【文档说明】高考数学(理数)一轮复习10《计数原理、概率、随机变量及其分布》单元测试 (含详解).doc，共(7)页，223.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D

．不是互斥事件解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．故选C．2．在区间(0，π2)内随机取一个数x，使得0<tanx<1成立的概率是()A．18B．13C．12D．2π解：

由0<tanx<1，且x∈(0，π2)，得0<x<π4，故所求概率为π4π2＝12．故选C．3．已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数为30，则a＝()A．3B．－3C．6D．－6解：展开式的通项

Tr＋1＝Cr5(x)5－r·－axr＝(－a)r·Cr5x5－r2－r2，展开式中含x32的项的系数为30，所以5－2r2＝32，所以r＝1，并且(－a)1·C15＝30，所以a＝－6．故选D．4．(2018·合肥模拟)某小区

有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300，102)，则用电量在320度以上的户数约为()参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68．26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95．44%，

P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99．74%．A．17B．23C．34D．46解：P(ξ>320)＝12×[1－P(280<ξ≤320)]＝12×(1－95．44%)＝0．0228，0．0228×1000＝22．8≈23，所以用电量在320度以上的户

数约为23．故选B．5．(2017·宁夏银川一中二模)某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的7名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，则甲、乙两人中至少有1人被选中的概率为()A．17B．37C．47D．676．(2017·陕西汉中二模)在平

面直角坐标系中，在直线x＝1，y＝1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线y＝x2下方区域的概率为()A．13B．23C．49D．59解：直线x＝1，y＝1与坐标轴围成的正方形面积为1，在曲线y＝x2下方区

域的面积为01x2dx＝13x3|10＝13，由几何概型的概率计算公式得所求概率为131＝13．故选A．7．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A．15B．25C

．35D．45解：记其中被污损数字为x，则甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋290×2＋3＋3＋7＋x＋9)

＝15(442＋x)．令90>15(442＋x)，由此解得x<8，即x取0，1，2，„，7时符合要求，因此所求概率为810＝45．故选D．8．(2016·沧州模拟)如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴

影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任意一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A．1πB．2πC．π4D．3π解：由定积分可求得阴影部分的面积为0πsinxdx＝－cosx|π0＝2，矩形OAB

C的面积为2π，根据几何概型概率公式得所投的点落在阴影部分的概率为22π＝1π．故选A．9．设(x2＋1)(x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋„＋a11(x＋2)11，则a1＋a2＋„＋a11＝

()A．5B．4C．3D．2解：令x＋2＝0，则x＝－2，(x2＋1)(x＋1)9＝－5＝a0；令x＋2＝1，则x＝－1，(x2＋1)(x＋1)9＝0＝a0＋a1＋a2＋„＋a11，所以a1＋a2＋„＋a11＝－a0＝5．故选A．10．(2017·浙江

)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2．若0<p1<p2<12，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1

)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)解：依题意，列分布列ξ110Pp11－p1ξ210Pp21－p2所以E(ξ1)＝p1，D(ξ1)＝p1(1－p1)；E(ξ2)＝p2，D(ξ2)＝p2(1－p2)．因为0<p1<p2<12，所以E(ξ1)<E

(ξ2)，D(ξ2)－D(ξ1)＝(p2－p1)[1－(p1＋p2)]>0．故选A．11．体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1．75，则p的取值范围

是()A．(0，712)B．(712，1)C．(0，12)D．(12，1)解：X的可能取值为1，2，3，因为P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)·p，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1

－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3．由E(X)>1．75，即p2－3p＋3>1．75，解得p<12(p＞52舍去)．故0<p<12．故选C．12．(2016·江西新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两

人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A．120B．240C．360D．480解：前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻有A25种，若相邻有C15C12种，故共有C14C13(A25＋C

15C12)＝360(种)，故选C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式x－1x15的展开式中x13的系数为________．解：二项展开式的通项Tr＋1＝Cr15x1

5－r·(－1)r·x－r＝Cr15(－1)rx15－2r，令15－2r＝13⇒r＝1，故所求为－C115＝－15．故填－15．14．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率

是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为________．解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的3标兵是女

生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x63＝1011×x63，解得x＝33，故这个班男生的人数为33．故填33．15．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________．所以ξ的均值E(ξ)＝1×15＋2×

35＋3×15＝2，D(ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25．故填25．16．(2016·湖北模拟)设区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}，区域A＝{(x，y)|xy≤1，(x，y)∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点

，则该点恰好在区域A中的概率为________．解：在平面直角坐标系中画出区域Ω和A，则区域Ω的面积为4，区域A的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线y＝1x(x＞0)与x＝12，x＝2，y＝0所围成的曲边梯形的面积，则区域A的面积SA＝12×2＋∫2121xdx＝1＋

2ln2．根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A中的概率P＝A的面积Ω的面积＝1＋2ln24．故填1＋2ln24．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2017·北京东城

区二模)小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%～60%为一般，60%以上为拥挤)情况如图

所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并连续游览两天．(1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率；(2)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望．解：设Ai表示事

件“小明从8月11日起第i日连续两天游览主题公园(i＝1，2，„，9)”．根据题意，P(Ai)＝19，且Ai与Aj互斥(i≠j)．(1)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则B＝A4∪A7．所以P(B)＝P(A

4∪A7)＝P(A4)＋P(A7)＝29．(2)由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝P(A4∪A7∪A8)＝P(A4)＋P(A7)＋P(A8)＝13，P(X＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A9)＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A9)＝49，P(X＝2)＝P(A1∪A2)

＝P(A1)＋P(A2)＝29．所以X的分布列为X012P134929故X的数学期望E(X)＝0×13＋1×49＋2×29＝89．18．(12分)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是

该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14．57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定一个月中每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．4(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0

．01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的均值和方差．解：(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知，得p＝14．5731＝0．47．因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰

好有2天发生雷电天气的概率P＝C23×0．472×(1－0．47)≈0．35．(2)由题意，知X～B(12，0．47)．所以X的均值E(X)＝12×0．47＝5．64，X的方差D(X)＝12×0．47×(1－0．47)＝2．9892．19．(12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂

家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0．8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；(2)若厂家

发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列及数学期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产

品的概率．解：(1)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A，用对立事件A来算，有P(A)＝1－P(A)＝1－0．24＝0．9984．(2)ξ可能的取值为0，1，2，故ξ的分布列为ξ012P68

95511903190E(ξ)＝0×6895＋1×51190＋2×3190＝310．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率P＝1－P(B)＝1－6895＝2795．所以商家拒收这批产品的概率为2

795．20．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区

间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求P(187．8<Z<212．2)；②某用

户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187．8，212．2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12．2．若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0．6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0．9544．解：(1)抽

取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0．02＋180×0．09＋190×0．22＋200×0．33＋210×0．24＋220×0．08＋230×0．02＝200，5s2＝(－

30)2×0．02＋(－20)2×0．09＋(－10)2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08＋302×0．02＝150．(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187．8<Z<212．2)＝P(200－12．2<Z<20

0＋12．2)＝0．6826．②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187．8，212．2)的概率为0．6826，依题意知X～B(100，0．6826)，所以E(X)＝100×0．6826＝68．26．21．(12

分)将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1，2，3，„，12．抛掷该玩具一次，记事件A：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如9＝32，9是完全平方数)．(1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷该玩具一次，若事件

A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A没有发生，则甲得0分；②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分．(Ⅰ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值；(Ⅱ)甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；(2)抛掷该玩具一次，记事件B：向上一面的点数不超

过k(1≤k≤12)．若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．解：(1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y．(Ⅰ)易得X，Y的分布列分别为点数149其他X624540P112112112912点数12„12Y12„12P112112„112故E(X)

＝7，E(Y)＝132．(Ⅱ)P＝P(X＝6，1≤Y≤6)＋P(X＝24)＋P(X＝54)＝112×612＋112＋112＝524．(2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为12，事件A包含3个基本事件(1点，4点，9点)．记n(AB)，n(B)分别表示事件

AB，B包含的基本事件数，由P(AB)＝P(A)P(B)及古典概型，得n（AB）12＝312·n（B）12，所以n(B)＝4n(AB)，*故B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}．当k＝4时，n(B)＝4，AB＝{1，4}，n(AB)＝2，不符

合*；当k＝8时，n(B)＝8，AB＝{1，4}，n(AB)＝2，符合*；当k＝12时，n(B)＝12，AB＝{1，4，9}，n(AB)＝3，符合*；故k的值可能是8或12．22．(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资

料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各

年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发

电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1050＝0．2，p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0．7

，p3＝P(X>120)＝550＝0．1．由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p36＝9104＋4×9103×110＝0．9477．(2)记水电站

年总利润为Y(单位：万元)．(Ⅰ)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000．(Ⅱ)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝

5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0．2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0．8．由此得Y的分布列如下：Y420

010000P0．20．8所以，E(Y)＝4200×0．2＋10000×0．8＝8840．(Ⅲ)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，

因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0．2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0．7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝50

00×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0．1．由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0．20．70．1所以，E(Y)＝3400×0．2＋9200×0．7＋15000×0．1＝8620

．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．7