【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案3．2《导数的应用(一)》(含详解).doc，共(8)页，281.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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3．2导数的应用(一)函数的单调性与导数(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内________；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内_____

___．(2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是________．自查自纠：(1)单调递增单调递减(2)常数函数(教材改编)函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0，4)B．(0，

2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)解：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，所以单调递减区间为(0，4)．故选A.已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(

)A．f(2)>f(3)>f(π)B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3)D．f(π)>f(3)>f(2)解：f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函

数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.(2017·浙江)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()ABCD解：由导函数y＝f′(x)的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1)，并且当x<

x1时，f′(x)<0，该图象在x轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x2，x3)，且当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0；当x∈(x2，x3)时，f′(x)<0；当x>x3时，f′(x)>0.因此函数f(x)在x＝x1处取得极小值，在x＝x2处

取得极大值，在x＝x3处取得极小值．对照四个选项，选项A中，在x＝x1处取得极大值，不合题意；选项B中，极大值点应大于0，不合题意；选项C中，在x＝x1处取得极大值，也不合题意；选项D合题意．故选D.若函数f(x)＝x3＋bx2＋c

x＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．解：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，所以－1，3是f′(x)＝0的两个根，所以b＝－3，c＝－9，b＋c＝－12.故填－12.若函数f(x)＝2x3－3mx2＋

6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．解：f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，所以m≤x＋1x恒成立．令g(x)＝x＋1x，g′(x)＝1－1x2，当x>2时，g′(x)>0，即g(

x)在(2，＋∞)上单调递增，所以m≤2＋12＝52.故填－∞，52.类型一导数法研究函数的单调性(1)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．解：f′(x)＝sinx＋xco

sx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx>0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2和0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.故填－π，－π2和0，π2.(2)若函数f

(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞)B.1，32C．[1，2)D.32，2解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，由f′(x)＝0，得x＝12.依题意得k－1<12

<k＋1，k－1≥0，解得1≤k<32.故选B.(3)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的

解集为()A．(－3，－2)∪(2，3)B．(－2，2)C．(2，3)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解：由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－2<x2－6<3，所以2<

x<3或－3<x<－2.故选A.点拨：确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数f(x)的定义域；第二步，求f′(x)；第三步，解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间

．(1)已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在0，1e上单调递增D．在0，1e上单调递减解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所

以f′(x)＝lnx＋1(x>0)．当f′(x)>0时，解得x>1e，即函数的单调递增区间为1e，＋∞；当f′(x)<0时，解得0<x<1e，即函数的单调递减区间为0，1e.故选D.(2)设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间

[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1，2]B．[4，＋∞)C．(－∞，2]D．(0，3]解：f′(x)＝x－9x(x>0)，当x－9x≤0时，有0<x≤3，即函数f(x)的单调递减

区间是(0，3]，所以0<a－1<a＋1≤3，解得1<a≤2.故选A.(3)已知函数f(x)＝lnxx，则()A．f(e)>f(2)>f(3)B．f(3)>f(e)>f(2)C．f(3)>f(2)>f(e)D．f(e)>f(3)>f(2)解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝

1－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)max＝f(e)＝1e，而f(2)＝ln22＝ln86，f(3)＝ln33＝ln96，所以f(e)>f(3

)>f(2)．故选D.类型二利用导数研究含参数函数的单调性(2018·皖南八校联考)已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)，其中a>0.讨论f(x)的单调性．解：f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)

．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2－2aa＝2a－2.①当0<a<1时，f(x)在区间(－∞，0)和2a－2，＋∞上单调递增，在区间0，2a－2上单调递减；②当a＝1时，f(x)在R上单调递增；③当a>1

时，f(x)在区间－∞，2a－2和(0，＋∞)上单调递增，在区间2a－2，0上单调递减．点拨：研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(2018·河北

石家庄质检二)已知函数f(x)＝mln(x＋1)(m∈R)，g(x)＝xx＋1(x>－1)．讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)在(－1，＋∞)上的单调性．解：F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝mx＋1－1（x＋1）2＝m（x＋1）－1（x＋1）2(x>－1)．①当m≤0时，F′

(x)<0，函数F(x)在(－1，＋∞)上单调递减；②当m>0时，令F′(x)<0⇒x<－1＋1m，函数F(x)在－1，－1＋1m上单调递减；令F′(x)>0⇒x>－1＋1m，函数F(x)在－1＋1m，＋∞上单调递增．类型三已知函数单调性确定参数的值(范围)(1)若

函数f(x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x(x≥0，a>0)的单调递增区间是[1，＋∞)，则a的取值集合是________．解：f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，即f(x)仅在区间[1，＋∞)上单调递增．令f′(x)≥0⇒ax2＋a－2≥0⇒x2≥2－a

a.若2－aa≤0，即a≥2，则x2≥2－aa恒成立，f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，不符合题意；若2－aa＞0，即0＜a＜2，则f(x)的单调递增区间为2－aa，＋∞，所以2－aa＝1，即a＝1时，符合题意．故填{a|a＝1}．(2)若函数f(

x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x(x≥0，a＞0)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．解：f′(x)＝aax＋1－2（x＋1）2＝ax2＋a－2（ax＋1）（x＋1）2，由f(x)在[1，＋∞

)上单调递增可得，对任意x≥1，f′(x)≥0⇒a(x2＋1)≥2.所以a≥2x2＋1max＝1，所以a≥1.故填[1，＋∞)．点拨：根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相

应单调区间的子集．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．③函数在某个区间存

在单调区间可转化为不等式有解问题．(1)(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．[－1，1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13解：依题意知，f′(x

)＝1－23cos2x＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－43t2＋at＋53≥0在[－1，1]上恒成立，因为Δ＝a2＋809>0，所以g（1）＝－43＋a＋53≥0，g（－1）＝－43－a＋53

≥0，解得－13≤a≤13.故选C.(2)若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在23，＋∞上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－

122＋14＋2a.当x∈23，＋∞时，f′(x)单调递减，故f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a.令29＋2a>0，解得a>－19，所以实数a的取值范围是－19，＋∞.故填－19，＋∞.1．用导数判断单调性用导数判断

函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”

的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)解：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(e

x)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()ABCD解：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x

>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．故选C.3．已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：f′(x)＝32x2

＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.4．(2016·杭州模拟)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．

(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)解：因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x

>1，所以0<1x<1，所以k≥1.故选D.5．(2016·武汉模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3

)，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a解：依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<12<1，因此有f(－1)<f(0)<f

12，即有f(3)<f(0)<f12，c<a<b.故选C.6．函数f(x)＝110(x3＋bx2＋cx)＋d的图象如图，则函数y＝log2x2＋23bx＋c3的单调递减区间为()A.

12，＋∞B．[3，＋∞)C.－∞，12D．(－∞，－2)解：f′(x)＝110(3x2＋2bx＋c)，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以－2b3＝－2＋3，c3＝－2×3，解得b＝－32

，c＝－18.令g(x)＝x2＋23bx＋c3，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1.由g(x)>0，解得x<－2或x>3.当g′(x)<0时，x<12，所以g(x)的单调递减区间为(－∞，－2)．所以函数y＝log2(x2＋23bx＋c3)的单调递减区间为(－∞，－2

)．故选D.7．函数y＝x－2sinx在(0，2π)内的单调递增区间为________．解：y′＝1－2cosx，由1－2cosx>0，0<x<2π，得π3<x<5π3.所以函数y＝x－2sinx在(0，2π)内的单调递增区间为π3，5

π3.故填π3，5π3.8．(2017·山东卷改编)若函数y＝exf(x)(e＝2.71828„是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的有________个．①f(x)＝2－x；②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x；④f(

x)＝cosx.解：对于①，f(x)＝2－x＝12x，则exf(x)＝ex·12x＝e2x，因为e2>1，所以exf(x)在R上单调递增，所以f(x)＝2－x具有M性质．对于②，f(x)＝x

2，exf(x)＝exx2，[exf(x)]′＝ex(x2＋2x)，令ex(x2＋2x)>0，得x>0或x<－2；令ex(x2＋2x)<0，得－2<x<0，所以函数exf(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递

增，在(－2，0)上单调递减，所以f(x)＝x2不具有M性质．对于③，f(x)＝3－x＝13x，则exf(x)＝ex·13x＝e3x，因为e3<1，所以y＝e3x在R上单调递减，所以f(x)

＝3－x不具有M性质．对于④，f(x)＝cosx，exf(x)＝excosx，则[exf(x)]′＝ex(cosx－sinx)≥0在R上不恒成立，故exf(x)＝excosx在R上不是单调递增的，所以f(x)＝c

osx不具有M性质．故填1.9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.求f(x)的单调区间．解：f′(x)＝（2ax＋b）ex－（ax2＋bx＋c）ex（ex）2＝－ax2＋

（2a－b）x＋b－cex.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同．又因为a

>0，所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．10．已知函数f(x)＝lnx＋12x2－2ax，其中a∈R.讨论函数f(x)的单调性

．解：f′(x)＝1x＋x－2a＝x2－2ax＋1x(x>0)，令h(x)＝x2－2ax＋1，Δ＝4(a2－1)．①当a≤0时，－2ax≥0，所以f′(x)＝h（x）x>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②当0<a≤1时，Δ＝4(a2－1)≤0，所以h(x)≥0即f′

(x)≥0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．③当a>1时，Δ＝4(a2－1)>0，令h(x)＝0，得x1＝a－a2－1>0，x2＝a＋a2－1>0.f′(x)>0⇒x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)，f′(x)<0⇒x∈(x1，x2)，所以f(x

)在(0，a－a2－1)和(a＋a2－1，＋∞)上是增函数，在(a－a2－1，a＋a2－1)上是减函数．综上，当a≤1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>1时，f(x)在(0，a－a2－1)和(a＋a2－1，＋∞)上单调递增，在(a－a2－1，a＋a2－1)上单调递减．11．已知函数h

(x)＝lnx－12ax2－2x.(1)若函数h(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝

1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0有解，即a>1x2－2x有解．令G(x)＝1x2－2x，所以只要a>G(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1(x>0)，所以G(x)mi

n＝－1.所以a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)．(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，h′(x)≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈1

4，1，所以当x＝4时，G(x)max＝－716，所以a≥－716，即a的取值范围是－716，＋∞.(2017·豫南九校2月联考)已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2

f(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)>0的解集为()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(－∞，0)D．(－1，＋∞)解：令g(x)＝f（x）e2x，则g′(x)＝f′（x）－2f（x）e2x<0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减，又因为g(－1)＝0，f(x)>0⇔g(x)

>0，所以x<－1.故选A.