选D.3．(九江十校2017届联考)sin570°的值是()A．－12B.12C.32D．－32解：sin570°＝

sin(360°＋210°)＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12.故选A.4．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45解：cosα＝－4（－4）2＋32＝－45.故选D.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为

坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解：由题意，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·1a2＋

12－1＝23，解得a2＝15，即|a|＝55，所以|a－b|＝|a－2a|＝55.故选B.6．(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cosα<sinα，则P所在的

圆弧是()A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解：由右图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线．当点P在AB︵上时，cosα＝OM，sinα＝MP，即cosα>sinα，故A选项错误；当点P在CD︵上时，cosα＝OM

，即sinα＝MP，tanα＝AT，AT>MP>OM>0，即tanα>sinα>cosα，故B选项错误；当点P在EF︵上时，cosα＝OM<0，sinα＝MP>0，tanα＝AT<0，且|OM|<|AT|，所以sinα>cosα>tanα，故C选项正确；点P在GH︵上

且GH︵在第三象限，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故D选项错误．故选C.7．(2018届河南省洛阳市高三第三次统考)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3，4)，则sin

α＋2cosαsinα－cosα＝________.解：根据角α的终边过P(3，4)，利用三角函数的定义，得tanα＝43，所以有sinα＋2cosαsinα－cosα＝tanα＋2tanα－1＝43＋243－1＝1

0313＝10.故填10.8．(2018届湖北黄冈中学高三5月模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tanα＋π4＝13，则sinα＝________.解：由tanα＋π4＝13，得tanα＋π4＝1＋ta

nα1－tanα＝13，tanα＝－12，根据三角函数的定义，m2＝－12，则m＝－1，所以P(2，－1)，P到原点距离为5，则sinα＝yr＝－15＝－55.故填－55.9．(2018届黑龙江齐齐哈尔八中8月月考)已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a，4a)，其中a≠0，求sinα，cosα，

tanα.解：r＝5|a|.当a>0时，r＝5a，所以sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝3a5a＝35，tanα＝yx＝4a3a＝43；当a<0时，r＝－5a，所以sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.综上可知，sinα＝45，cosα＝35，tanα＝

43或sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.10．若α∈[0，2π)，且cosα≥32，求角α的取值范围．解：如图，OM为[0，2π)内的角π6和11π6的余弦线，欲使cosα≥32，角α的余弦

线≥OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过部分为图中扇形(阴影部分)，则0≤α≤π6或11π6≤α<2π.所以角α的取值范围是0，π6∪11π6，2π.11．利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin2π3与sin4π5；(2)tan2π3与tan4π5.解：如图所示，角

2π3的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin2π3＝MP，tan2π3＝AT；同理，sin4π5＝M′P′，tan4π5＝AT′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，

所以，(1)sin2π3>sin4π5；(2)tan2π3<tan4π5.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|

的值为________．解：因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，则sinθ|sinθ|＋cosθ

|cosθ|＋tanθ|tanθ|＝－1＋1－1＝－1.故填－1.