【文档说明】2022年河南省中考数学试卷.doc，共(20)页，4.052 MB，由我爱分享上传

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第1页（共20页）2022年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．12的相反数是()A．12B．2C．2D．122．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分

别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是()A．合B．同C．心D．人3．如图，直线AB，CD相交于点O，EOCD，垂足为O．若154，则2的度数为(

)A．26B．36C．44D．544．下列运算正确的是()A．2332B．22(1)1aaC．235()aaD．2322aaa5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O

，点E为CD的中点．若3OE，则菱形ABCD的周长为()A．6B．12C．24D．486．一元二次方程210xx的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根7．如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（

满分5分），则所打分数的众数为()A．5分B．4分C．3分D．45%8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．则1兆等于()A．810

B．1210C．1610D．24109．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，//ABx轴，交y轴于点P．将OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为()第2页（共20页）A．(3，1)B．(1,3)C

．(3，1)D．(1,3)10．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1)R，1R的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2)，血液酒精浓度M与呼气酒精浓

度K的关系见图3．下列说法不正确的是()A．呼气酒精浓度K越大，1R的阻值越小B．当0K时，1R的阻值为100C．当10K时，该驾驶员为非酒驾状态D．当120R时，该驾驶员为醉驾状态二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：．12．不等式组

30,12xx„的解集为．13．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为．14．如图，将扇形AOB

沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O处，得到扇形AOB．若90O，2OA，则阴影部分的面积为．15．如图，在RtABC中，90ACB，22ACBC，点D为AB的中点，点P在AC上，且1CP，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ

．当90ADQ时，AQ的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：013127()23；（2）化简：211(1)xxx．17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟

志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随第3页（共20页）机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：a．成绩频数分布表：成绩x（分)5060x„6070

x„7080x„8090x„90100x剟频数7912166b．成绩在7080x„这一组的是（单位：分）:707172727477787878797979根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是分，成绩不低于80分

的人数占测试人数的百分比为．（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．（3）请对该校学生

“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．18．（9分）如图，反比例函数(0)kyxx的图象经过点(2,4)A和点B，点B在点A的下方，AC平分OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2

）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：//CDAB．19．（9分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁

DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin340.5

6，cos340.83，tan340.67)．20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗

的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．第4页（共20页）（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基

地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距

离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为2()yaxhk，其中()xm是水柱距喷水头的水平距离，()ym是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．

身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚

铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证：90BOCBAD．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得3cos5BAD．已知铁环O的半径为25cm，推杆

AB的长为75cm，求此时AD的长．23．（10分）（2022河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得

到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30的角：．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM

交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，MBQ，CBQ；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由．第5页（共20页）（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当1

FQcm时，直接写出AP的长．第6页（共20页）2022年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．12的相反数是()A．12B．2C．2D．12【分析】直接利用相反数的定义得

出即可．【解答】解：12的相反数是：12．故选：A．2．2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是()A．合B．同C．心D．人【分析】根据正方体的表面展开

图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．【解答】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，故选：D．3．如图，直线AB，CD相交于点O，EOCD，垂足为O．若154，则2的度数为()A．26B．36C．44D．54【分析】首先利用垂直的定义得到9

0COE，然后利用平角的定义即可求解．【解答】解：EOCD，90COE，12180COE，21801180549036COE．故选：B．4．下列运算正

确的是()A．2332B．22(1)1aaC．235()aaD．2322aaa【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．【

解答】解：A、2333，故A不符合题意；B、22(1)21aaa，故B不符合题意；C、236()aa，故C不符合题意；D、2322aaa，故D符合题意．第7页（共20页）故选：D．5．如图，在菱形ABCD中，对角线

AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若3OE，则菱形ABCD的周长为()A．6B．12C．24D．48【分析】由菱形的性质可得出ACBD，ABBCCDDA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答

】解：四边形ABCD为菱形，ACBD，ABBCCDDA，COD为直角三角形．3OE，点E为线段CD的中点，26CDOE．44624ABCDCCD菱形．故选：C．6．一元二次方程210xx的根的

情况是()A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【分析】根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：在一元二次方程210xx中，1a，1b，1c，△224141(1)1450bac，原方程有两个不相等的实

数根．故选：A．7．如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为()A．5分B．4分C．3分D．45%【分析】根据众数的定义求解即可．【解答】解：由扇形统计图知，得4分

的人数占总人数的45%，人数最多，所以所打分数的众数为4分，故选：B．8．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．则1兆等于()A．810B．12

10C．1610D．2410【分析】根据同底数幂的乘法先求出1亿，再求1兆即可．【解答】解：1亿441010810，第8页（共20页）1兆448101010448101610，故选：C．9．如图

，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，//ABx轴，交y轴于点P．将OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为()A．(3，1)B．(1,3)C．(3，1

)D．(1,3)【分析】由正六边形的性质可得(1,3)A，再根据由360904可知，每4次为一个循环，由202245052，可知点2022A与点2A重合，求出点2A的坐标可得答案．【解答】解：边长为2的正六边形ABCDEF的中心与

原点O重合，2OAAB，60BAO，//ABx轴，90APO，30AOP，1AP，3OP，(1,3)A，将OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90，可知点2A与D重合，由360904可知，每4次为一个循环，202245052，点2022A

与点2A重合，点2A与点A关于原点O对称，2(1,3)A，第2022次旋转结束时，点A的坐标为(1,3)，故选：B．第9页（共20页）10．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电

阻（图1中的1)R，1R的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2)，血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是()A．呼气酒精浓度K越大，1R的阻值越小B．当0K时，1R的阻值为100C．当10K时，该驾驶

员为非酒驾状态D．当120R时，该驾驶员为醉驾状态【分析】观察图2可直接判断A、B，由10K可算出M的值，从而判断C，观察图2可得120R时K的值，从而算出M的值，即可判断D．【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓

度K越大，1R的阻值越小，故A正确，不符合题意；由图2知，0K时，1R的阻值为100，故B正确，不符合题意；由图3知，当10K时，32200101022(/100)MmgmL，当10K时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；由图2知，当1

20R时，40K，32200401088(/100)MmgmL，该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：答案不唯一，

如yx．【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．【解答】解：例如：yx，或2yx等，答案不唯一．12．不等式组30,12xx„的解集为23x„．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：3012xx

①②„，解不等式①，得：3x„，解不等式②，得：2x，该不等式组的解集是23x„，故答案为：23x„．13．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、第10页（共20页）丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率

为16．【分析】画树状图，共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，恰好选中甲和丙的概率为2112

6，故答案为：16．14．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O处，得到扇形AOB．若90O，2OA，则阴影部分的面积为332．【分析】如图，设OA交AB于点T，连接OT．首先证明30OTO，根据OTOOABOTB

SSSS阴扇形扇形求解即可．【解答】解：如图，设OA交AB于点T，连接OT．OTOB，OOOB，2OTOO，90OOT，30OTO，60TOO，OTOOABOTBSSSS

阴扇形扇形229026021(13)3603602332．故答案为：332．15．如图，在RtABC中，90ACB，22ACBC，点D为AB的中点，点P在AC上，且1CP，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应

点为点Q，连接AQ，DQ．当90ADQ时，AQ的长为5或13．第11页（共20页）【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．【解答】解：如图：90ACB，22ACBC，24ABAC，点D为AB的中点，12

2CDADAB，90ADC，90ADQ，点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：1CQCPCQ，分两种情况：当点Q在CD上，在RtADQ中，1DQCDCQ，2222215

AQADDQ，当点Q在DC的延长线上，在RtADQ中，3DQCDCQ，22222313AQADDQ，综上所述：当90ADQ时，AQ的长为5或13，故答案为：5或13．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：013127()23；（2）化简：211(1)xxx．【分析】（1）先算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再算加减；（2）先通分，把除化为乘，

再分解因式约分．第12页（共20页）【解答】解：（1）原式131252；（2）原式(1)(1)1xxxxx(1)(1)1xxxxx1x．17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站

开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：a．成绩频数分

布表：成绩x（分)5060x„6070x„7080x„8090x„90100x剟频数7912166b．成绩在7080x„这一组的是（单位：分）:707172727477787878797979根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是78.5

分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为．（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情

况作出合理的评价．【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；（2）根据中位数的意义求解即可；（3）答案不唯一，合理均可．【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为7

87978.52（分)，所以这组数据的中位数是78.5分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为166100%44%50，故答案为：78.5，44%；（2）不正确，因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，所以甲

的成绩不可能高于一半学生的成绩；（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．18．（9分）如图，反比例函数(0)kyxx的图象经过点(2,4)A和点B，点

B在点A的下方，AC平分OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：//CDAB．第13页（共20页）【分

析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可；（2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；（3）证明DCABAC，可得结论．【解答】（1）解：反比例函数(0)kyxx的图象经过点(2,4)A，248k

，反比例函数的解析式为8yx；（2）解：如图，直线m即为所求．（3）证明：AC平分OAB，OACBAC，直线m垂直平分线段AC，DADC，OACDCA，DCABAC，//CDAB．19．（9分）开封清

明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A

，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67)．第14页（共20页）【分析】延长EF交DC于点

H，根据题意可得：90DHF，15EFAB米，1.5CHBFAE米，设FHx米，在RtDFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，然后在RtDHE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：延长EF交D

C于点H，由题意得：90DHF，15EFAB米，1.5CHBFAE米，设FHx米，(15)EHEFFHx米，在RtDFH中，45DFH，tan45DHFHx（米)，在RtDHE中，34DEH，tan

340.6715DHxEHx，30.1x，经检验：30.1x是原方程的根，30.11.532DCDHCH（米)，拂云阁DC的高度约为32米．20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版），将

劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种

菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少

3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100)m捆，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，得50m„，设本次购买花费w元，有第15页（共20页）200.9300.9(100)92700wmmm，由一次函数性质可得本次

购买最少花费2250元．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：300300354xx，解得20x，经检验，20x是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2

）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100)m捆，A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，100mm„，解得50m„，设本次购买花费w元，200.9300.9(100)92700wmmm，90，

w随m的增大而减小，50m时，w取最小值，最小值为95027002250（元)，答：本次购买最少花费2250元．21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷

水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为2()yaxhk，其中()xm是水柱距喷水头的水平距离，()ym是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m

．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【分析】（1）由抛物线顶点(5,3.2)，设抛物线的表达式为2(5)3.2yax，用待定系数法可得抛物线的表达式为2171010yxx；（2）当1.6y时，2171.61010xx

，解得1x或9x，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，设抛物线的表达式为2(5)3.2yax，将(0,0.7)代入得：0.7253.2a，解得110

a，22117(5)3.2101010yxxx，答：抛物线的表达式为2171010yxx；第16页（共20页）（2）当1.6y时，2171.61010xx，解得1x或9x，她与爸爸的水平距离为3

12()m或936()m，答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环O与水平地面相切于点C

，推杆AB与铅垂线AD的夹角为BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：90BOCBAD．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置

，此时点A距地面的距离AD最小，测得3cos5BAD．已知铁环O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．【分析】（1）本小题难度不大，方法颇多，方法1：如图1，过点B作//EFCD，分别交AD于点E，交OC于点F．首先证

明90BOCOBF，90ABEBAD；再根据B是切点得出90OBA．后面就很简单的证明出结论；方法2：如图2，延长OB交CD于点M．因为AB为O的切线，所以根据切线性质得到，90OB

A，90ABM．再根据四边形、三角形的内角和即可证明；方法3：如图3，过点B作//BNAD，根据两直线平行，内错角相等和切线性质，可以很简单的证明问题；（2）利用（1）中图1的辅助线即可解答．首先根据条件75AB，3cos5BAD，得到45AE．再利用（1）证明出

的，OBFBAD，能得到四边形CDEF为矩形，所以5DECF，从而得到50ADAEEDcm．【解答】(1)证明：方法1：如图1，过点B作//EFCD，分别交AD于点E，交OC于点F．CD与O相切于点C，90OCD．ADCD，90ADC．//E

FCD，90OFBAEB，90BOCOBF，90ABEBAD，AB为O的切线，第17页（共20页）90OBA．90OBFABE，90OBF．90OBFABE，OBFBAD

，90BOCBAD；方法2：如图2，延长OB交CD于点M．CD与O相切于点C，90OCM，90BOCBMC，ADCD，90ADC．AB为O的切线，90OBA，90ABM．在四

边形ABMD中，180BADBMD．180BMCBMD，BMCBAD．90BOCBAD；方法3：如图3，过点B作//BNAD，NBABAD．CD与O相切于点C，90OCD，ADCD，90ADC．//ADOC，

//BNOC，NBOBOC．AB为OO的切线，90OBA，90NBONBA，90BOCBAD．（2）解：如图1，在RtABE中，第18页（共20页）75AB，3cos5BAD，45AE．由（1）

知，OBFBAD，3cos5OBF，在RtOBF中，25OB，15BF，20OF．25OC，5CF．90OCDADCCFE，四边形CDEF为矩形，5DECF，50ADAEEDcm．2

3．（10分）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，

连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30的角：EMB或CBM或ABP或CBM（任写一个即可）．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按

照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，MBQ，CBQ；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片A

BCD的边长为8cm，当1FQcm时，直接写出AP的长．第19页（共20页）【分析】（1）由折叠的性质可得12AEBEAB，90AEFBEF，ABBM，ABPPBM，由锐角三角函数可求3

0EMB，即可求解；（2）①由“HL”可证RtBCQRtBMQ，可得15CBQMBQ；②由“HL”可证RtBCQRtBMQ，可得CBQMBQ；（3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．【解答】解：（1）对折矩形纸片ABCD，12

AEBEAB，90AEFBEF，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，ABBM，ABPPBM，1sin2BEBMEBM，30EMB，60ABM，30CBMABPCBM

，故答案为：EMB或CBM或ABP或CBM（任写一个即可）；（2）①由（1）可知30CBM，四边形ABCD是正方形，ABBC，90BADC，由折叠可得：ABBM，90BADBMP，B

MBC，90BMQC，又BQBQ，RtBCQRtBMQ(HL)，15CBQMBQ，故答案为：15，15；②MBQCBQ，理由如下：四边形ABCD是正方形，ABBC，90BADC，由折叠可得：ABBM，90BADBM

P，BMBC，90BMQC，又BQBQ，RtBCQRtBMQ(HL)，CBQMBQ；（3）由折叠的性质可得4DFCFcm，APPQ，RtBCQRtBMQ

，CQMQ，当点Q在线段CF上时，1FQcm，3MQCQcm，5DQcm，222PQPDDQ，22(3)(8)25APAP，4011AP，当点Q在线段DF上时，1FQcm，5MQCQcm，3DQcm，222PQPDDQ，22(5)(8)9AP

AP，第20页（共20页）2413AP，综上所述：AP的长为4011cm或2413cm．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/2820:40:21；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557