【文档说明】2022年湖北省随州市中考数学试卷.doc，共(24)页，4.258 MB，由我爱分享上传

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第1页（共24页）2022年湖北省随州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．2022的倒数是()A．2022B．2022C．1202

2D．120222．如图，直线12//ll，直线l与1l，2l相交，若图中160，则2为()A．30B．40C．50D．603．小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，10

6（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为()A．97和99B．97和100C．99和100D．97和1014．如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是()A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．三个视图均相同5．我国

元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程

为()A．150(12)240xxB．240(12)150xxC．150(12)240xxD．240(12)150xx6．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为37

.710/ms，则中国空间站绕地球运行2210s走过的路程()m用科学记数法可表示为()A．515.410B．61.5410C．615.410D．71.54107．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下

面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是()A．张强从家到体育场用了15minB．体育场离文具店1.5k

mC．张强在文具店停留了20minD．张强从文具店回家用了35min第2页（共24页）8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，A

PEF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有()①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形

MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的14．A．只有①B．①②C．①③D．②③9．如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为，在点D处测得建筑物AB的顶端A

的仰角为，若CD，则建筑物AB的高度为()A．tantanaB．tantanaC．tantantantanaD．tantantantana10．如图，已知开口向下的抛物线2yaxbxc与x轴交于点(1,0)，对称轴为直线

1x．则下列结论正确的有()①0abc；②20ab；③函数2yaxbxc的最大值为4a；④若关于x的方程21axbxca无实数根，则105a．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共

有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11．计算：3(1)|3|．第3页（共24页）12．如图，点A，B，C在O上，若60ABC，则AOC的度数为．13．已知二元一次方程组2425xyxy

，则xy的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，直线1yx与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数kyx的图象在第一象限交于点C，若ABBC，则k的值为．15．已知m为正整数，若189m是整数，则根据1893

337337mmm可知m有最小值3721．设n为正整数，若300n是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为．16．如图1，在矩形ABCD中，8AB，6AD，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将

AEF绕点A逆时针旋转角(090)，使EFAD，连接BE并延长交DF于点H．则BHD的度数为，DH的长为．三、解答题（本大超共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17．（6分）解分

式方程：143xx．18．（7分）已知关于x的一元二次方程22(21)10xkxk有两个不等实数根1x，2x．（1）求k的取值范围；（2）若125xx，求k的值．19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点

E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．（1）求证：AECF；（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，5AB，求CF的长．第4页（共24页）20．（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间

里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加问卷

调查的学生共有人；（2）条形统计图中m的值为，扇形统计图中的度数为；（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人；（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的

方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．21．（9分）如图，已知D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与O相切，交CD的延长线于点E，且BEDE．（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若4AC，1sin3C，①求O

的半径；②求BD的长．22．（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天

比前一天多供应m个(m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天(115x剟，且x为正整数）的供应量1y（单位：个）和需求量2y（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量2y与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客

第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天1261115供应量1y（个)150150m1505m15010m15014m第5页（共24页）需求量2y（个)220229245220164（1）

直接写出1y与x和2y与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量

为2136个）（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．23．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在

该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代

数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：()abcdadbdcd公式②：()()abcdacadbcbd公式③：222()2abaabb公式④：222()2abaabb图1对应公式，

图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式．（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式22()()ababab的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，90BAC，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重

合），过点E作EGBC于点G，作EHAD于点H，过点B作//BFAC交EG的延长线于点F．记BFG与CEG的面积之和为1S，ABD与AEH的面积之和为2S．①若E为边AC的中点，则12SS的值为；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立

，写出证明过程；若不成立，请说明理由．第6页（共24页）24．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线2(0)yaxbxca与x轴分别交于点A和点(1,0)B，与y轴交于点C，对称轴为直线1x，且OAOC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物

线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；

若不存在，请说明理由．第7页（共24页）2022年湖北省随州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．2022的倒数是()A．2022B．2022C．12

022D．12022【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：2022的倒数是12022．故选：C．2．如图，直线12//ll，直线l与1l，2l相交，若图中160，则2为()A．30B．40C．50D．60【分析】根据两直线平行，内错角相等，

便可求得结果．【解答】解：12//ll，12，160，260，故选：D．3．小明同学连续5次测验的成绩分别为：97，97，99，101，106（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为()A．97和99B．97和100C．99和

100D．97和101【分析】观察这组数据发现97出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为97，将五个数据相加求出之和，再除以5即可求出这组数据的平均数．【解答】解：这组数据中，97出现了2次，次数最多，这组数据的众

数为97，这组数据的平均数1(979799101106)1005x．故选：B．4．如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是()A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．三个视图均相同【分析】根据三视图的定义判断即可．【解答】解：该几何体的

三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个圆．故选：A．5．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢第8页（共24页）的马每

天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为()A．150(12)240xxB．240(12)150xxC．150(12)240xxD．240(12)150

xx【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：150(12)240xx．故选：A．6．2022年6月5日10时44分07

秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为37.710/ms，则中国空间站绕地球运行2210s走过的路程()m用科学记数法可表示为()A．515.410B．61.5410C．615.410D．

71.5410【分析】根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可．【解答】解：327.71021032(7.72)(1010)515.41061.5410（米)，故选：B．7．已知张强家、体

育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是()A．张强从家到体育场用了15minB．体育场离文具店1.5kmC．张强在文具店停

留了20minD．张强从文具店回家用了35min【分析】由函数图象分别得出选项的结论然后作出判断即可．【解答】解：由图象知，A、张强从家到体育场用了15min，故A选项不符合题意；B、体育场离文具店2.51.51()km，故B选项符合题意

；C、张强在文具店停留了654520()min，故C选项不符合题意；D、张强从文具店回家用了1006535()min，故D选项不符合题意；故选：B．8．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正

方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，APEF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有()①图中的三角形都

是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；第9页（共24页）③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的14．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证

明OMMP解决问题；③如图，过M作MGBC于G，设ABBCx，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，E，F分别为BC，CD的中点，EF为CBD的中位线，//EFBD，APEF，APBD，四边形ABCD为正方形，A、O

、P、C在同一条直线上，ABC、ACD、ABD、BCD、OAB、OAD、OBC、OCD、EFC都是等腰直角三角形，M，N分别为BO，DO的中点，//MPBC，//NFOC，DNF

、OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得22OMBMPM，BMPM四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③E，F分别为BC，CD的中点，//EFBD，12EFBD，四边形ABCD是正方形，且设ABBCx，2BDx，APEF，APBD，

BOOD，点P在AC上，12PEEF，PEBM，四边形BMPE是平行四边形，12BOBD，M为BO的中点，1244BMBDx，E为BC的中点，第10页（共24页）1122BEBCx，过M作MGBC于G，2124MGBMx，四边形BMPE

的面积218BEMGx，四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的18．E、F是BC，CD的中点，1148CEFCBDABCDSSS四边形，四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的111(1)884．故③正确．故选：C．9．如图

，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为，若CD，则建筑物AB的高度为()A．tantanaB．tantanaC．tantantantanaD．tantanta

ntana【分析】设ABx，在RtABD中，tanABxBDBD，可得tanxBD，则tanxBCBDCDa，在RtABC中，tantanABxxBCa，求解x即可．【解答】解：设ABx，在RtAB

D中，tanABxBDBD，tanxBD，tanxBCBDCDa，第11页（共24页）在RtABC中，tantanABxxBCa，解得tantantantanax．故选：D．10．如图，已知开口向下的抛物线2yax

bxc与x轴交于点(1,0)，对称轴为直线1x．则下列结论正确的有()①0abc；②20ab；③函数2yaxbxc的最大值为4a；④若关于x的方程21axbxca无实数根，则105a．A．1个

B．2个C．3个D．4个【分析】①错误．根据抛物线的位置一一判断即可；②正确．利用抛物线的对称轴公式求解；③正确．设抛物线的解析式为(1)(3)yaxx，当1x时，y的值最大，最大值为4a；④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判

别式0，解不等式即可．【解答】解：抛物线开口向下，0a，抛物线交y轴于正半轴，0c，02ba，0b，0abc，故①错误．抛物线的对称轴是直线1x，12ba，20ab，故②正确．抛物线交x

轴于点(1,0)，(3,0)，可以假设抛物线的解析式为(1)(3)yaxx，当1x时，y的值最大，最大值为4a，故③正确．21axbxca无实数根，(1)(3)1axxa无实数根，22410axaxa，△0，244(41)0aa

a，第12页（共24页）(51)0aa，105a，故④正确，故选：C．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）11．计算：3(1)|3|

0．【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可．【解答】解：3(1)|3|330．故答案为：0．12．如图，点A，B，C在O上，若60ABC，则AOC的度数为120．【分析】根据圆周角定理解答即可．【解答】解：由圆周角定理得：2A

OCABC，60ABC，120AOC，故答案为：120．13．已知二元一次方程组2425xyxy，则xy的值为1．【分析】将第一个方程化为42xy，并代入第二个方程中，可得2(42)5yy，解得1y，将1y代入第一个方程中，可得2x

，即可求解．【解答】解：解法一：由24xy可得：42xy，代入第二个方程中，可得：2(42)5yy，解得：1y，将1y代入第一个方程中，可得214x，解得：2x，211xy，故答案为：1；解法二：24

25xyxy①②，由②①可得：1xy，故答案为：1．14．如图，在平面直角坐标系中，直线1yx与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数kyx的图象在第一象限交于点C，若ABBC，则k的值为2．第13页（共24页）【分

析】过点C作CHx轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．【解答】解：过点C作CHx轴于点H．直线1yx与x轴，y轴分别交于点A，B，(1,0)A，(0,1)B，1OAOB，//OBCH，1AO

ABOHCB，1OAOH，22CHOB，(1,2)C，点C在kyx上，2k，故答案为：2．15．已知m为正整数，若189m是整数，则根据1893337337mmm可知m有最小值3721．设n为正整数，若300n是大于1的整数，则n的最小值为

3，最大值为．【分析】先将300n化简为310n，可得n最小为3，由300n是大于1的整数可得300n越小，300n越小，则n越大，当3002n时，即可求解．【解答】解：3003100310nnn，且为整数，n最小为3，300n是大于1的整数，300n越小

，300n越小，则n越大，当3002n时，3004n，75n，第14页（共24页）故答案为：3；75．16．如图1，在矩形ABCD中，8AB，6AD，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将AEF

绕点A逆时针旋转角(090)，使EFAD，连接BE并延长交DF于点H．则BHD的度数为90，DH的长为．【分析】如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EKAB于点K．证明DAFBAE∽

，推出ADFABE，可得90DHOBAO，解直角三角形求出EF，AJ，EJ，再利用平行线分线段成比例定理求出OJ，再根据coscosODHABO，可得DHABODBO，求出DH．【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EKAB于

点K．90EAFBAD，DAFBAE，12AFAEADAB，AFADAEAB，DAFBAE∽，ADFABE，DOHAOB，90DHOBAO，90BHD，3

AF，4AE，90EAF，22345EF，EDAD，1122AEAFEFAJ，125AJ，222212164()55EJAEAJ，//EJAB，第15页（共24页）OJEJOAAB，1651285

OJOJ，85OJ，128455OAAJOJ，22224845OBABAO，642ODADAO，coscosODHABO，DHABODBO，8245DH，455DH．故答案为：90，455．三、解答题（本大超共8小题，共72分

，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）17．（6分）解分式方程：143xx．【分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程即可．【解答】解：143xx左右两边同时乘以(3)xx得34xx，33x，1x．检验：把1x代入原方

程得14113，等式成立，所以1x是原方程的解．18．（7分）已知关于x的一元二次方程22(21)10xkxk有两个不等实数根1x，2x．（1）求k的取值范围；（2）若125xx，求k的值．【分析

】（1）根据判别式的意义得到△22(21)4(1)0kk，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到2121xxk，再利用125xx得到215k，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．

【解答】解：（1）根据题意得△22(21)4(1)0kk，解得34k；（2）根据题意得2121xxk，125xx，215k，解得12k，22k，34k，第16页（共24页）2k．19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上

，且四边形BEDF为正方形．（1）求证：AECF；（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，5AB，求CF的长．【分析】（1）根据正方形的性质可以得到DFEB，根据平行四边形的性质可以得到ABCD，然后即可得到结论成立；（2）根据平行四边形的面积，可以得到DE的长，然后根据正方形的

性质，可以得到BE的长，从而可以求得AE的长，再根据（1）中的结论，即可得到CF的长．【解答】（1）证明：四边形BEDF为正方形，DFEB，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCDFABEB，CFAE，即AECF；（2）解

：平行四边形ABCD的面积为20，5AB，四边形BEDF为正方形，520DE，DEEB，4DEEB，541AEABEB，由（1）知：AECF，1CF．20．（10分）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社

团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加问卷调查的学生共有60人；（2）条形统

计图中m的值为，扇形统计图中的度数为；（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人；（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方

法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．【分析】（1）利用2440%即可求出参加问卷调查的学生人数．第17页（共24页）（2）根据60102415m，1536060即可得出答案．（3）用该校总人数乘以

样本中最喜欢“音乐社团”的占比即可．（4）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）2440%60（人)，参加问卷调查的学生共有60人．故答案为：60．（2）6010241511m

，153609060，故答案为：11；90．（3）1060010060（人)，估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人．故答案为：100．（4）画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种

，恰好选中甲、乙两名同学的概率为21126．21．（9分）如图，已知D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与O相切，交CD的延长线于点E，且BEDE．（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若4AC，1sin3C，①求O的半径；②求BD的长．【分

析】（1）结论：CD是O的切线；只要证明ODCD即可；（2）①根据1sin3C，构建方程求解即可；②证明CDACBD∽，推出42242ADACBDCD，设2ADk，2BDk，利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）结论：CD是O的切线

；理由：如图，连接OD．EBED，OBOD，第18页（共24页）EBDEDB，OBDODB，BE是O的切线，OB是半径，OBBE，90OBE，90EBDOBD，90EDBODB，ODDE，OD是半径，CD是O的切线；（2）①设OD

OAr，ODCD，1sin3ODCOC，143rr，2r，O的半径为2；②在RtCOD中，22226242CDOCOD，AB是直径，90ADB，90DBABAD

，ODOA，OADODA，90ADCODA，ADCCBD，CC，CDACBD∽，42242ADACBDCD，设2ADk，2BDk，222ADBDAB，

222(2)(2)4kk，263k（负根已经舍去），4623BDk．22．（10分）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决

定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个(m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天(115x剟，且x为正整数）的供应量1y（单位：个）和需求量2y（单位：个）的部分数据如第19页（共24页）下表，

其中需求量2y与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天1261115供应量1y（个)150150m1505m15010m15014m需求量2y（个)220229245220164（1

）直接写出1y与x和2y与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据

：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．【分析】（1）由已知直接可得1150(1)150yxmmxm，设22yaxbxc

，用待定系数法可得2212209yxx；（2）求出前9天的总供应量为(135036)m个，前10天的供应量为(150045)m个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为21362292365（个)，可得1350

3621361500452365mm…，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为1210y，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为2209y，

销售额为20900元．【解答】解：（1）根据题意得：1150(1)150yxmmxm，设22yaxbxc，将(1,220)，(2,229)，(6,245)代入得：22042229366245abcabcabc，解得

112209abc，2212209yxx；（2）前9天的总供应量为150(150)(1502)......(1508)(135036)mmmm个，前10天的供应量为

135036(1509)(150045)mmm个，在2212209yxx中，令10x得2101210209229y，前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为213622923

65（个)，前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，13503621361500452365mm…，解得25192196m„，m为正整数，m的值为20或21；（3）由（2）知，m最小值为20，第4天的销售量即供应量为142015020210y

，第4天的销售额为21010021000（元)，第20页（共24页）而第12天的销售量即需求量为22121212209209y，第12天的销售额为20910020900（元)，答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．23

．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体

现在具体的图形之中．（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：()abcdadbdcd公式②：

()()abcdacadbcbd公式③：222()2abaabb公式④：222()2abaabb图1对应公式①，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式．（2）《几何原本》中记载了一

种利用几何图形证明平方差公式22()()ababab的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，90BAC，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EGBC于点G，作EHAD

于点H，过点B作//BFAC交EG的延长线于点F．记BFG与CEG的面积之和为1S，ABD与AEH的面积之和为2S．①若E为边AC的中点，则12SS的值为；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍

成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；（2）由图可得AKLCDBFGSAKACaabBFBDS矩形

矩形，即可得22BCEFAKHDSaSb正方形矩形，从而有22()()aababb，故22()()ababab；第21页（共24页）（3）①设BDm，可得ADBDCDm，由

E是AC中点，即得12HEDGmAH，2154BFGCEGSSSm，2258ABDAEHSSSm，即得122SS；②设BDa，DGb，可得ADBDCDa，AHHEDGb，EGCGab，FGBGab，2222111()()22BFG

CEGSSSababab，22222111()222ABDAEHSSSabab，从而122SS．【解答】（1）解：观察图象可得：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；故答案为：①，

②，④，③；（2）证明：如图：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，AKBMBFMFab，BDBCCDab，AKLCDBFGSAKACaabBFBDS矩形矩形，22BCEFCDHLDBFGEGHL

CDHLAKLCSaSSSSSb正方形矩形矩形正方形矩形矩形，22AKHDaSb矩形，AKHDSAKADabab矩形，22()()aababb，22()()ababab；（3）解：①设BDm，由已知可得ABD、AEH、CEG、BF

G是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，ADBDCDm，E是AC中点，12HEDGmAH，12CGCDDGm，32BGFGBDDGm，211331115222222

4BFGCEGSSSmmmmm，2221111522228ABDAEHSSSmmmm，122SS；故答案为：2；②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明如下：

设BDa，DGb，由已知可得ABD、AEH、CEG、BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，ADBDCDa，AHHEDGb，EGCGab，FGBGab，第22页（共24

页）2222111()()22BFGCEGSSSababab，22222111()222ABDAEHSSSabab，122SS．24．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线2(0)yaxbxca与x轴分别交于点A和点(1,0)B，

与y轴交于点C，对称轴为直线1x，且OAOC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称

轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）判断出A，B两点坐标，可以假设抛物线的解析式为(3)(1)yaxx

，把(0,3)代入抛物线的解析式，得1a，可得结论；（2）如图（2）中，连接OP．设2(,23)Pmmm，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情形，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可．【解答】解：（

1）抛物线的对称轴是直线1x，抛物线交x轴于点A，(1,0)B，(3,0)A，3OAOC，(0,3)C，可以假设抛物线的解析式为(3)(1)yaxx，把(0,3)代入抛物线的解析式，得1a，

抛物线的解析式为223yxx；（2）如图（2）中，连接OP．设2(,23)Pmmm，第23页（共24页）PAOPOCOBCSSSS，21113(23)3()13222mmm

23(34)2mm23375()228m，302，当32m时，S的值最大，最大值为758，此时3(2P，75)8；（3）存在，理由如下：如图31中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时(1,4)P，(0,4)N

；如图32中，当四边形PMCN是矩形时，设(1,)Mn，2(,23)Pttt，则(1,0)Nt，第24页（共24页）由题意，2(23)31331nttnt，解得，消去n得，235100tt，解得51456t，5145(6P

，1451)18，1145(6N，0)或5145(6P，1451)18，1145(6N，0)．综上所述，满足条件的点(1,4)P，(0,4)N或5145(6P，1451)18，1145(6N，0)或

5145(6P，1451)18，1145(6N，0)．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/2820:44:43；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；

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