【文档说明】高考数学(理数)一轮复习07《不等式》单元测试 (含详解).doc，共(7)页，172.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|y＝x2－2x－3}，B＝x|x＋2x－2≤0，则A∩B＝()A．[－1，1]B．[－1，2)

C．[1，2)D．[－2，－1]解：依题意，集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|－2≤x<2}，A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．故选D．2．(2016·武汉模拟)若a＝log0．22，b＝log0．23，c

＝20．2，则()A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．a<c<b解：y＝log0．2x是减函数，所以b<a<0．又c>0，所以b<a<c．故选B．3．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1B．log12b<log12a<0C．2b<2a<2D．a2<

ab<1解：因为y＝2x是单调递增函数，且0<b<a<1，所以2b<2a<21，即2b<2a<2．另解：用特值法比较．故选C．4．(上海普陀区2017届质量调研)若a<b<0，则下列不等关系中，不能成立．．．．的是()A．1a>1bB．1

a－b>1aC．a13<b13D．a2>b2解：对于A：a＜b＜0，两边同除以ab可得，1a＞1b，故A正确；对于B：a＜b＜0，即a－b＞a，则两边同除以a(a－b)可得1a－b＜1a，故B错误；对于C，根据幂函数的单调性可知，C正确；对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故

D正确．故选B．5．(2016·贵阳模拟)若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，则m的取值范围是()A．(1，9)B．(－∞，1]∪(9，＋∞)C．[1，9)D．(－∞，1)∪(9，＋∞)解：①当m－1＝0，即

m＝1时，2>0成立；②当m>1时，(m－1)2－8(m－1)<0，1<m<9．综上可得实数m的取值范围是[1，9)．故选C．6．(2017·厦门质检)已知实数x，y满足x－2y＋1≥0，x<2，x＋y－1≥0，则z＝2x－2y－1的

取值范围是()A．53，5B．[0，5]C．53，5D．－53，5解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，易知B(2，－1)，C13，23，作直线l：2x－2y＝0，平移l可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－

1，即z的取值范围是－53，5．故选D．7．(2016·丽水模拟)已知a，b均为正数，且a＋b＝1，则4a＋9b的最小值为()A．24B．25C．26D．27解：4a＋9b＝4a＋9b()a＋b＝13＋9ab＋4ba≥13＋

29ab×4ba＝25，当且仅当9ab＝4ba，且a＋b＝1，即a＝25，b＝35时等号成立，所以4a＋9b的最小值为25．故选B．8．(2016·衡阳模拟)若不等式4x＋1x＋2＜0和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相同，则a，b的值为()

A．a＝－8，b＝－10B．a＝－4，b＝－9C．a＝－1，b＝9D．a＝－1，b＝2解：不等式4x＋1x＋2＜0的解集为－2，－14，所以不等式ax2＋bx－2＞0的解集为－2，－14，二次方程ax2＋bx－2＝0的两个根为－2，－14，所以

－2＋－14＝－ba，－2×－14＝－2a，所以a＝－4，b＝－9．故选B．9．(2016·临汾模拟)若a>b>1，P＝lgalgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则下列不等式成立的是(

)A．R<P<QB．P<Q<RC．Q<P<RD．P<R<Q解：因为a>b>1，故lga>0，lgb>0，所以a＋b2>ab⇒lga＋b2>12(lga＋lgb)>lgalgb，即R>Q>P．故选B．10．设函数f(x)＝3sinπxm，若存在f(x)的极值

点x0满足x20＋[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是()A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：依题意

知，πx0m＝π2＋kπ，即x0＝mk＋12，k∈Z，且函数f(x)的极值为±3，问题等价于存在k0∈Z，使不等式m2k0＋122＋3<m2成立，即k0＋122<m2－3m2(显然m≠0)．

因为k＋122的最小值为14，所以只需m2－3m2>14，即m2>4，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C．11．(2016·宁夏模拟)变量x，y满足约束条件y≥－1，x－y≥2，3x＋y≤14，若使

z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是()A．{－3，0}B．{－1，3}C．{0，1}D．{－3，0，1}解：作出可行域如图所示，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z．当a＝0时，直线y＝z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．当－a>0，即a<0时

，y＝－ax＋z与直线y＝x－2平行，此时－a＝1，解得a＝－1，满足条件．当－a<0，即a>0时，直线y＝－ax＋z与直线y＝－3x＋14平行，此时－a＝－3，解得a＝3，满足条件．综上，满足条件的a＝－1或a＝3．故选B．12

．(2017·邯郸调研)若正数a，b满足1a＋1b＝1，则4a－1＋16b－1的最小值为()A．16B．25C．36D．49解：因为a，b>0，1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，所以4a－1＋16b－1＝4（b－1）＋16（a－1）（a－1）（b－1）＝4b＋16a－20ab－（a＋b）＋

1＝4b＋16a－20．又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)1a＋1b＝20＋4ba＋4ab≥20＋4×2ba·4ab＝36，当且仅当ba＝4ab且1a＋1b＝1，即a＝32，b＝3时

取等号，所以4a－1＋16b－1≥36－20＝16．故选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2016·海南模拟)已知x>12，那么函数y＝2x＋2＋12x－1的最小值是________．解：因为x

＞12，所以y＝2x＋2＋12x－1＝2x－1＋12x－1＋3≥2（2x－1）·12x－1＋3＝5，当且仅当2x－1＝12x－1即x＝1时等号成立，所以函数y＝2x＋2＋12x－1的最小值为5．故填5．14．(2017·河南安阳一模)已

知z＝2x＋y，其中实数x，y满足y≥x，x＋y≤2，x≥a，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是________．解：作出不等式组对应的平面区域如图．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，

由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A(1，1)时，直线的纵截距最大，此时z最大，所以zmax＝2×1＋1＝3．当直线y＝－2x＋z经过点B(a，a)时，直线的纵截距最小，此时z最小，所以zmin＝2×a＋a＝3a．因为z的最大值是最小值的4倍，所以3

＝4×3a，即a＝14．故填14．15．已知正实数x，y满足xy＝1，则xy＋yyx＋x的最小值为________．解：依题意知，xy＋yyx＋x＝1＋y2x＋x2y＋1≥2＋2y2x·x2y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号．故填4．1

6．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a，b，则由题意可得a＋b＝22＝1，则两正方形的面积之和S＝a2＋b2≥2×a＋b22＝12，当且仅当a＝b＝12

时取等号．故填12．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求实数k的值；(2)若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x|x<－3

或x>－2}，所以k<0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根．所以x1x2＝6，x1＋x2＝2k＝－5．所以k＝－25．(2)由于k≠0，要使不等式的解集为∅，只需k>0，Δ≤0，即

k>0，1－6k2≤0，解得k≥66，即k的取值范围是66，＋∞．18．(12分)已知x，y，z>0，x＋y＋z＝3．(1)求1x＋1y＋1z的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9．解

：(1)1x＋1y＋1z＝13(x＋y＋z)1x＋1y＋1z＝131＋xy＋xz＋yx＋1＋yz＋zx＋zy＋1＝13[3＋xy＋yx＋xz＋zx＋yz＋zy]≥13[3＋2xy·yx＋2xz·zx＋2yz·zy]＝3，当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立

．所以1x＋1y＋1z的最小值为3．(2)证明：9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)，所以x2＋y2＋z2≥3．又因为x，y，z>0，所以xy＋xz＋yz>0．所以x2＋

y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)<9．所以3≤x2＋y2＋z2<9．19．(12分)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体

安排，通过调查得到的有关数据如下表：每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(kg)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元，最大搭载重量为110kg，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预

计收益达到最大，最大预计收益是多少？解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z＝80x＋60y，由题意知20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x∈N，y∈N，作出可行域如图阴影部分所示．作出直线l：80x＋60y＝0并平移，

由图形知，当直线经过点M时，z取到最大值．由20x＋30y＝300，10x＋5y＝110，解得x＝9，y＝4，即M(9，4)．所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)，所以搭载9件A产品，4件B产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计

收益为960万元．20．(12分)(2016·南京模拟)已知x，y满足约束条件x≥1，x－3y≤－4，3x＋5y≤30．(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值

的最优解有无穷多个，求a的值；(3)求z＝x2＋y2的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，当直线z＝2x－y过点B(5，3)时，z有最大值；过点C1，275时，z有最小值，所以zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－275＝

－175．(2)当直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．又kBC＝－35，所以－a＝－35，所以a＝35．(3)z＝x2＋y2，则z为(

x，y)与原点(0，0)的距离，结合可行域，易知点A1，53到原点距离最小值为343，最大值为|OB|，|OC|，原点O到直线3x＋5y＝30的距离三者之一，计算得，最大值为|OB|＝34．故z＝x2＋y2的取值范围是349，34．21．(12分)某单位在国家科研部门

的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200

x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200(400≤x≤600)，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S，则S＝100x－

y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000．因为400≤x≤600，所以Smax＝－12(400－300)2－35000＝－40000．故该单位每月不获利

，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．22．(12分)(上海普陀2017届调研)已知a∈R，函数f(x)＝a＋1|x|．(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤2x；(2)若关于x的方程f(x)－2x＝0在区间[－2，－1]上有解，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝1＋1|

x|，所以f(x)≤2x⇔1＋1|x|≤2x，(*)①若x>0，则(*)变为，（2x＋1）（x－1）x≥0⇔－12≤x<0或x≥1，所以x≥1;②若x<0，则(*)变为，2x2－x＋1x≥0⇔x>0，所以x∈∅．由①②可得，(*)的解集

为[1，＋∞)．(2)f(x)－2x＝0⇔a＋1|x|－2x＝0，即a＝2x＋1x其中x∈[－2，－1]．令g(x)＝2x＋1x，其中x∈[－2，－1]，则g′(x)＝2－1x2在[－2，－1]上大于0恒成立，所以函数g(x)在区

间[－2，－1]上是增函数．所以－92＝g(－2)≤g(x)≤g(－1)＝－3，即g(x)∈－92，－3，故a∈－92，－3．