【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案2．6《对数函数》(含详解).doc，共(10)页，379.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-24378.html

以下为本文档部分文字说明：

2．6对数函数1．对数(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的________________，记作x＝________________.其中a叫做对数的，N叫做________________．(2)两类重要的对

数①常用对数：以________________为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________________；②自然对数：以为底的对数称为自然对数，并把logeN记作________________．注：(i)无理数e＝2.71828…；(ii)负数和零没有对数；(

iii)loga1＝________________，logaa＝________________.(3)对数与指数之间的关系当a＞0，a≠1时，ax＝Nx＝logaN.(4)对数运算的性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0

，那么：①loga(MN)＝________________；②logaMN＝________________；③logaMn＝________________；一般地，logamMn＝________________；(5)换底公式及对数恒等式①对数恒等式：alogaN＝_________

_______；②换底公式：logab＝________________(a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝________________.2．对数函数的图象及性质定义一般地，函数y

＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1定义域____________值域____________性质过定点___________在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是_______3.对数函数与指数函

数的关系对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．自查自纠：1．(1)对数logaN底数真数(2)①10lgN②elnN(iii)01(3)⇔(4)①logaM＋logaN②

logaM－logaN③nlogaMnmlogaM(5)①N②logcblogca1logba2．(0，＋∞)R(1，0)增函数减函数3．y＝xlog535＋2log122－log5150－log514的值为()A.32B．2C．3D

．4解：原式＝log535×5014＋2log12212＝log553－1＝2.故选B.(2018·天津)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b解：由题意结合对

数函数的性质可知：a＝log2e>1，b＝ln2＝1log2e∈(0，1)，c＝log1213＝log23>log2e.据此可得c>a>b.故选D.(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普

通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033B．1053C．1073D．1093解：设x＝MN＝33611080，两边取对数，lgx＝lg3361108

0＝lg3361－lg1080＝361×lg3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即MN最接近1093.故选D.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.解：由题意得f(x)＋f(－

x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝－2.故填－2.(2018·禅城月考)已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是________．解：画

出y＝|lgx|的图象如图．因为0<a<b，且f(a)＝f(b)，所以|lga|＝|lgb|且0<a<1，b>1，所以－lga＝lgb，所以ab＝1，所以2a＋b≥22ab＝22，当且仅当2a＝b，ab＝1，即a＝22，b＝2时等号成立．故填[22，

＋∞)．类型一对数的化简与求值(1)已知3a＝4b＝12，则1a＋1b＝()A.12B．1C.2D．2解：因为3a＝4b＝12，所以a＝log312，b＝log412，1a＝12log3，1b＝12log4，所

以1a＋1b＝12log3＋12log4＝12log12＝2.故选D.(2)求值：lg8＋lg125－lg2－lg5lg10lg0.1＝________.解：lg8＋lg125－lg2－lg5lg10lg0.1＝lg10

00－lg1012lg10×（－lg10）＝－4.故填－4.(3)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________，用m，n表示log46为________．解：因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46

＝loga6loga4＝loga2＋loga32loga2＝m＋n2m.故填12；m＋n2m.点拨：对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．(1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝

2x，x≥4，f（x＋1），x＜4，则f(2＋log23)的值为()A．24B．16C．12D．8解：因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.故选A.(2)(2016·浙江)已知

a＞b＞1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.解：设logba＝t，则t＞1，由1t＋t＝52⇒t＝2⇒a＝b2，由ab＝ba⇒b2b＝bb2⇒2b＝b2⇒b＝2，a＝4.故填4；2.(3)方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－

1－2)＋2的解为________．解：设t＝3x－1，则原方程为log2(t2－5)＝log2[4(t－2)]，该方程等价于t2－5＞0，t－2＞0，t2－5＝4（t－2），解得t＝3，所以3x－

1＝3，得x＝2，故原方程的解为2.故填2.类型二对数函数的图象及应用(1)(2017·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD解：由于y＝a|x|的

值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.故选B.(2)(2017·河北五校质监)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线m

x＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则2m＋1n的最小值为()A．22B．4C.52D.92解：由函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知：当x＝－2时，y＝－1，所以点A的坐标为(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2

，又m>0，n>0，所以2m＋1n＝2m＋nm＋2m＋n2n＝2＋nm＋mn＋12≥52＋2＝92，当且仅当m＝n＝23时等号成立，所以2m＋1n的最小值为92.故选D.(3)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝log2x，

x＞0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距．由图可知，当a>

1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．故填(1，＋∞)．点拨：①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．②一些对数型

方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．(1)(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为()ABCD解：B中f(x)图象与x轴交点横坐标2a>2，则0<a<1

，g(x)单调递减，矛盾，排除；C中由f(x)图象知a<0，排除；D中2a<2⇒a>1，g(x)单调递增，矛盾，排除，仅A正确．故选A.(2)已知0＜m1＜2＜m2，a＞0，且a≠1，若logam1＝m1－1，logam2＝m2－1，则实数a的取值范围是()A．(2，3)B．(0，1)

C．(1，2)D．(3，4)解：依题意，知方程式logax＝x－1有两个不等实根m1，m2，在同一直角坐标系下，作出函数y＝logax与y＝x－1的图象，显然a＞1，由图可知m1＝1，要使m2＞2，需满足loga2＞2－1，即a＜2.综上知：实数a的取值范围是1＜a＜2.故

选C.(3)(2017·合肥月考)当0<x≤12时，4x<logax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)解：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1

时4x>0，logax<00<x≤12，不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知f12<g12，即2<loga12，则a>22，所以a的取值范围为22，1.故选B.类型三对数函数的性质及应用(1)(201

7·天津一模)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝12－0.52，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．b＜a＜c解：a＝log25＞2，b＝log5(log

25)∈(0，1)，c＝12－0.52∈(1，2)，可得b＜c＜a.故选B.(2)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x>1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2]

B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解：当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x>1.综上可知x≥0.故选D.(3)函数f(x)＝log2x·2log(2x)的最小值

为________．解：f(x)＝12log2x·[2(log2x＋1)]＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋122－14(x>0)，所以当log2x＝－12，即x＝22时，f(x)取得最小值－14.故填－14.点拨：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时

，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正．(1)(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b<ab<

0B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<abD．ab<0<a＋b解：因为a＝log0.20.3，b＝log20.3，所以1a＝log0.30.2，1b＝log0.32，1a＋1b＝log0.30.4，所以0<1a＋1b<1，即0<a＋bab<1.又因为a>0，b<0，所以ab<0，即a

b<a＋b<0.故选B.(2)设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12（－x），x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪

(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)解：由题意可得a>0，log2a>－log2a或a<0，log12（－a）>log2（－a），解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.(3)设a，

b，c均为正数，且2a＝log12a，12b＝log12b，12c＝log2c，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c解：因为a＞0，所以2a＞1，所以log12a＞1，所以0＜a＜12.又因为b＞0

，所以0＜12b＜1，所以0＜log12b＜1，所以12＜b＜1.又因为12c＞0，所以log2c＞0，所以c＞1，所以0＜a＜12＜b＜1＜c.故选A.类型四对数函数的综合问题已知函数f(x)＝log12(x2－2ax＋3)．(1)若f(x

)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．解：(1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3＞0

的解集为R，则Δ＝4a2－12＜0，解得－3＜a＜3.所以a的取值范围为(－3，3)．(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－3或a≥3.所以实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(3)由f(x

)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立，因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a＜－1时，u(x)min＝u(－1)＞0，即a＜－1，2a＋

4＞0，解得－2＜a＜－1；当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－3＜a＜3，所以－1≤a＜3.综上可知，a的取值范围为(－2，3)．(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[

2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.点拨：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内

讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用．(1)(2016·青海平安一中月考)已知函数f(x)＝log12(x2－

ax＋a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．解：令t(x)＝x2－ax＋a，则由函数f(x)在区间(2，＋∞)上是减函数，可得函数t(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，且t(2)≥0，所以a2≤2，t（2）＝4－a≥0，解得a≤4，

所以实数a的取值范围是a≤4.故填(－∞，4]．(2)(2016·南京师大附中等四校联考)若函数f(x)＝12x－3，x≤2，logax，x＞2(a>0且a≠1)的值域是[2，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

解：当x≤2时，f(x)≥122－3＝2，即函数的值域为[2，＋∞)；当x>2且a>1时，f(x)>loga2，即函数的值域为(loga2，＋∞)，由(loga2，＋∞)⊆[2，＋∞)，得loga2≥2，解得1<a≤2；当

x>2且0<a<1时，f(x)<loga2，与题设不符．所以实数a的取值范围是(1，2]．故填(1，2]．(3)(2017·青岛统考)已知函数f(x)＝－x2＋x，x≤1，log13x，x>1，g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x

2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________．解：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min，由y＝f(x)的图象(如图)可知，当x＝12时，f(x)取最大值，且f(x)max＝14；因为g(x)＝|x－k|＋|x

－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，所以g(x)min＝|k－1|，所以|k－1|≥14，解得k≤34或k≥54.故填－∞，34∪54，＋∞.已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0且a≠1)．(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意

义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)设t(x)＝3－ax，则t(x)是关于x

的一次函数，从而t（0）＞0，t（2）＞0，所以a<32.又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪1，32.(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数．因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以y＝logat为增函数，所以a>1，x∈[1，2]时，t(x

)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，所以3－2a＞0，loga（3－a）＝1，即a＜32，a＝32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.点拨：①确

定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行．②如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．③在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．④在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必

须为正的限制条件．(2018·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．解：(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，所以log4(4x＋1)＋2kx＝l

og4(4－x＋1)－2kx，即log44x＋14－x＋1＝－4kx，所以log44x＝－4kx，所以x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－14.(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－12x＝log44x＋12x＝log42x＋

12x，因为2x＋12x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以m≥log42＝12.故要使方程f(x)＝m有解，实数m的取值范围为12，＋∞.1．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．2．比较

两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中

间量进行比较．3．作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点1a，－1，(1，0)，(a，1)．1．计算：lg14－lg25÷12100＝()A．1B.110C．－10D．－20解：原式＝(lg2－2－

lg52)×10012＝lg122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.故选D.2．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()ABCD解：因为lga＋lgb＝0，所以ab＝1，所以g(x)＝－logbx＝logax，

故f(x)与g(x)的单调性相同．故选B.3．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>0，0<c<1，则()A．logac<logbcB．logca<logcbC．ac<bcD．ca>cb解：因为0<c<1，所以y

＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又0<b<a，所以logca<logcb.故选B.4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋15，则f(lo

g220)的值为()A．1B.45C．－1D．－45解：由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4<log220<5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－flog245＝－2log245＋15＝－

1.故选C.5．(2017·江西名校联考)设函数f(x)＝log12(x2＋1)＋83x2＋1，则不等式f(log2x)＋f(log12x)≥2的解集为()A．(0，2]B.12，2C．[2，＋

∞)D.0，12∪[2，＋∞)解：因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log12(x2＋1)＋83x2＋1＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t＝log2x，则log12x＝－t，则

不等式f(log2x)＋f(log12x)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1.又因为f(1)＝log122＋83＋1＝1，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1

]，所以x∈12，2.故选B.6．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则1a＋1b的值为()A．36B．72C．108D.172解：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可

得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以1a＋1b＝a＋bab＝6k2k－23k－3＝108.故选C.7．计算log89×log6432÷log23＝________.解：原式＝23log23×56log22

×log32＝59.故填59.8．若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x＞2(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解：当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[

4，＋∞)，所以a＞1，3＋loga2≥4，解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]．故填(1，2]．9．(2016·衡阳月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12

x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log12(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝log12(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log12

x，x＞0，0，x＝0，log12（－x），x＜0.(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(0)＝0＞f(4)＝－2.所以|x2－1|<

4，解得－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5)．10．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a的值．解：由题意知f(x)＝12(logax＋1)·(log

ax＋2)＝12[(logax)2＋3logax＋2]＝12logax＋322－18.当f(x)取最小值－18时，logax＝－32.又因为x∈[2，8]，所以a∈(0，1)．因为f(x)是关于logax的二次函数，所以函数f(x)的最大

值必在x＝2或x＝8时取得，若12loga2＋322－18＝1，则a＝2－13，此时f(x)取得最小值时，x＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12loga8＋322－18＝1，则a＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝12

－32＝22∈[2，8]，符合题意，所以a＝12.11．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝(f(x)＋1)·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒

成立，求实数k的取值范围．解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]．(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，得(3－4log2x)

(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<（3－4t）（3－t）t恒成立，即k<4t＋9t－15，因为4

t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号，所以4t＋9t－15的最小值为－3，从而k＜－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈13，2都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为_

_______．解：由已知f(x)＝logax，当0<a<1时，f13－|f(2)|＝loga13＋loga2＝loga23>0，当a>1时，f13－|f(2)|＝－l

oga13－loga2＝－loga23>0，故f13>|f(2)|总成立．作y＝|f(x)|的图象如图(上述结论也可由图象给出)．要使x∈13，2时恒有|f(x)|≤1，只需f13≤1，即－1≤loga

13≤1，即logaa－1≤loga13≤logaa，当a>1时，得a－1≤13≤a，即a≥3；当0<a<1时，得a－1≥13≥a，得0<a≤13.综上所述，a的取值范围是0，13∪[3，＋∞)．故填0，13∪[3，＋∞)．