【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习分层练习11《圆锥曲线的方程与性质》（解析版）.doc，共(7)页，121.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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解密11圆锥曲线的方程与性质A组考点专练一、选择题1.【2020北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂

直于直线OP【答案】B【解析】如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.2.(多选题)【2020新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是()A.若m＞n＞0，

则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为nC.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnxD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，当m＞n＞0时，有1n＞1m＞0，方程化为x21m＋y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，

故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnx，C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为n

y2＝1表示两条直线，D正确.3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，

则以下结论正确的是()A.p＝4B.DF→＝FA→C.|BD|＝2|BF|D.|BF|＝4【答案】ABC【解析】如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|

PF|＝p，由直线l的斜率为3，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF

|＝2p＝8，得p＝4，A正确.∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则DF→＝FA→，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.由C选项知|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，D错误.故选ABC.4.已知双曲线x2a2－y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有PF1→·PF2→＝0，若点P到x轴的距离为14|F1F2|，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】因为PF1→·PF2→＝0，所以PF1⊥PF2，则∠F1

PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝1

4|F1F2|·|F1F2|＝c2.代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，故双曲线的离心率e＝ca＝c2a2＝2.5.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF

1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为()A.0，12B.0，32C.12，1D.32，1【答案】B【解析】依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则90°＞(∠PF

1F2)max≥30°，∴tan(∠PF1F2)max≥tan30°＝33，则bc≥33，即b≥33c.又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，所以e＝ca＝c2a2≤34＝32.故椭圆离心率的取值范围为0，32.二、填空题6.【2020北京卷】已知双曲

线C：x26－y23＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】(3，0)3【解析】由x26－y23＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴

上，所以C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝36x，即x－2y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝312＋（－2）2＝3.7.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是

C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.【答案】1【解析】法一设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝12mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝ca＝5，从而a＝1.法二由题意得，S△PF1F

2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又e2＝c2a2＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.8.设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.【答案】(3，15)【解析】不妨设F1，F2分别为椭

圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝236－20＝8，因为△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，

即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得（x＋4）2＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15).三、解答题9.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点

组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.(1)写出椭圆C2的

方程；(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.【解析】(1)依题意，设椭圆C2的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得4a2＝1b2，即a2＝4b2.所以椭圆C2的方程为x24b2＋y2b2＝1(b＞0).(

2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，由y＝－x＋t，x24b2＋y2b2＝1，消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2

)＝0，易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①则x0＝x1＋x22＝4t5，y0＝t5.由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，所以t5＝4t5＋1，解得t＝－53，则直线MN的方程为y＝－x－53，将t＝－53代入①式，解得b＞53.所以实数b的取值范围是

53，＋∞.10.【2019新课标Ⅲ卷】已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面

积.【解析】(1)设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线A

B过定点0，12.(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.由y＝tx＋12，y＝x22可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2×（x1＋x2）2－4x1x

2＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.因为EM→⊥AB→，而EM→＝(t，t2－2)，AB→与向量

(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.B组专题综合练11.【2019新课标Ⅱ卷】设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(

a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝

|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝c2.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得c22＋c22＝

a2，故ca＝2，即e＝2.12.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点1，32，且离心率为32，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－3)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C

，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆的离心率e＝32，∴ca＝32，∵a2＝b2＋c2，

∴a＝2b，将点1，32代入椭圆的方程得1a2＋34b2＝1，联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1.∴F(3，0)，∵PF⊥x轴，∴P3，±12，∴圆F的半径为12，圆心为(3，0)，∴圆F的方程为(x－3)2＋y2＝14.(2)由A，B

在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝12.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).|CF|＝（x1－3）2＋y21＝2－32x1，同理|DF|＝2－32x2.若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，即|AB|＝|CD|＝1，4－32(x1

＋x2)＝1，由x24＋y2＝1，y＝k（x－3），得(4k2＋1)x2－83k2x＋12k2－4＝0，∴x1＋x2＝83k24k2＋1，∴4－12k24k2＋1＝1，得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在

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