【文档说明】高考数学(理数)二轮复习专题14《大题专项》练习06 (含答案详解).doc，共(4)页，72.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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大题专项训练6圆锥曲线1．已知椭圆C的方程为x24＋y216＝1.(1)求椭圆C的长轴长及离心率；(2)已知M为椭圆C的左顶点，直线l过(1,0)且与椭圆C交于A，B两点(不与M重合)，求证：∠AMB>90°.【解析】(1)椭圆C的方程为x2

4＋y216＝1，a＝4，b＝2，c＝23，∴椭圆C的长轴长为8，离心率e＝ca＝32.(2)证明：由(1)知M(－2,0)．①当直线l的斜率不存在时，A(1,23)，B(1，－23)，MA→＝(3,23)，MB→＝(

3，－23)，MA→·MB→＝－3<0.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA→＝(x1＋2，k(x1－1))，MB→＝(x2＋2，k(x2－1))．联立直线l与椭圆的方

程，消去y，得(4＋k2)x2－2k2x＋k2－16＝0，∴x1＋x2＝2k24＋k2，x1x2＝k2－164＋k2.∴MA→·MB→＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1－1)·k(x2－1)＝－3k24＋k2<0.综上，MA→·MB→<0恒成立，∠AMB>90°.2．(山东烟台期末)已知

△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(0，－3)，(0，3)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)．(1)求顶点C的轨迹λ的方程，并判断轨迹λ为何种曲线；(2)当m＝－34时，设点P(0,1)，过点P作直线l与曲线λ交于E，F两点，且FP→＝13PE→，求直线l的方程．【解

析】(1)令C点坐标为(x，y)，则直线AC的斜率k1＝y＋3x，直线BC的斜率k2＝y－3x.∴k1k2＝y－3x·y＋3x＝y2－3x2＝m，化简得－m3x2＋y23＝1(x≠0)．当m＝－1时，轨迹λ表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆，除去(0，－3)，(0，3)两点；当m＜－1时，轨迹λ

表示焦点在y轴上的椭圆，除去(0，－3)，(0，3)两点；当－1＜m＜0时，轨迹λ表示焦点在x轴上的椭圆，除去(0，－3)，(0，3)两点；当m＞0时，轨迹λ表示焦点在y轴上的双曲线，除去(0，－3)，(0，3)两点．(2)当m＝－34时，曲线λ为x24＋y23＝1

(x≠0)．当直线l的斜率不存在时，不符合题意．设直线l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程，整理得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由FP→＝13PE→，得x1＝－3x2.∴x1＋x2

＝－8k3＋4k2，x1x2＝－83＋4k2.∴x2＝4k3＋4k2，x22＝833＋4k2，消去x2，解得k＝±62.∴直线l的方程为y＝±62x＋1.3．(湖南湘潭模拟)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2

过点B.(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．【解析】(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，∴4＝2p，解得p＝2.又圆C2的圆心为－1，12，半径为|OA|2＝52，∴圆C2

的方程为(x＋1)2＋y－122＝54.(2)设Ax1，x212p，Bx2，x222p，则OB→＝x2，x222p，AB→＝x2－x1，x22－x212p.由OB→·AB→＝0，得x2(x2－x1)＋x2

2x22－x214p2＝0.∵x2≠0，且x1≠x2，∴x22＋x1·x2＝－4p2.∴x1＝－x2＋4p2x2.∴x21＝x22＋16p4x22＋8p2≥216p4＋8p2＝16p2，当且仅当x22＝16p4x22，即x22＝4p2时取等号．又|OA|2＝x21

＋x414p2＝14p2(x41＋4p2·x21)，注意到x21≥16p2，∴|OA|2≥14p2(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·|OA|24，∴S≥20πp2.∴S的最小值为20πp2，当且仅当x22＝4p2时取得．4．如图，已知椭圆C：x2a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的右顶点为A，离心率为e，且椭圆C过点E2e，b2，以AE为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l(直线l不过原点且斜率存在)与椭圆C交于P，Q两个不同的点，且△OPQ的面积S＝1，若N为线段P

Q的中点，则在x轴上是否存在两个定点E1，E2，使得直线NE1与NE2的斜率之积为定值？若存在，求出E1，E2的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接EF，则EF⊥FA，∴c＝2e＝2ca，解得a＝2.∴Ec，b2，代入椭圆方程，解得c＝3.∴b

2＝a2－c2＝1.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立y＝kx＋m，x24＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2

－4＝0，∴x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2.则|PQ|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝41＋k21＋4k2－m21＋4k2，原点到直线l的

距离d＝|m|1＋k2，∴△OPQ的面积S△OPQ＝12|PQ|·d＝1，整理，得1＋4k2＝2m2.设N(x，y)，则x＝12(x1＋x2)＝－2km，y＝12(y1＋y2)＝12m，结合1＋4k2＝2m2，消去k，m，得x22＋2y

2＝1.假设x轴上存在两定点E1(s,0)，E2(t,0)，s≠t，则直线NE1的斜率k1＝yNxN－s，直线NE2的斜率k2＝yNxN－t，∴k1k2＝y2NxN－sxN－t＝－14·x2N－2x2N－s＋tx

N＋st，当且仅当s＋t＝0，st＝－2，即s＝2，t＝－2时，k1k2＝－14为定值．∴存在定点E1(2，0)，E2(－2，0)满足题意．