【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案2．3《函数的奇偶性与周期性》(含详解).doc，共(10)页，347.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-24360.html

以下为本文档部分文字说明：

2．3函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都

有________________，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于________________对称；奇函数的图象关于对称________________．3．具

有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于________________，即“定义域关于________________”是“一个函数具有奇偶性”的________________条件．4．周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个______

__________T，使得当x取定义域内的________________值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(

x)的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为________________；(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(

x)在[－b，－a]上为．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝________________，偶±偶＝________________，奇×奇＝________________，偶×偶＝________________，奇×偶＝___________

_____.7．函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴x＝a＋b2；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b＋x)，那么

函数的图象有对称中心a＋b2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．(2)如

果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么

函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.自查自纠：1．(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2．y轴原点3．原点对称原点对称必要不充分4．(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5．(1)增

(减)函数(2)减(增)函数6．奇偶偶偶奇下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝log21|x|D．f(x)＝sinx解：f(x)＝x2和f(x)＝2|x

|是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f(x)＝sinx为奇函数，f(x)＝log21|x|是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增．故选C.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当

x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝()A．－20B．20C．－12D．12解：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－flog215，b＝f(log24.1)，c＝f

(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b解：由题意，a＝f－log215＝f(log25)，且log25>log24.1>2>20.8，结合函数的单调性有：f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，即c<b

<a.故选C.(2018·江苏)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝cosπx2，0<x≤2，x＋12，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．解：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所

以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.故填22.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2

，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(50)＝________.解：因为f(x)是奇函数，所以f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，所以－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(

x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.又f(1)＝2，所

以f(－1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋„＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)

＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故填2.类型一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x＞0，x2＋2x－1，x＜0；(3)f(x)＝

4－x2|x＋3|－3；(4)f(x)＝9－x2＋x2－9；(5)f(x)＝ln1－x1＋x；(6)f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a>0且a≠1)．解：(1)定义域要求1－x1＋x≥0，所以－1＜x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，

所以f(x)不具有奇偶性．(2)解法一(定义法)：当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以

f(x)为奇函数．解法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．(3)由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0得－2≤x≤2且x≠0.所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．所以f(x)＝4－x2（x＋3）－3＝4－x2x.所以

f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．(4)由9－x2≥0，x2－9≥0得x＝±3.所以f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.

所以f(x)＝±f(－x)．所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．(5)由1－x1＋x>0，得－1<x<1，即f(x)＝ln1－x1＋x的定义域为(－1，1)．又f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

(6)因为函数的定义域为R，又因为f(－x)＋f(x)＝loga[－x＋（－x）2＋1]＋loga(x＋x2＋1)＝loga(x2＋1－x)＋loga(x2＋1＋x)＝loga[(x2＋1－x)(x2＋1＋x)]＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.即f(－x)＝－f

(x)，所以f(x)为奇函数．点拨：①判断函数奇偶性的步骤是：第一步，求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；第二步，验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或f（－x）f（x）＝±1(f(x)≠

0)是否成立．②对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．③对于含有x的对数式或指数式的函数常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．(1)(2017·肇庆三模)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsinx中，偶函

数的个数是()A．3B．2C．1D．0解：y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lgx2－2与y＝xsinx为偶函数．故选B.(2)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)一定为()A．偶函数B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非

偶函数解：显然f(x)的定义域是R，关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，得f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．故选B

.(3)(2018·山东枣庄二模)已知f(x)＝ax－log2(4x＋1)是偶函数，则a＝()A．1B．－1C．2D．－2解法一：由已知可得f(－x)＝f(x)，所以－ax－log2(4－x＋1)＝ax－log2

(4x＋1)，所以log24x＋14－x＋1＝2ax，所以log24x（4x＋1）4x（4－x＋1）＝2ax，所以2x＝2ax，所以a＝1.解法二：因为f(x)＝ax－log2(4x＋1)是偶函数，所以f(－1)＝f(1

)，即a－log2(41＋1)＝－a－log2(4－1＋1)，解得a＝1.故选A.(4)(2018·武昌联考)若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.解：因为f(－x)＝k－2－x1＋k·2－x＝k·2x－12x＋k，所以f(－x)＋f(

x)＝（k－2x）（2x＋k）＋（k·2x－1）（1＋k·2x）（1＋k·2x）（2x＋k）＝（k2－1）（22x＋1）（1＋k·2x）（2x＋k）.由f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立可得k2＝1，所以k＝±1.故填

±1.(5)已知函数f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.判断函数的奇偶性．解：当x＜0时，f(x)＝x2＋x，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，f(x)＝－x2＋x，－x＜0，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－

x＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．另解：作图．类型二利用函数性质求解析式已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；(3)若当x∈[0，2

]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．解：(1)证明：由题意知f(x)≠0，则f(x＋2)＝13f（x）.用x＋2代替x得f(x＋4)＝13f（x＋2）＝f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期．(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝

13f（1）＝132.(3)当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.当x∈(6，8]时，x－6∈(0，2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x＋2)＝f(x－6)＝x－6.又f(x)·f(x

＋2)＝13，所以f(x)＝13f（x＋2）＝13x－6.所以解析式为f(x)＝x－4，4≤x≤6，13x－6，6＜x≤8.点拨：本题存在规律性：若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则2a为f(x)的周期(a＞0)；同理，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f

（x）或f(x＋a)＝－1f（x），均可推得2a为f(x)的周期(a＞0)．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．解：(1)证明：

由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周

期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1，0]时，f(x)＝－－x.x∈[－5，－

4]时，x＋4∈[－1，0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.类型三奇偶性与单调性的综合问题(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(

)A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]解：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，因为f(x)单调递减，所以－1

≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围为[1，3]．故选D.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪

(2，＋∞)B．(－1，2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－2，1)解：因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f

(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.故选D.(3)(2018·山东济南一模)设函数f(x)＝log12(1＋x2)＋11＋2|x|，则使得f(x)≤f(2x－1)成立的x的取值范围是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C.13，1D.－∞，13∪[1

，＋∞)解：当x>0时，f(x)＝log12(1＋x2)＋11＋2x，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)≤f(2x－1)等价于|x|≥|2x－1|，两边平方化简为3x2

－4x＋1≤0，解得13≤x≤1，即x的取值范围是13，1.故选C.点拨：单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质．单调性与奇偶性之间有着密切的联系：①奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且f(－x)

＝－f(x)；②偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．综合利用函数的单调性和奇偶性，可以解决很多函数问题，特别是抽象函数问题．(1)已知f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－1，0)B．(0，1)C

．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解：因为f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝lg21＋x＋a＋lg21－x＋a＝0，解得a＝－1，即f(x)＝lg1＋

x1－x，由f(x)＝lg1＋x1－x<0，得0<1＋x1－x<1，解得－1<x<0.故选A.(2)(2018·太原检测)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上(

)A．有最小值f(a)B．有最大值fa＋b2C．有最小值f(b)D．有最大值f(b)解：令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝y＝0得f(0)＝0，代入得f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称．因为当x<0时，f(x)>0，∀y∈R，x＋y<

y，f(x＋y)>f(y)，即f(x)在R上是减函数，可得f(x)在[a，b]上有最小值f(b)，最大值f(a)．另解：依条件取f(x)＝－x.故选C.(3)(2017·合肥三模)定义在R上的函数y＝f(x)在(－∞，a)上是增函数，且函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1<a，x2>

a，且|x1－a|<|x2－a|时，有()A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)≥f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．f(x1)≤f(x2)解：因为函数y＝f(x＋a)是偶函数，其图象关于y轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a<0左移，a>0右移)

可得函数y＝f(x)的图象，因此函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，此时函数y＝f(x)在(a，＋∞)上是减函数．由于x1<a，x2>a且|x1－a|<|x2－a|，说明x1与对称轴的距离比x2与对称轴的距离小，故f(x1)>f(x

2)．故选A.类型四函数周期性与奇偶性的应用(1)(2016·河南重点中学二联)已知f(x＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x(x＋1)，则f－32的值为________．解：f(x＋1)是周期

为2的函数，则f(x)也是周期为2的函数，所以f－32＝f12.由f(x＋1)是奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(2－x)，故f－32＝f12＝－f32＝－f－12＝－12.故填－12.点拨：利用奇偶性和周期性，将待求的函数

值转化为已知区间上的函数值求解．(2)(2016·呼伦贝尔统考)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，当x∈(0，2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是()A．f(4.5)<f(7)<f(6.5)

B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)C．f(7)<f(6.5)<f(4.5)D．f(4.5)<f(6.5)<f(7)解：由题知f(x)是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x＝2.因为当x∈(0，2

)时，f(x)＝log2x2，所以f(x)在区间(0，2)上是增函数．又f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2

－0.5)＝f(1.5)，且0<0.5<1<1.5<2，所以f(0.5)<f(1)<f(1.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5)．故选A.点拨：易知函数f(x)在(0，2)上是增函数，根据图象的对

称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小．解这类问题建议数形结合，直观明了．(1)(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤

1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，fx＋12＝fx－12.则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．2解：当x>12时，由fx＋12＝fx－12，可得f(x)＝f(x＋1)，所以f

(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2.故选D.(2)(2018·湖北名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x均有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函数f(x－2)的图

象关于直线x＝2对称，则f(2018)＝________.解：由函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)＋22，得f(x＋4＋4)

＝－f(x＋4)＋22＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)＝f(2＋252×8)＝f(2)，再令x＝－2，则f(2)＝－f(－2)＋22，又因为f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2.故填2.1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点

对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义

的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝±1(f(x)≠0)进行判断．3．判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断．(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇

函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．4．判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是

从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝T|a|.5．函数奇

偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而

言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．6．解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．1．下列函数中，既

不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝1＋x2B．y＝x＋1xC．y＝2x＋12xD．y＝x＋ex解：根据奇偶函数的定义可知，选项A，C中的函数是偶函数，选项B中的函数是奇函数．故选D.2．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是偶函数，且在R上

是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数解：f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，13x是减函数，

根据增函数－减函数＝增函数，函数是增函数．故选B.3．已知函数f(x)＝x2＋1，x＞0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)解：由f(x)的图象易判断f(x)

不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.4．已知f(x)是R上的奇函数，对x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若f(－1)＝－2，则f(2019)＝()A．－2B．－1C．2D．20

19解：由f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，取x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2019)＝f(4×50

5－1)＝f(－1)＝－2.故选A.5．(2017·池州模拟)已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1<x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(

2020)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a<b<cB．b<a<cC．a<c<bD．c<b<a解：根据题意，①若对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1<x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x

2>0，则函数f(x)在区间[4，8]上为增函数；②若f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8；③若y＝f(x＋4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于

直线x＝4对称．a＝f(6)，b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(2020)＝f(252×8＋4)＝f(4)，又由函数f(x)在区间[4，8]上为增函数，则有c<b<a.故选D.6．已知g(x)是R上的奇

函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝x3，x≤0，g（x），x＞0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1，2)

D．(－2，1)解：设x>0，则－x<0，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝x3，x≤0，ln（1＋x），x＞0.易知函数f(x)是R上的单调递增函数，所以由f(2－x

2)>f(x)，得2－x2>x，解得－2<x<1.故选D.7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.解：由于f(－x)＝f(x)，所以ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，所以a＝－32.故

填－32.8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．解：由题意，f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)

可得2|a－1|<2，即|a－1|<12，所以12<a<32.故填12，32.9．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解

析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：(1)因为在x∈(－1，1)上f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即b＝0.所以f(x)＝ax1＋x2.又因为f12＝25，所以a21

＋14＝25.解得a＝1.所以f(x)＝x1＋x2，经检验适合题意．(2)证明：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝（x1x2－1）（x2－x1）（1＋x21）（

1＋x22），x1x2＜1，则x1x2－1＜0，x2－x1＞0，故f(x1)－f(x2)＜0.所以f(x)在(－1，1)上是增函数．(3)由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t

－1)＜f(－t)．所以－1＜t－1＜1，－1＜－t＜1，t－1＜－t，得0＜t＜12.故t的取值范围为0，12.10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)

判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f

(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2

.故f(x)＝－x，x∈[－1，0]，x，x∈（0，1），－x＋2，x∈[1，2].(2017·江苏)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．解：因为f(－x)＝－x3＋2x＋1ex－e

x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x＝3x2≥0，所以数f(x)在R上单调递增，又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1－a)，所以

2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12，故实数a的取值范围为－1，12.故填－1，12.1．(2018·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性

也相同的是()A．y＝－1xB．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1解：函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A为奇函数，不符合；选项B是偶函数，但其单调性不符合；选项D是非奇非偶函

数．只有选项C符合要求．故选C.2．下列函数不是周期函数的是()A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝sin|x|D．y＝sin(x＋1)解：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，y＝|sinx|的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，其图由y＝sinx去掉y轴左侧

图象，再将y轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．故选C.3．已知函数f(x)＝2x，x＞0，－2－x，x＜0，那么该函数是()A．奇函数，且在定义域上单调递减B．奇函数，且在定义域上单调递增C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增D．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递

增解：当x>0时，f(－x)＝－2x＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝2－x＝－f(x)．所以对定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．根据指数函数的性质知，f(x)在(－∞，0)上单调递增且值域为(－∞，－1)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且值域为

(1，＋∞)，故函数f(x)在定义域上单调递增．故选B.4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f（x），且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2017)＋f(2019)的

值为()A．0B．－4C．－2D．2解：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f（x），所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－1f（1）＝－1，所以f(－2017)＋f(20

19)＝0.故选A.5．(2018·广东韶关模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有f（x2）－f（x1）x2－x1<0，且f(2)＝0，则不等式2f（x）＋f（－x）5x<0的解集是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0

，2)C．(－2，0)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)解：因为f（x2）－f（x1）x2－x1<0，则f(x)在(－∞，0]单调递减，由题可知，当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－2

，2)时，f(x)<0，则2f（x）＋f（－x）5x＝3f（x）5x<0，即x与f(x)异号，解得(－∞，－2)∪(0，2)．故选B.6．设定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x)＝f

(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝xex.若a＝f20183，b＝f20195，c＝f20207，则()A．b<c<aB．a<b<cC．c<a<bD．b<a<c解：因为函数f(x)是偶函数，所以

f(x)＝f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)是以2为周期的周期函数．因为对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈(0，1]时，f′(x)＝1－xex≥0，即函数f(x)在(0，1]上单调递增．又a＝f20183＝f672＋23

＝f23，b＝f20195＝f404－15＝f15，c＝f20207＝f288＋47＝f47，且15<47＜23，所以b<c＜a.故选A.7．函数

f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解：因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，所以当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝－f(x)，即当x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－

x－1.故填－－x－1.8．(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是________．解：f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝

f(x＋1)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.故填[－3，1]．9．已知定义在R的函数f(x)＝

ex－e－x，其中e是自然对数的底数．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若关于x的不等式f(m－2)＋f(cos2x＋4sinx)<0在R上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)∀x∈R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)

为R上的奇函数．(2)由题意知f(x)＝ex－e－x是R上的增函数，f(m－2)<－f(cos2x＋4sinx)＝f(－cos2x－4sinx)，则m<2－cos2x－4sinx＝sin2x－4sin

x＋1＝(sinx－2)2－3，因为sinx∈[－1，1]，则当sinx＝1时，g(x)＝sin2x－4sinx＋1取最小值－2，所以m<－2.即实数m的取值范围是(－∞，－2)．10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1

，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)因为对于任意

x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(

x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0＜|x－1|＜16，解得－1

5＜x＜17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为()A．0B．1C．3D．5

解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为T是函数f(x)的一个正周期，所以f(T)＝f(－T)＝f(0)＝0，又f－T2＝fT－T2＝fT2，且f－T2＝－fT

2，所以fT2＝0，于是可得f－T2＝fT2＝0，所以方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数可能为5.故选D.