【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案12．2《合情推理与演绎推理》(含详解).doc，共(8)页，251.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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112．2合情推理与演绎推理1．两种基本的推理推理一般包括____________和____________两类．2．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳

推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到______

__的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．演绎推理

(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论—

—根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.自查自纠：1．合情推理演绎推理2．(1)部分个别(2)特殊特殊(3)归纳类比3．(1)一般特殊(2)三段论

下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①③④B．②③④C．②③⑤D．①③⑤解：归纳推理是由部分到

整体、由个别到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤正确．故选D.下列推理过程是类比推理的为()A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过

检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数解：由类比推理的概念可知，选项B为类比推理．选项A为归纳推理，选项C、D为演绎推理．故选B.(2018·泸州二诊)甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只

有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是()A．甲被录用了B．乙被录用了C．丙被录用了D．无法确定谁被录用了解：由于甲和丙的说法对立，故

甲和丙必一真一假，假如甲、乙说法正确，丙说法错误，则甲和丙都被录用，不成立；若甲说法错误，乙、丙说法正确，则甲被录用，满足题意．故选A.数列12，13，23，14，24，34，„，1m＋1，2m＋1，„，mm＋1的第20项是_____

_____．解：mm＋1在数列中是第1＋2＋3＋„＋m＝m（m＋1）2项，当m＝5时，即56是数列中第15项，2则第20项是57.故填57.(2017·湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括

两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋„＋9a2018a2019＝__________.解：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么

9anan＋1＝9（3n－3）×3n＝1n－1－1n，即9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋„＋9a2018a2019＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋„＋(12017－12018)＝1－12018＝20172018.故填20172

018.类型一归纳推理(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？说明理由．解：在{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，„，所以猜想{a

n}的通项公式an＝2n＋1.证明如下：因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1an＝1＋12

(n－1)＝12n＋12，所以通项公式an＝2n＋1.(2)(2017·烟台模拟)观察下列不等式．1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，„„照此规律，第五个不等式为____________．解：观察不等式的特点，每个不等式左

端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且右端分数的分子依次构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.故填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.点拨：本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察

、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题，从而写出题中要求的具体命题．(1)根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式．(Ⅰ)a1＝3，an＋1＝2an＋1；(Ⅱ)a1＝a，an＋1＝

12－an.解：(Ⅰ)由已知有a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.由此猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.(Ⅱ)由已知有a1＝a，a2＝12－a1＝1

2－a，a3＝12－a2＝2－a3－2a，a4＝12－a3＝3－2a4－3a.由此猜想an＝（n－1）－（n－2）an－（n－1）a，n∈N*.(2)(2016·山东)观察下列等式：(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；3(si

nπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋„＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋„＋(si

n8π9)－2＝43×4×5；„„照此规律，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋„＋(sin2nπ2n＋1)－2＝____________.解：注意到等式的右边分别为43×1×2，43×2×3，43×3×4，43×4×5，„，所以最后

一个等式的右边为43n(n＋1)．故填43n(n＋1)．类型二类比推理(1)(教材习题改编)在平面几何中，△ABC的内角C的角平分线CE分AB所成线段的比满足AEBE＝ACBC.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，平面DEC

平分二面角A-CD-B且与AB相交于点E，则得到类比的结论是____________．解：将平面中线段的比类比到空间中面积的比可得AEEB＝S△ACDS△BCD.故填AEEB＝S△ACDS△BCD.点拨：本题考查的是平面到空间的推广类

比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下.平面点线圆三角形角面积周长„空间线面球三棱锥二面角体积表面积„(2)若等差数列{an}的前n项之和为Sn，则一定有S2n－1＝(2

n－1)an成立．若等比数列{bn}的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，则有()A．T2n－1＝(2n－1)＋bnB．T2n－1＝(2n－1)bnC．T2n－1＝(2n－1)b2n－1nD．T2n－1＝b2

n－1n解：在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，a2＋a2n－2＝2an，„，故有S2n－1＝(2n－1)an.在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝b2n，b2b2n－2＝b2n，„，故有T2n－1＝b1b2„

b2n－1＝b2n－1n.故选D.点拨：只要将等差数列关系式中的d换成等比数列中的q，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可得到等比数列的关系式，而等差数列中d＝0通常类比成等比数列中q＝1.(

1)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，

S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.故填S21＋

S22＋S23＝S24.(2)“解方程35x＋45x＝1”有如下思路：设f(x)＝35x＋45x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，故原方程有唯一解x＝2.类比上述思路，不等式x6－(x＋2)＞

(x＋2)3－x2的解集是________．解：不等式化为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，设g(x)＝x3＋x，则g(x)在R上单调递增，所以不等式即g(x2)＞g(x＋2)，所以x2＞x＋2，解得x＞2或x＜－1.故4填{

x|x＞2或x＜－1}．类型三演绎推理指出下面推理中的错误．(1)自然数是整数大前提－5是整数小前提所以，－5是自然数结论(2)指数函数y＝ax是增函数大前提y＝12x是指数函数小前提所以，y＝12x是增函数结论(3)三角函数是周期函数大前

提y＝sinx(0<x<π)是三角函数小前提所以，y＝sinx(0<x<π)是周期函数结论解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．(2)大前提错误，因为当0<a<1时，指数函数y＝ax是减函数．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函

数”和小前提中的“三角函数”概念不同．点拨：演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线，即已知直线b⃘平面α，直线

a⊂平面α，若直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”该结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解：直线平行于平面，这条直线可能与该平面内的直线成异面直线，即

大前提错误．故选A.类型四推理的应用(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信

息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后

，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故选D.点拨：推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断．(2018·海南二联)在侦破某一起案件时，警方要

从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中找出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：①此案是两人共同作案；②若甲参与此案，则丙一定没参与；③若乙参与此案，则丁一定参与；④若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是()A．甲、乙

B．甲、丙C．乙、丙D．丙、丁解：逐项考查：若甲、乙参与此案，则不符合③；若甲、丙参与此案，则不符合②；若乙、丙参与此案，则不符合③；当丙、丁参与此案，全部符合．故选D.1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理

要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．归纳推理的一般过程如下

．(1)通过观察个别情况，发现相同的性质．(2)推出一个明确表述的一般性结论．2．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与5空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用

类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比．类比推理的一般步骤如下．(1)找出两类事物之间的相

似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．1．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有

53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12

(an－1＋1an－1)，计算前3项并归纳出{an}的通项公式解：A、D是归纳推理；B是类比推理；C使用了“三段论”，是演绎推理．故选C.2．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)

类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解：(a＋b)n≠an＋bn(n≠1

，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．故选B.3．若数列{an}

是等差数列，则数列{bn}(bn＝a1＋a2＋„＋ann)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝c1＋c2＋„＋cnnB．dn＝c1·c2·„·cnnC．dn＝ncn1＋cn2＋„＋cnnnD．dn＝nc1·c2

·„·cn解：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋„＋an＝na1＋n（n－1）2d，所以bn＝a1＋n－12d＝d2n＋a1－d2，即{bn}为等差数列．若{cn}是等比数列，则c1·c2·„·cn＝cn1·q1＋2＋„＋(n－1)

＝cn1·qn（n－1）2，所以dn＝nc1·c2·„·cn＝c1·qn－12，即{dn}为等比数列．故选D.4．(2017·葫芦岛测评)在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上，为了使他们能够自由与邻座交谈，事先

了解到的情况如下．甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为()A．甲、丙、丁、戊、乙B．甲、丁、丙、

乙、戊C．甲、乙、丙、丁、戊D．甲、丙、戊、乙、丁解：由题意，甲、乙、丙、丁、戊5个人围成圆圈，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流．从甲开始，甲会说汉语和英语，则甲的相邻座位一定是丙和丁，可知选项

D符合．或运用排除法来解决．观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，选项B，C错误，乙不能和甲交流，选项A错误．故选D.5．(2018·安庆二模)对大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和，比如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，„，以

此规律，则453的分解和式中一定不含有()A．2069B．2039C．2009D．1979解：由规律得n3中有n项，而23，33，43中第一项分别为3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－46＋1，所以453中第一项为452－45＋1＝1981，最后一

项为1981＋2×44＝2069，所以一定不含有1979.故选D.6．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是()A．10日和12

日B．2日和7日C．4日和5日D．6日和11日解：这12天的日期之和，S12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12

日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.7．(2017·河南八市联考)观察下列等式：14＝1，24＝7＋9，34＝25＋27＋29，44＝61＋63＋65＋67，„„照此规律，第5个等式可为___

_________．解：观察可知每个等式右端的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，设行数为n，用an1表示等式右端的第一个数，则an1＝n3－n＋1，因此第5行的第一个数为53－5＋1＝121，则第5个等式为54＝12

1＋123＋125＋127＋129.故填54＝121＋123＋125＋127＋129.8．下表中的数阵为“森德拉姆筛子”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i行第j列的数为ai，j(i，j∈N*)，如a1，1＝4.则a9，9＝____________.471

01316„712172227„1017243138„1322314049„1627384960„„„„„„„解：由题知，在第1行，第1个数是4，公差为3，因此第1行的第9个数为a1，9＝4＋3×(9－1)＝28；又由表可知，第j列数的

公差为2j＋1，故a9，9＝28＋(2×9＋1)×(9－1)＝180.或由a1，1＝1×4，a2，2＝2×6，a3，3＝3×8，„，得ai，i＝i×(2i＋2)，从而a9，9＝9×20＝180.故填180.9．

设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－

12＋3－36＝33，同理可得，f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到这三个式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2

＝1，则f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝（3x1＋3）＋（3x2＋3）（3x1＋3）（3x2＋3）＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3（3x1＋3x2）＋3＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2）＋2×3＝3x1＋3x2＋233（3x1

＋3x2＋23）＝33.10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b；(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1

，求证：abc＋2>a＋b＋c.证明：(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)因为|a|<1，|b|<1，|c|<1，所以|ab|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，所以abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝

(ab＋1)＋c>a＋b＋c.11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，在Rt△ABC中，由射影定理得，7A

D2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，所以1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·BC·DC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，所以1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，在四面体A-BCD中，AB、AC

、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD.因为AF⊂平面A

CD，所以AB⊥AF.又AB⊥CD，AE⊥CD，所以CD⊥平面ABF，所以AF⊥CD.在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋

1AD2.所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.(2018·绵阳一诊改编)已知函数f(x)＝xlnx－x＋1.求证：(1)当x＞1时，f(x)＞0；(2)当n∈N*时，1n2＋1＋1n2＋2＋1n2＋3＋„＋14n2<2ln2.证明：(1)函数f(x)的定义域为(0，

＋∞)．f′(x)＝lnx，令f′(x)＝0，解得x＝1.当x＞1时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x)＞f(1)＝0.所以当x＞1时，f(x)＞0.(2)由(1)知x>1时，xlnx－x＋1>0，即l

nx>x－1x恒成立．令x＝n2＋1n2(n∈N*)，即lnn2＋1n2>1－n2n2＋1＝1n2＋1，即1n2＋1<ln(n2＋1)－lnn2，同理，1n2＋2<ln(n2＋2)－ln(n2＋1)，1n2＋3<ln

(n2＋3)－ln(n2＋2)，„14n2－1<ln(4n2－1)－ln(4n2－2)，14n2<ln(4n2)－ln(4n2－1)，将上式左右分别相加得：1n2＋1＋1n2＋2＋1n2＋3＋„＋14n2<ln(4n2)－lnn2＝ln4

n2n2＝ln4＝2ln2，即证．8