【文档说明】高考数学(理数)一轮复习13《参数方程与极坐标、不等式选讲》单元测试 (含详解).doc，共(5)页，123.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(10分)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)

时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y

＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，π2)．2．(10分)(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极

坐标方程为ρ＝21－sinθ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．解：(1)因为ρ＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以ρ＝21－sinθ变形为ρ－

ρsinθ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意21－sinθ0＝3·21－sin（θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R)或θ＝5π6(ρ∈R)．3．(10分)在极坐标系中，求曲

线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y＝x，因为圆心

(1，0)关于直线y＝x对称的点为(0，1)，所以圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝x对称的曲线为x2＋(y－1)2＝1.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.4．(10分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为(3，π3)，半径r＝3.(1)求圆C

的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ→＝2QP→，求动点P的轨迹方程．解：(1)在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，圆C的方程为(x－32)2＋(y－332)2＝9，即x2＋y2－3x－33y＝0，化为极坐标方程为ρ＝6cos(θ－π3)．(2)设点Q

(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由OQ→＝2QP→，得OQ→＝23OP→，所以ρ1＝23ρ，θ1＝θ，因为点Q在圆C上，所以ρ1＝6cos(θ1－π3)，即23ρ＝6cos(θ－π3)，即ρ＝9cos(θ－π3)．5．(10分)(2017·唐山质检)已知曲线C1

：x＋3y＝3和C2：x＝6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．2(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且

线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．解：(1)曲线C1化为ρcosθ＋3ρsinθ＝3.所以ρsin(θ＋π6)＝32.曲线C2化为x26＋y22＝1.(*)将x＝ρcosθ，y＝ρsin

θ代入(*)式得ρ26cos2θ＋ρ22sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.所以曲线C2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin2θ.(2)因为M(3，0)，N(0，1)，所以P(32，12)，所以OP的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin(θ＋π6)＝32，得ρ1＝

1，P(1，π6)．把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，Q(2，π6)．所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.6．(10分)(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：x＝2cosα＋1

，y＝2sinα＋1(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22，求实数m的取值范围．解：(1)曲线C的直角坐

标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1|12＋12＝2＝r，所以直线l与圆C相切．(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1－m|12＋12≤322，解得－1≤m≤5.所以实数m的取

值范围为[－1，5]．7．(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.(1)求曲线C的直

角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．解：(1)由ρsin2θ＝4cosθ得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcosα－4＝0.设A

，B两点对应的参数分别是t1，t2，则t1＋t2＝4cosαsin2α，t1t2＝－4sin2α.所以|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4sin2α≥4，当且仅当α＝π2时取等号．所以|AB|的最小值为4.8．(

10分)(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝2.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(

2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)由x＝3cosα，y＝sinα消去参数α，得x29＋y2＝1，即C的普通方程为x29＋y2＝1.由ρsin(θ－π4)＝2，得ρsinθ－ρcosθ＝2，(*)将x＝ρc

osθ，y＝ρsinθ代入(*)，化简得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l3的参数方程为x＝tcosπ4，y＝2＋tsinπ4(t为参数)，即x＝22t，y＝2＋22t(t为参数)，代入x29＋y2

＝1并化简，得5t2＋182t＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－1825＜0，t1t2＝275＞0，所以t1＜0，t2＜0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝1825.9．(10分)设函数f

(x)＝|x－a|＋|x－4|.(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)如果对∀x∈R，f(x)≥1，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|＝|x－1|＋|x－4|＝5－2x，x≤1，3，1<x<4，2x－5，x≥4.作出

函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得函数f(x)的最小值等于3.(2)如果对∀x∈R，f(x)≥1，即|x－a|＋|x－4|≥1对任意实数x都成立，由绝对值的几何意义可得|x－a|＋|x－4|≥|a－

4|，所以|a－4|≥1，所以a－4≥1或a－4≤－1，解得a≥5或a≤3，故实数a的取值范围为(－∞，3]∪[5，＋∞)．10．(10分)(2016·陕西汉中二模)设函数f(x)＝|2x－2m|＋|2x＋m|(m≠0)．(1)证明：f(x)≥22；(2)

若当m＝2时，关于实数x的不等式f(x)≥t2－12t恒成立，求实数t的取值范围．解：(1)证明：f(x)＝|2x－2m|＋|2x＋m|≥|2m＋m|＝|2m|＋|m|≥22，当且仅当|2m|＝|m|，即m＝±2时取等号．(2)当m＝2时，f(x)＝|2

x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，则f(x)min＝3.若不等式f(x)≥t2－12t恒成立，则只需f(x)min＝3≥t2－12t⇒2t2－t－6≤0⇒－32≤t≤2.故实数t的取值范围是[－32，2]．11．(10分)(2018·河北石家庄二模

)设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．解：(1)因为f(x)＝|x－1|－|2x＋1|，所以f(x)＝x＋2，x≤－12，－3x，－12＜x＜1，－x－2，x≥1

，画出图象如图．(2)由(1)可知m＝32.因为32＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，所以ab＋2bc≤34，当且仅当a＝b＝c＝±12时，等号成立．所以ab＋2bc的最大值为34.12．(10分)设函数f(x

)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，1m＋12n＝a(m>0，4n>0)，求证：m＋4n≥22＋3.解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，所以x＜1，2－x＋1－x≥7或1≤x≤2，2

－x＋x－1≥7或x＞2，x－2＋x－1≥7，所以x≤－2或x≥5，所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集

是[0，2]，所以解得a＝1，所以1m＋12n＝1(m>0，n>0)，所以m＋4n＝(m＋4n)(1m＋12n)＝3＋4nm＋m2n≥3＋22(当且仅当m＝2＋1，n＝2＋24时取等号)．13．(10分)(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f

(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时，不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1＜x＜1，2，x≥1.故不等式f(x)＞1的解集为xx＞12.(2)当x∈(0，1)

时，|x＋1|－|ax－1|＞x成立，等价于当x∈(0，1)时，|ax－1|＜1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1.若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜2a，所以2a≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]

．14．(10分)(2017·湖南师大附中摸底)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cosα|＋|sinβ|；|sin(α＋β)|≤|cosα|＋|cosβ|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|

≥1.证明：(1)|cos(α＋β)|＝|cosαcosβ－sinαsinβ|≤|cosαcosβ|＋|sinαsinβ|≤|cosα|＋|sinβ|；|sin(α＋β)|＝|sinαcosβ＋cosαsinβ|≤|sinαcosβ|＋|cosαsinβ|≤

|cosα|＋|cosβ|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cosα|＋|sin(β＋γ)|≤|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|，而α＋β＋γ＝0，故|cosα|＋|cosβ|＋|cosγ|≥1.15．(10分)(2017·深圳调考)已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x

－a2|，g(x)＝x2－2x－4＋4（x－1）2.(1)若f(2a2－1)≥4|a－1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(2a

2－1)≥4|a－1|，所以|2a2－2a|＋|a2－1|≥4|a－1|，所以|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)≥0，当a＝1时，满足，当a≠1时，2|a|＋|a＋1|≥4，①若a≤－1，则－2a－a－1≥4，所以a≤－53；

②若－1<a<0，则－2a＋a＋1≥4，所以a≤－3，无解；③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1≥4，所以a>1，综上所述，a的取值范围为－∞，－53∪[1，＋∞)．(2)因为g(x)＝(x－1)2＋4（x－1）2－5≥2242(1)(1)xx－5＝－1，显然可取等号，所以g(x

)min＝－1，于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需使f(x)min≤1，又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2.所以(a－1)2≤1，所以－1≤a－1≤1，所以

0≤a≤2，即a的取值范围为[0，2]．5