2023年高考数学二轮复习《平面向量》强化练习(教师版)

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以下为本文档部分文字说明:

2023年高考数学二轮复习《平面向量》强化练习一、选择题1.在△ABC中,BD→=3DC→,若AD→=λ1AB→+λ2AC→,则λ1λ2的值为()A.116B.316C.12D.109【答案解析】答案为:B解析:由题意得,AD→=AB→+B

D→=AB→+34BC→=AB→+34(AC→-AB→)=14AB→+34AC→,∴λ1=14,λ2=34,∴λ1λ2=316.2.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA→+OB→+CO→=0,则△ABC的内角A=()A.30°B.45°C.60°D.9

0°【答案解析】答案为:A解析:由OA→+OB→+CO→=0,得OA→+OB→=OC→,由O为△ABC外接圆的圆心,可得|OA→|=|OB→|=|OC→|.设OC与AB交于点D,如图,由OA→+OB→=OC→可知D为AB的中点,所以OC→=2OD→,D为OC的中点.又由|OA→

|=|OB→|可知OD⊥AB,即OC⊥AB,所以四边形OACB为菱形,所以△OAC为等边三角形,即∠CAO=60°,故∠BAC=30°.3.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM→=AB→+3AC→,则△ABM与△ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45【答案解析】答案

为:C;解析:如图,M是△ABC所在平面一点,连接AM,BM,延长CM至D,由5AM→=AB→+3AC→得AM→=15AB→+35AC→,由于C,M,D三点共线,则AM→=25AD→+35AC→,所以AB→=2AD

→,则2AM→=2AD→+3AC→-3AM→,即2(AM→-AD→)=3(AC→-AM→),即2DM→=3MC→,故DM→=35DC→,故△ABM与△ABC同底且高比为3∶5,故S△ABM∶S△ABC=3∶5.故选C.4.设向量a=(cosx,-sinx),b=

-cosπ2-x,cosx,且a=tb,t≠0,则sin2x=()A.1B.-1C.±1D.0【答案解析】答案为:C;解析:因为b=-cosπ2-x,cosx=(-sinx,cosx),a=t

b,所以cosxcosx-(-sinx)(-sinx)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,即tanx=±1,所以x=kπ2+π4(k∈Z),则2x=kπ+π2(k∈Z),所以sin2x=±1,故选C.5.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE→=λ

AB→+μAD→(λ,μ为实数),则λ2+μ2等于()A.58B.14C.1D.516【答案解析】答案为:A;解析:DE→=12DA→+12DO→=12DA→+14DB→=12DA→+14(DA→+AB→

)=14AB→-34AD→,所以λ=14,μ=-34,故λ2+μ2=58,故选A.6.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO→=λAB→+μBC→,则λ+μ等于()A.1B.12C.13D.23【答案解析】答案为:D.解析:∵AD→=AB→+

BD→=AB→+13BC→,∴2AO→=AB→+13BC→,即AO→=12AB→+16BC→.故λ+μ=12+16=23.7.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为2π3,且(a+λb)⊥(2a-b),则实数λ的值为()A.-7B.-3C.2D.3【答案解析】答

案为:D;解析:依题意得a·b=2×1×cos2π3=-1,(a+λb)·(2a-b)=0,即2a2-λb2+(2λ-1)a·b=0,3λ+9=0,λ=3.8.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2

,-1),D(3,4),则向量CD→在BA→方向上的投影是()A.-35B.-322C.35D.322【答案解析】答案为:A.解析:依题意得,BA→=(-2,-1),CD→=(5,5),BA→·CD→=(-2,-1)·(5,5)=-15,|BA→|=5,因

此向量CD→在BA→方向上的投影是BA→·CD→|BA→|=-155=-35.9.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为2π3,且(a+λb)⊥(2a-b),则实数λ的值为()A.-7B.-3C.2D.3【答案解析

】答案为:D.解析:依题意得a·b=2×1×cos2π3=-1,由(a+λb)·(2a-b)=0,得2a2-λb2+(2λ-1)a·b=0,即-3λ+9=0,解得λ=3.10.设向量OA→=(1,-2),OB→=(a,-1),OC→=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点

共线,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.9【答案解析】答案为:C;解析:∵OA→=(1,-2),OB→=(a,-1),OC→=(-b,0),∴AB→=OB→-OA→=(a-1,1),AC→=OC→-OA→=(-b-1,2),∵A,B

,C三点共线,∴AB→=λAC→,即(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴a-1=λ-b-1,1=2λ,可得2a+b=1.∵a>0,b>0,∴1a+2b=1a+2b(2a+b)=2+2+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当ba=4ab,即a=14,b=12

时取等号,故1a+2b的最小值为8,故选C.11.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则3x+2y的最小值是()A.24B.8C.83D.53【答案解析】答案为:B解析:∵a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,即2x+3y=3,又

x,y>0,∴3x+2y=(3x+2y)×13(2x+3y)=136+9yx+4xy+6≥1312+29yx·4xy=8,当且仅当2x=3y=32时,等号成立.∴3x+2y的最

小值是8.故选B.12.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB→=mAM→,AC→=nAN→,则m+n的值为()A.1B.2C.3D.4【答案解析】

答案为:B;解析:∵O为BC的中点,∴AO→=12(AB→+AC→)=12(mAM→+nAN→)=m2AM→+n2AN→,∵M,O,N三点共线,∴m2+n2=1,∴m+n=2.二、填空题13.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为C

D,BC的中点,若AB→=λAM→+μAN→,则λ+μ等于________.【答案解析】答案为:45.解析:因为AB→=AN→+NB→=AN→+CN→=AN→+(CA→+AN→)=2AN→+CM→+MA→=2AN→-14AB→-

AM→,所以AB→=85AN→-45AM→,∴λ=-45,μ=85.所以λ+μ=45.14.已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),则|a+b|=.【答案解析】答案为:3.解析:∵a⊥(a

-2b),∴a·(a-2b)=0,解得2a·b=1,∴|a+b|=|a|2+|b|2+2a·b=3.15.矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点,且AP=1,若AP→=xAB→+yAD→,则3x+2y的取值范围是.【答案解析】答案为:(1,2].解析:设点

P在AB上的射影为Q,∠PAQ=θ,则AP→=AQ→+QP→,且|AQ→|=cosθ,|QP→|=sinθ.又AQ→与AB→共线,QP→与AD→共线,故AQ→=cosθ3AB→,QP→=sinθ2AD→,从而AP→=cosθ3AB→+sinθ2AD→,故x=cosθ3,y=sinθ

2,因此3x+2y=cosθ+sinθ=2sinθ+π4,又θ∈0,π2,故3x+2y的取值范围是(1,2].16.如图,在同一个平面内,向量OA→,OB→,OC→的模分别为1,1,2,OA→与OC→的夹角为α,且tanα=7,

OB→与OC→的夹角为45°.若OC→=mOA→+nOB→(m,n∈R),则m+n=________.【答案解析】答案为:3.解析:由tanα=7,得tanα+π4=tanα+11-tanα=-43.

以O为原点,OA方向为x轴正半轴建立坐标系(图略),则A点坐标为(1,0).由tanα+π4=-43,OB→的模为1,可得B-35,45.由tanα=7,OC→的模为2,可得C

15,75.由OC→=mOA→+nOB→,代入A、B、C点坐标可得,m-35n=15,45n=75,解得m=54,n=74.∴m+n=3.三、解答题17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a

,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-35.(1)求sinA的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA→在BC→方向上的投影.

【答案解析】解:(1)由m·n=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.因为0<A<π,所以sinA=1-cos2A=1--352=45.(2)由正弦定理,得asi

nA=bsinB,则sinB=bsinAa=5×4542=22,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=π4.由余弦定理得(42)2=52+c2-2×5c×-35,解得c=1,c=-7舍去,故向量BA→在BC→方

向上的投影为|BA→|cosB=ccosB=1×22=22.18.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足AM→=34AB→+14AC→.(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点O,设BO→=x·BM→+yBN→,求x,y的值.【答案解析

】解:(1)由AM→=34AB→+14AC→,可知M,B,C三点共线.如图,设BM→=λBC→,则AM→=AB→+BM→=AB→+λBC→=AB→+λ(AC→-AB→)=(1-λ)AB→+λAC→,所以λ=14,所以S△ABMS△ABC=14,即△ABM与△

ABC的面积之比为1∶4.(2)由BO→=xBM→+yBN→,得BO→=xBM→+y2BA→,BO→=x4BC→+yBN→,由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线⇒x+y2=1,x4+y=1⇒x=47,y=67.19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为

a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-35.(1)求sinA的值;(2)若a=42,b=5,求角B的大小及向量BA→在BC→方向上的投影.【答案解析

】解:(1)由m·n=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.因为0<A<π,所以sinA=1-cos2A=45.(2)由正弦定理,得asinA=bsinB,则sinB=bsinAa=5×4542=22,因为

a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=π4.由余弦定理得(42)2=52+c2-2×5c×(-35),解得c=1,c=-7(舍去),故向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cosB=ccosB=1×22=22.20.已知向量a=

sinx,34,b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,b=2,s

inB=63,求f(x)+4cos2A+π6x∈0,π3的取值范围.【答案解析】解:(1)因为a∥b,所以34cosx+sinx=0,所以tanx=-34.cos2x-sin2x=cos2x-2sinxcosxsin2x+cos2x=1-2tan

x1+tan2x=85.(2)f(x)=2(a+b)·b=2sinx+cosx,-14·(cosx,-1)=sin2x+cos2x+32=2sin2x+π4+32.由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=asinBb=3×632=22

,所以A=π4或A=3π4.因为b>a,所以A=π4.所以f(x)+4cos2A+π6=2sin2x+π4-12,因为x∈0,π3,所以2x+π4∈π4,11π12,所以32-1≤f(x)+4cos2A+π6≤2-12.所以f(x)+4c

os2A+π6x∈0,π3的取值范围是32-1,2-12.21.已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且PC→+12PQ→·

PC→-12PQ→=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任意一条直径,求PE→·PF→的最值.【答案解析】解:(1)设P(x,y),则Q(8,y).由PC→+12PQ→·PC→-12PQ→=0,得|PC→|2-14|P

Q→|2=0,即(2-x)2+(-y)2-14(8-x)2=0,化简得x216+y212=1.所以动点P在椭圆上,其轨迹方程为x216+y212=1.(2)易知PE→=PN→+NE→,PF→=PN→+NF→,且NE→+NF→=0,由题意知N(0,1),所以PE→·P

F→=PN→2-NE→2=(-x)2+(1-y)2-1=161-y212+(y-1)2-1=-13y2-2y+16=-13(y+3)2+19.因为-23≤y≤23,所以当y=-3时,PE→·PF→取得最大值19,当y=23时,

PE→·PF→取得最小值12-43.综上,PE→·PF→的最大值为19,最小值为12-43.22.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=cosB,2cos2C2-1,n=(c,

b-2a),且m·n=0.(1)求角C的大小;(2)若点D为边AB上一点,且满足AD→=DB→,|CD→|=7,c=23,求△ABC的面积.【答案解析】解:(1)由题意知m=(cosB,cosC),n=(

c,b-2a),m·n=0,则ccosB+(b-2a)cosC=0.在△ABC中,由正弦定理得sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,整理得sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0,即sin(B+C)=2sinAcosC.故s

inA=2sinAcosC,又sinA≠0,∴cosC=12,∵C∈(0,π),∴C=π3.(2)由AD→=DB→知,CD→-CA→=CB→-CD→,∴2CD→=CA→+CB→,两边平方得4|CD→|2=b2+a2+2bacos∠

ACB=b2+a2+ba=28.①又c2=a2+b2-2abcos∠ACB,∴a2+b2-ab=12.②由①②得ab=8,∴S△ABC=12absin∠ACB=23.23.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|OC→|=1,且∠A

OC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=34π,设点D为线段OA上的动点,求|OC→+OD→|的最小值;(2)若x∈[0,π2],向量m=BC→,n=(1-cosx,sinx-2cosx),求m·n的最小值

及对应的x值.【答案解析】解:(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题易知C(-22,22),所以OC→+OD→=(-22+t,22),所以|OC→+OD→|2=12-2t+t2+12=t2-2t+1=(t-22)2+

12(0≤t≤1),所以当t=22时,|OC→+OD→|2最小,最小值为22.(2)由题意得C(cosx,sinx),m=BC→=(cosx+1,sinx),则m·n=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-2sin(2x

+π4).因为x∈[0,π2],所以π4≤2x+π4≤5π4,所以当2x+π4=π2,即x=π8时,sin(2x+π4)取得最大值1,所以m·n的最小值为1-2,此时x=π8.

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