【文档说明】高考数学(理数)一轮复习12《算法初步、推理与证明》单元测试 (含详解).doc，共(7)页，176.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-24292.html

以下为本文档部分文字说明：

1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是()A．一个算法中只能含有一种逻辑结构B．一个算法

中可以含有以上三种逻辑结构C．一个算法中必须含有以上三种逻辑结构D．一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选B.2．(2018·北京人大附中月考)若将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是()A.a

＝bb＝aB.b＝aa＝bC.c＝bb＝aa＝cD.a＝cc＝bb＝a解：利用程序语句变换两个数的算法为c＝b，b＝a，a＝c或c＝a，a＝b，b＝c，结合所给的选项，只有C符合题意．故选C.3．若实数a，b满足a＋b<0，则()A．a，b都小于0B．a，

b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于0解：若a≥b且b≥0，则a＋b≥0，故a，b中至少有一个小于0.故选D.4．“f(x)＝tanx是增函数，而π>0，故f(π)>f(0)”，所得结论错误的原因是()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提与小

前提均错误解：f(x)＝tanx不是增函数，而π>0正确．故选A.5．(2019·黑龙江双鸭山月考)用数学归纳法证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．假设n＝k成立，则n＝k＋1时，被整除式应为()A．x2k＋3＋y2k＋3B．x2k＋2＋y2k＋2C．x2k＋1＋y2k＋1D．

x2k＋y2k解：当n＝k＋1时，x2n－1＋y2n－1＝x2k＋1＋y2k＋1.故选C.6．(2018·张家界三模)原始社会的人类常用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量

，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图示计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为()A．336B．510C．1326D．3603解：由题意知，图中的结绳计数法是七进制计数法，所以该

部落在该段时间内所擒获的猎物总数为S＝1×73＋3×72＋2×71＋6×70＝510.故选B.7．(2019·怀化一模)执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为()A．4B．6C．8D．10解：执行程序框图：n＝1，S＝1，否，n＝4，S＝6；否，n＝7，S

＝19；否，n＝10，S＝48，由题意，此时应该满足条件n＝10＞k，退出循环，输出S的值为48.故7≤k＜10，k可以取值8.故选C.8．(2019·广州执信中学测试)将棱长相等的正方体按图示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，„，则第20层正方体的个数是()2A．210B．220C

．420D．440解：观察可得，第1层正方体的个数为1；第2层正方体的个数为3，比第1层多2个；第3层正方体的个数为6，比第2层多3个；„；可得，每一层比上一层多的个数依次为2，3，4，5，„，故第20层

的正方体个数为1＋2＋3＋4＋„＋20＝（1＋20）×202＝210.故选A.9．(2017·辽宁大连三月测试)若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(modm)，例如10≡4(mod6)，如图程序框

图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a＝2，b＝3，c＝5，则输出的N＝()A．6B．9C．12D．21解：由框图可知，输出N的值为2，3的公倍数，且除以5时余数为1，选项中仅N＝6符合题意．故选A.10．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其

中只有一位获奖．有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真

话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁说真话，符合题意．故选A.11．(2016·长沙模拟

)执行如图所示的程序框图，则输出的S值是()A.22B．－1C．0D．－1－22解：在数列{an}中，an＝cosnπ4，a1＝22，a2＝0，a3＝－22，a4＝－1，a5＝－22，a6＝0，a7＝22，a8＝1，a9＝22，„，该数列是以8为周期的周期数列，则其前8项和等于0，

结合题中的程序框图得知，最后输出的值等于数列{an}的前2017项的和，而2017＝8×252＋1，因此前2017项的和为252×0＋22＝22.故选A.12．(2018·宁夏青铜峡高中期末)牛顿通过研究发现，形如(ax＋b)n的式子可以展开成关于x的多项式，即(ax＋b)n＝a0＋a1

x＋a2x2＋„＋anxn的形式，其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算．例如：在原式中令x＝0可以求得a0，第一次求导数之后再取x＝0，可求得a1，再次求导之后取x＝0可求得a2，依次下去可以求得任意一项的系数．设ex＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋anx

n，则当n＝5时，e＝()A.6524B.16360C.17364D.325121解：当n＝5时，ex＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝0，可得a0＝1.第一次求导可得：ex＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝0，可得a1＝1；3第二次求导

可得：ex＝2a2＋6a3x＋12a4x2＋20a5x3，令x＝0，可得a2＝12；第三次求导可得：ex＝6a3＋24a4x＋60a5x2，令x＝0，可得a3＝16；第四次求导可得：ex＝24a4＋120a5x，令x＝0

，可得a4＝124；第五次求导可得：ex＝120a5，令x＝0，可得a5＝1120.所以ex＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，令x＝1可得e＝1＋1＋12＋16＋124＋1120＝16360.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．

用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90

°.正确顺序的序号排列为____________．解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②.14．(2018·西安中学期末)四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位

子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，„，这样交替进行下去，那么第2020次互换座位后，小兔的座位对应的编号为____________．解：由图可知，经过4次交换后，每个小动物又回到了开始

时的位子，故此变换规律的周期为4.因为2020＝4×505，所以经过2020次互换座位后，小兔对应的是编号3的位置．故填3.15．(2018·湖北荆州中学周考)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则

是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖．在一次抽奖活动中，某优胜

队中奖的概率为____________．解：根据题意，列出关于x、y的不等式组0≤x≤1，0≤y≤1，2x－y－1≤0，作可行域如图所示，阴影部分面积为1－12×1×12＝34，矩形面积为1，即某优胜队获奖的概率为34.故填34.16．(2019·湖南衡阳八中月

考)有一个游戏：盒子里有n个球，甲，乙两人依次轮流拿球(不放回)，每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿完后盒子为空谁赢．若甲先拿，则下列说法正确的有____________．(写出所有正确说法的序号)①若n＝4，则

甲有必赢的策略；②若n＝6，则甲有必赢的策略；③若n＝2019，则甲有必赢的策略；④若n＝2020，则乙有必赢的策略．解：①若n＝4，则乙有必赢策略，而甲无．因为无论甲拿1个，2个还是3个，乙都可以将剩余球一次拿完，从而取胜．②若n＝

6，则甲若先拿2个，由①知甲有必赢的策略．由①②可归纳出：当n＝4k(k∈N*)时，乙有必赢的策略；当n＝4k＋1，n＝4k＋2，n＝4k＋3时，先拿者(即甲)有必赢的策略．故②③④正确．故填②③④.4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2018·西安

中学期末)(1)设a≥b＞0，用综合法证明：a3＋b3≥a2b＋ab2；(2)用分析法证明：6＋7＞22＋5.证明：(1)因为a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a≥b＞0，所以(a－b)2≥0，a＋

b＞0，所以a3＋b3－(a2b＋ab2)≥0，所以a3＋b3≥a2b＋ab2.(2)要证6＋7＞22＋5，只需证(6＋7)2＞(22＋5)2，即证42＞210，只需证(42)2＞(210)2，即证42＞40.

而42＞40显然成立，故原不等式得证．18．(12分)(2018·山西忻州二中期中)观察下列各等式(i为虚数单位)：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos5＋isin5)＝cos8＋isin8；(cos4

＋isin4)(cos7＋isin7)＝cos11＋isin11；(cos6＋isin6)(cos6＋isin6)＝cos12＋isin12.记f(x)＝cosx＋isinx，猜想出一个用f(x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性．解：猜想：f(x)f(

y)＝f(x＋y)．证明如下：f(x)f(y)＝(cosx＋isinx)(cosy＋isiny)＝(cosxcosy－sinxsiny)＋(sinxcosy＋cosxsiny)i＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)＝f(x

＋y)．19．(12分)设函数f(x)＝1x＋2，a，b∈(0，＋∞)．(1)用分析法证明：f(ab)＋f(ba)≤23；(2)设a＋b＞4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于12.证明：(1)要证f(ab)＋f(ba)≤23，只需证1ab＋2＋1ba

＋2≤23，只需证ba＋2b＋ab＋2a≤23，即证b2＋4ab＋a22a2＋5ab＋2b2≤23，因为a，b∈(0，＋∞)，所以只需证(a－b)2≥0，这显然成立，所以f(ab)＋f(ba)≤23.(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于12，即ab＋2≤12，ba＋2≤12，则由

a，b∈(0，＋∞)有2a≤b＋2，2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，这与a＋b＞4矛盾，所以af(b)，bf(a)中至少有一个大于12.20．(12分)(2018·四川阆中中学期中)在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程

为x，△APB的面积为y，且y与x之间的函数关系式用如图所示的程序框图给出．(1)写出程序框图中①，②，③处应填充的式子；(2)若输出的面积y值为6，则路程x的值为多少？解：(1)由题意得函数的定义域为[

0，12]，当0≤x≤4时，y＝12·4·x＝2x；当4＜x≤8时，y＝12×4×4＝8；当8＜x≤12时，y＝12·4·(12－x)＝24－2x.故程序框图中①，②，③处应填充的式子分别为：y＝2x，y＝8，y＝24－2x.(2)若输出的y值为6，则当0≤x≤4时，

2x＝6，解得x＝3；当8＜x≤12时，24－2x＝6，解得x＝9.综上，输出的面积y值为6，则路程x的值为3或9.21．(12分)(2018·名校联盟二模)已知函数f(x)＝|x|.(1)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋2|－4，求函数g(x)的最小值；5(2)记不等式f(x)＜1的解集

为M，若a，b∈M时，证明：|a＋b|2＜|1＋ab4|.解：(1)由题意得g(x)＝|x|＋|x＋2|－4＝－2x－6，x≤－2，－2，－2＜x≤0，2x－2，x＞0.可得函数g(x)的最小值为－2.(2)证明：因为M＝(－1，1)

，又|a＋b|2＜|1＋ab4|等价于2|a＋b|＜|4＋ab|，而4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4a2＋4b2－a2b2－16＝(b2－4)(4－a2)．因为a，b∈M，所以a2＜1，b2＜1，所以(b2－4)(4

－a2)＜0，所以4(a＋b)2＜(4＋ab)2，所以2|a＋b|＜|4＋ab|，所以|a＋b|2＜|1＋ab4|.22．(12分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六

边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，用f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f（1）＋1f（2

）＋1f（3）＋„＋1f（n）<43.解：(1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，„„因此，当n≥2时

，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋„＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋„＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝

3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1(直接给出结果也可)．(2)证明：当n≥2时，1f（n）＝13n2－3n＋1＜13n2－3n＝131n－1－1n.当n＝1时，显然结论成立，当n≥2时，1f（1）＋1f（2）

＋1f（3）＋„＋1f（n）＜1＋13[1－12＋12－13＋„＋1n－1－1n]＝1＋131－1n＜1＋13＝43.综上，结论成立．67