【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案2．7《函数与方程》(含详解).doc，共(22)页，834.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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2．7函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．(2)函数有零点的几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴_______________⇔函数y＝f(x)_______________．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的______

__．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图

象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间_______________内有零点，即存在c∈_______________，使得_______________，这

个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠：1．(1)f(x)＝0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0(教材改编)函数f(x

)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解：f(x)在其定义域上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，所以f(0)f(1)<0，所以f(x)有且只有一个零点．故选B.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y

＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()ABCD解：能用二分法求零点的函数的图象

必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0

，所以(－3a＋1)(1－a)<0，解得13<a<1，所以实数a的取值范围是13，1.故填13，1.函数f(x)＝3x|log12x|－1的零点个数为________．解：由f(x)＝0，得|log12x|＝13x，作出函数

y＝|log12x|和y＝13x的图象，由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．故填2.类型一判断函数零点所在区间(1)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．

(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解：易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝32－log24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)

．故选C.(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(

c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解：易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c

)内．故选A.点拨：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满

足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.

12，34解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．因为f－14＝e－14－4<0，f(0)＝－2<0，f14＝e14－2<0，f

12＝e12－1>0，所以f14·f12<0，所以f(x)的零点所在区间为14，12.故选C.(2)(2017·唐山摸底)设x0是方程13x＝x的解，则x0所在的范围是()A.0，13B.13，12C.12，23D

.23，1解：构造函数f(x)＝13x－x，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因为f(0)＝130－0＝1>0，f13＝1313－1312>0，f12＝1312－1212<0，所以由零点存在性定理可得函数f(x)在

13，12上存在零点，即x0∈13，12.故选B.类型二零点个数的判断(1)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解：由x≤0，x2＋2x－3＝0

，得x＝－3.由x>0，－2＋lnx＝0，得x＝e2.所以f(x)的零点个数为2.故选C.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f

(x)－log3|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2解：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图．观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4

个零点．故选B.点拨：判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数．(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7解：由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x

∈[0，4]，所以x2∈[0，16]．由于cosπ2＋kπ＝0(k∈Z)，而在π2＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C.(2)(2018·南昌调研)已知f(x)是定

义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2018x＋log2018x，则函数f(x)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4解：作出函数y＝2018x和y＝－log2018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2018x＋log2018x在x∈

(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故选C.类型三已知零点情况求参数的取值范围(1)(2016·山东)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x>m，

其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．解：f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.故填(3，＋∞)．(

2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．解：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示

．由图可知方程f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于函数y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以y＝－x2－3x，y＝a（1－x）有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个

不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，所以0<a<1或a>9.故填(0，1)∪(9，＋∞)．点拨：已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合

，步骤为：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解：因为函数f(x)＝2x－2

x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，所以0＜a＜3.故选C.(2)(2017·焦作二模)已知函数f(x)＝e

x，x≤0，x2＋ax＋1，x>0，F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(0，＋∞)解：当x≤0时，F(x)＝ex

－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单调递减且F(0)＝0，此时函数F(x)有且仅有1个零点为0.当x>0时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，因为函数F(x)有2个零点，即当x>0时，有1个零点，所以1－a>

0，所以a<1.故选C.类型四二分法求函数的零点已知自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4„y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556„y＝x20.040.361.01.963.244.

846.769.011.56„则方程2x＝x2的一个根位于区间()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)解：令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(

2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选C.点拨：用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证f

(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；第二步，求区间[a0，b0]的中点x0＝a0＋b02；第三步，计算f(x0)：①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；②若f(a0)·f(x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a

1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；第四步，判断区间[a1，b1]是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．在用二分法求方程x2＝2的正实数根

的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解：设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.故填7.1．函数

y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞

0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如

三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()

A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12解：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.故选C.2．设函数f(x)＝3x＋x，则函数f(x)存在零点的

区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(－1，0)D．(－2，－1)解：函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，

则f(x)在(1，2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有解：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.4．设函数f(x)的零点为x

1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝lnx－122D．f(x)＝4x－1解：选项A，x1＝1；选项B

，x1＝0；选项C，x1＝32或－12；选项D，x1＝14.因为g(1)＝4＋2－2>0，g12＝2＋1－2>0，g14＝2＋12－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈14，12.选项中，只有x1＝14时，满足|x1－x2|≤0.25.故

选D.5．(2017·湖南衡阳模拟)函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[－2，2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝()A．14B．12C．10D．8解：由题图1可知，

若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1，g(x)＝0时，x＝－32或x＝0或x＝32，g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－32或f(x)＝32

或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝32与f(x)＝－32对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.故m＋n＝14.故选A.6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方

程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－

2x的零点，则g(x0)＝________.解：f(x)是(0，＋∞)上的增函数，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－23>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故填2.8．设函数f(x)＝2x－a，x<1，4（x－a）（x－2a），

x≥1.(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．解：(1)若a＝1，则f(x)＝2x－1，x<1，4（x－1）（x－2），x≥

1.作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2.当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足a<1≤2a，21－a>0，－a<0，解得12≤a<

1.综上，实数a的取值范围为12，1∪[2，＋∞)．故填－1；12，1∪[2，＋∞)．9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0

的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋1x，又因为y＝x＋1x在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋1x在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以1－m≥2，所以m≤－1，故实数m的取值范围是(－∞，－1]．10．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)

＝x＋14x，x>0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(1)＝－12－2×1＝－3，所以g(f(1))＝g(－3)＝－

3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<

1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a<54时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即实数a的取值范围是1，54.11．(2018·广东汕头质检)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋

m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)方法一：因为g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，当且仅

当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．方法二：由g′(x)＝1－e2x2＝（x＋e）（x－e）x2，可作

出y＝g(x)的大致图象(如图1)．可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作

出y＝g(x)的大致图象(如图2)．因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，

g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的最小值为________．解：设F(x)＝ax，G(x)＝loga

x，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．因为y＝F(x)与y＝G(x)的图象关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，所以1m＋1n＝

1m＋1n·m＋n4＝142＋nm＋mn≥14(2＋2nm·mn)＝1，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝2时等号成立．所以1m＋1n的最小值为1.故填1.2．7函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______________的实数x叫做函数

y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．(2)函数有零点的几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴_______________⇔函数

y＝f(x)_______________．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．

2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间_______________内有零点，即存在c∈____________

___，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠：1．(1)f(x)＝0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x

)2．f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0(教材改编)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解：f(x)在其定义域上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，所

以f(0)f(1)<0，所以f(x)有且只有一个零点．故选B.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零

点．故选A.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()ABCD解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数

不连续．故选C.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1

)(1－a)<0，解得13<a<1，所以实数a的取值范围是13，1.故填13，1.函数f(x)＝3x|log12x|－1的零点个数为________．解：由f(x)＝0，得|log12x|＝13x，作出函数y＝|log12x|和y＝1

3x的图象，由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．故填2.类型一判断函数零点所在区间(1)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．

(4，＋∞)解：易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝32－log24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．故选C.(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)

(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解：易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a

<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选A.点拨：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的

存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．

(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数

．因为f－14＝e－14－4<0，f(0)＝－2<0，f14＝e14－2<0，f12＝e12－1>0，所以f14·f12<0，所以f(x)的零点所在区间为14，12.故选C.(2)(2017·唐山摸底)设x0是方程13x＝x的解，则x0所

在的范围是()A.0，13B.13，12C.12，23D.23，1解：构造函数f(x)＝13x－x，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因为f(0)＝130－0＝1

>0，f13＝1313－1312>0，f12＝1312－1212<0，所以由零点存在性定理可得函数f(x)在13，12上存在零点，即x0∈13，12.故选B.类型

二零点个数的判断(1)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解：由x≤0，x2＋2x－3＝0，得x＝－3.由x

>0，－2＋lnx＝0，得x＝e2.所以f(x)的零点个数为2.故选C.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2解：由题意知

，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图．观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选B.点拨：判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法，即转化为两个函

数图象的交点个数．(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7解：由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0，4]，所以x2∈[0，16]．

由于cosπ2＋kπ＝0(k∈Z)，而在π2＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C.(2)(2018·南昌调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(

0，＋∞)时，f(x)＝2018x＋log2018x，则函数f(x)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4解：作出函数y＝2018x和y＝－log2018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2018x＋log2018x在

x∈(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故选C.类型三已知零点情况求参数的取值范围(1)(2016·山东)已知函数f(x)＝

|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x>m，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．解：f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝

b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.故填(3，＋∞)．(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．

解：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示．由图可知方程f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于函数y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以

y＝－x2－3x，y＝a（1－x）有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，所以0<a<1或a>9.故填(0，1)∪(9，＋∞)．点拨：已知函数零点情况求参数取值范

围的方法主要是数形结合，步骤为：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1

，2)C．(0，3)D．(0，2)解：因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－

3)＜0，所以0＜a＜3.故选C.(2)(2017·焦作二模)已知函数f(x)＝ex，x≤0，x2＋ax＋1，x>0，F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(0，＋∞)解

：当x≤0时，F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单调递减且F(0)＝0，此时函数F(x)有且仅有1个零点为0.当x>0时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，因为函数F(x)有2个零点，即

当x>0时，有1个零点，所以1－a>0，所以a<1.故选C.类型四二分法求函数的零点已知自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4„y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010

.556„y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56„则方程2x＝x2的一个根位于区间()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)

解：令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选

C.点拨：用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；第二步，求区间[a0，b0]的中点x0＝a0＋b02；第三步，计算f(x0)：①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；②若f(a0)·f(

x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；第四步，判断区间[a1，b1]是否达到精确度ε：即若

|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解：设至少需要计算

n次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.故填7.1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．确定函数f(x)零点

个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅

要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x

)在区间(a，b)内有唯一零点．1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12解：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.故选C.2．设函数f(

x)＝3x＋x，则函数f(x)存在零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(－1，0)D．(－2，－1)解：函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，

若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有解：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次

函数，所以有且仅有一个零点．故选C.4．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝ln

x－122D．f(x)＝4x－1解：选项A，x1＝1；选项B，x1＝0；选项C，x1＝32或－12；选项D，x1＝14.因为g(1)＝4＋2－2>0，g12＝2＋1－2>0，g14＝2＋12－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈14，12.

选项中，只有x1＝14时，满足|x1－x2|≤0.25.故选D.5．(2017·湖南衡阳模拟)函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[－2，2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根

，则m＋n＝()A．14B．12C．10D．8解：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1，g(x)＝0时，x＝－32或x＝0或x＝32，g(x)＝1时，x

＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－32或f(x)＝32或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝32与f(x)＝－32对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.故m＋n＝14.故选A.

6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解：函数g(x)＝f(x

)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.7．已知[x]

表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)＝________.解：f(x)是(0，＋∞)上的增函数，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝l

n3－23>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故填2.8．设函数f(x)＝2x－a，x<1，4（x－a）（x－2a），x≥1.(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______

_．解：(1)若a＝1，则f(x)＝2x－1，x<1，4（x－1）（x－2），x≥1.作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a

≤0，即a≥2，所以a≥2.当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足a<1≤2a，21－a>0，－a<0，解得12≤a<1.综上，实数a的取值范围为12，1∪[2，＋∞)．故填－1；12，1∪[2，＋∞)．9．关于x的二次方程

x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋1x，又因为y＝x＋1x在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋1x在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以

1－m≥2，所以m≤－1，故实数m的取值范围是(－∞，－1]．10．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝x＋14x，x>0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(1)＝

－12－2×1＝－3，所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个

不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a<54时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即实数a的取值范围是1，54.11．(2018·广东汕头质检)已知函数f(x)＝

－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)方法一：因为g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值

域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．方法二：由g′(x)＝1－e2x2＝（x＋e）（x－e）x2，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．可知若使y＝

g(x)－m有零点，则只需m≥2e.即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(

x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相

异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的最小值为________．解：设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(

x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．因为y＝F(x)与y＝G(x)的图象关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，所

以1m＋1n＝1m＋1n·m＋n4＝142＋nm＋mn≥14(2＋2nm·mn)＝1，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝2时等号成立．所以1m＋1n的最小值为1.故填1.2．7函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使____

___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．(2)函数有零点的几个

等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴_______________⇔函数y＝f(x)_______________．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)

＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有______

_________，那么，函数y＝f(x)在区间_______________内有零点，即存在c∈_______________，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零

点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠：1．(1)f(x)＝0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0(教材改编)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1

C．2D．3解：f(x)在其定义域上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，所以f(0)f(1)<0，所以f(x)有且只有一个零点．故选B.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解：y＝cosx是偶

函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()ABCD解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<

0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1)(1－a)<0，解得

13<a<1，所以实数a的取值范围是13，1.故填13，1.函数f(x)＝3x|log12x|－1的零点个数为________．解：由f(x)＝0，得|log12x|＝13x，作出函数y＝|log12x|和y＝13x的图象，由图象知两函数图象有2个交

点，故函数f(x)有2个零点．故填2.类型一判断函数零点所在区间(1)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解：易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝3－l

og22＝2>0，f(4)＝32－log24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．故选C.(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)

内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解：易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分

别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选A.点拨：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函

数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所

在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．因为f－14＝e－14－4<0，f(0)＝－2<0，f14＝e14－2<0

，f12＝e12－1>0，所以f14·f12<0，所以f(x)的零点所在区间为14，12.故选C.(2)(2017·唐山摸底)设x0是方程13x＝x的解，则x0所在的范围是()A.0，13B.13，12C.12，23D

.23，1解：构造函数f(x)＝13x－x，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因为f(0)＝130－0＝1>0，f13＝1313－1312>0，f12＝

1312－1212<0，所以由零点存在性定理可得函数f(x)在13，12上存在零点，即x0∈13，12.故选B.类型二零点个数的判断(1)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为()A．0B

．1C．2D．3解：由x≤0，x2＋2x－3＝0，得x＝－3.由x>0，－2＋lnx＝0，得x＝e2.所以f(x)的零点个数为2.故选C.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)

－log3|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2解：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图．观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选B.点拨：判断函数零点个

数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数．(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7解：由f(

x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0，4]，所以x2∈[0，16]．由于cosπ2＋kπ＝0(k∈Z)，而在π2＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C

.(2)(2018·南昌调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2018x＋log2018x，则函数f(x)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4解：作出函数y＝2018x和y＝－log2018x的图象如图所示，可知函数

f(x)＝2018x＋log2018x在x∈(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故

选C.类型三已知零点情况求参数的取值范围(1)(2016·山东)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x>m，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的

根，则m的取值范围是________．解：f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.故填(3，＋∞)．(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有

4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．解：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示．由图可知方程f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于函数y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4

个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以y＝－x2－3x，y＝a（1－x）有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，所以0<

a<1或a>9.故填(0，1)∪(9，＋∞)．点拨：已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合，步骤为：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(1)函数f(x)＝2x－2x－a

的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解：因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜

0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，所以0＜a＜3.故选C.(2)(2017·焦作二模)已知函数f(x)＝ex，x≤0，x2＋ax＋1，x>0，F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，0]B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(0，＋∞)解：当x≤0时，F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单调递减且F(0)＝0，此时函数F(x)有且仅有1个零点为0.当x>0时，F(x)＝x[x＋(a

－1)]，因为函数F(x)有2个零点，即当x>0时，有1个零点，所以1－a>0，所以a<1.故选C.类型四二分法求函数的零点已知自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4„y＝2x1.1491.5162

.02.6393.4824.5956.0638.010.556„y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56„则方程2x＝x2的一个根位于区间()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2

.2)D．(2.6，3.0)解：令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h

(2.2)<0.故选C.点拨：用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；第二步，求区间[a0，b0]的中点x0＝a0＋b02；第三步，计算f(x

0)：①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；②若f(a0)·f(x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；第四步，判断区间[a1，b1]

是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解：设至少需

要计算n次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.故填7.1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标

，注意它是数而不是点．2．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函

数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点

．1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12解：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.故选C.2．设函数f(x)＝3x＋x

，则函数f(x)存在零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(－1，0)D．(－2，－1)解：函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.3．二次函数f(x)

＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有解：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.

4．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝lnx－122D．f(x)＝4x－1解：选项A，x1＝

1；选项B，x1＝0；选项C，x1＝32或－12；选项D，x1＝14.因为g(1)＝4＋2－2>0，g12＝2＋1－2>0，g14＝2＋12－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈14，12.选项中，只有x1＝14

时，满足|x1－x2|≤0.25.故选D.5．(2017·湖南衡阳模拟)函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[－2，2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝(

)A．14B．12C．10D．8解：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1，g(x)＝0时，x＝－32或x＝0或x＝32，g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x)

)＝0，则f(x)＝－32或f(x)＝32或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝32与f(x)＝－32对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.故m＋n＝14.故选A.6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx

，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线

y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)＝________.解：f(x)是(0，＋∞)上

的增函数，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－23>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故填2.8．设函数f(x)＝2x－a，x<1，4（x－a）（x－2a），x≥1.(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________

；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．解：(1)若a＝1，则f(x)＝2x－1，x<1，4（x－1）（x－2），x≥1.作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－

a≤0，即a≥2，所以a≥2.当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足a<1≤2a，21－a>0，－a<0，解得12≤a<1.综上，实数a的取值范围为12，1∪[2，＋∞)．故填－1；12，1∪[2，＋∞)

．9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，0<x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋1x，又因为y＝x

＋1x在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋1x在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以1－m≥2，所以m≤－1，故实数m的取值范围是(－∞，－1]．10．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝x＋

14x，x>0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(1)＝－12－2×1＝－3，所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(

t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知

，当1≤a<54时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即实数a的取值范围是1，54.11．(2018·广东汕头质检)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；(2)确定实数m的取值范围，

使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解：(1)方法一：因为g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．方

法二：由g′(x)＝1－e2x2＝（x＋e）（x－e）x2，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与

f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.如图所示，故当m－1＋e2>2e，

即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的最小值

为________．解：设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．因为y＝F(x)与y＝G(x)的图象关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直

线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，所以1m＋1n＝1m＋1n·m＋n4＝142＋nm＋mn≥14(2＋2nm·mn)＝1，当且仅当nm＝mn，即m＝

n＝2时等号成立．所以1m＋1n的最小值为1.故填1.