【文档说明】2022年江苏省南通市中考数学试卷.doc，共(32)页，908.500 KB，由我爱分享上传

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以下为本文档部分文字说明：

第1页（共32页）2022年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）若气温零上2℃记作+2℃，则气温零下3℃记作（）A．﹣3℃B．﹣1℃

C．+1℃D．+5℃2．（3分）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示

为（）A．3.9×1011B．0.39×1011C．3.9×1010D．39×1094．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm5．（3分）如图是由5个相同的正方体搭

成的立体图形，则它的主视图为（）A．B．C．D．6．（3分）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5%B．10%C．20%D．21%7．（3

分）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）第2页（共32页）A．30°B．40°C．50°D．80°8．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜1D．x＞19．（3分）如图，在▱ABCD中

，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．第3页（共32页）C．D．10．（3分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2

m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣4二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）为了了解“双减”背景下全国中

小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是（填“全面调查”或“抽样调查”）．12．（3分）分式有意义，则x应满足的条件是．13．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、

羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为．14．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC

∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是．15．（4分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5

t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．16．（4分）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为m（结果保留根号）．第4页（共3

2页）17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6n），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为．18．（4分）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90

°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（

1）计算：；（2）解不等式组：．20．（10分）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：A，B两个县区的统计表平均数众数中位数A县区3.8533B县区3.8542.5（1）若A县区八年级

共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为名；第5页（共32页）（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并说明理由．21．（10分）【阅读材料】老师的问

题：已知：如图，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．小明的作法：（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；（3）连接CD．四边形ABCD就是所求作的菱形．【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．22．（10分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是；（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个

球．求两次摸到的球的第6页（共32页）颜色为“一红一黄”的概率．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD

的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．24．（12分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售

额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．25．（13分）如图，矩形ABCD中，

AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；（2）当AE＝3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．第

7页（共32页）26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（

1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方

点”一定存在，请直接写出n的取值范围．第8页（共32页）2022年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）若气温零上2℃记作+2

℃，则气温零下3℃记作（）A．﹣3℃B．﹣1℃C．+1℃D．+5℃【分析】根据气温是零上2摄氏度记作+2℃，则可以表示出气温是零下3摄氏度，从而可以解答本题．【解答】解：∵气温是零上2摄氏度记作+2℃，∴气温是零下3摄氏度记作﹣3℃．

故选：A．【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．2．（3分）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分

析即可．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．3．（3分）沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将390000000

00用科学记数法表示为（）A．3.9×1011B．0.39×1011C．3.9×1010D．39×109第9页（共32页）【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：

39000000000＝3.9×1010．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A

．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．【解答】解：设第三根木条长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x

＜6+3，即3＜x＜9，即x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可，

难度适中．5．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，故选

：A．【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．6．（3分）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每第10页（共32页）月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5%B．10%C．20%D．21%【分析

】设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可．【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增长率为1

0%．故答案为：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

7．（3分）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠

4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，第11页（共32页）∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．【点评】本题

考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜1D．x＞1【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点

的坐标和图象得出即可．【解答】解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解

此题的关键．9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（）

第12页（共32页）A．B．C．D．【分析】过O点作OM⊥AB于M，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB，AC的长，结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求得OM，AM的长，设BE＝x，则EM＝5﹣x，利用勾股定理可求得yy与x的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值

的取值范围，即可判断函数的图象求解．【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∵BC＝4，∴AB＝8，AC＝，∵四边形ABCD为平行四边形，第13页（共32页）∴AO＝AC＝，∴OM＝AO＝，∴AM＝，

设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣EM＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵OE2＝OM2+EM2，∴y＝（x﹣5）2+3，∵0≤x≤8，∴3≤y≤12，故符合解析式的图象为：故选：C．【点评】本题主要考查

平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．10．（3分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的

最大值为（）A．24B．C．D．﹣4【分析】先判断出mn＝m2+n2﹣2，进而化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝24﹣7（m2+n2），再判断出m+n＝0时m2+n2取到最小值，即可求出答案．【解答】解：∵m2

+n2＝2+mn，∴mn＝m2+n2﹣2，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn第14页（共32页）＝5m2+5n2﹣12（m2+n2﹣2）＝24﹣7（m2+n2），∵m2+n2＝2+mn，∴

（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），∴3mn+2＝0，∴mn＝﹣，（m2+n2）最小值＝，∴24﹣7（m2+n2）取到最大值为，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，故选：B．

【点评】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）是解本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11

．（3分）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查（填“全面调查”或“抽样调查”）．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后

作业的时间情况，比较适合的调查方式是全面调查．故答案为：抽样调查．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或

价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．12．（3分）分式有意义，则x应满足的条件是x≠2．【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义，第15页（共32

页）∴x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．13．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四

十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为5x+45＝7x+3．【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．【解答】解：若设人数为x

，则可列方程为：5x+45＝7x+3．故答案为：5x+45＝7x+3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这

个条件可以是AB＝DE（答案不唯一）．【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC

≌△DEF（AAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．第16页（共32页）【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15．（4分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球

沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为2s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣

5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．（4分）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪B

D，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为（1+10）m（结果保留根号）．【分析】在Rt△AED中，求出AE＝DE•tan60°，加上1即为AC的长．【解答】解：如图，设DE⊥AC于点E，在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°＝10×＝10，∴AC＝1+10（米）．第17页（共32页）故答案为

：1+10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6n），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，

则k的值为±．【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，

即可得出（|6n+2n|）•（|3m﹣m|＝1，求得mn＝±，由于k＝6mn，即可求得k＝±．【解答】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A（m，6n），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（

k≠0）图象上的三点．∴B、C关于原点对称，∴BO＝CO，∵S△ABC＝2，∴S△AOB＝1，∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∴（|6n+2n|）•（|3m﹣m|＝1，∴|mn|＝，∴mn＝±，

∵k＝m•6n＝6mn，∴k＝±，故答案为：±．第18页（共32页）【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得△AOB的面积为1是解题的关键．18．（4分）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△B

EF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为3++．【分析】如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．解直角三角形求出A

G，BG，利用相似三角形的性质求出EG，DE，再证明FH＝BC，推出BM＝MF，求出MF，BD可得结论．【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3

，∠A＝∠ADC＝90°，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝，DG＝2，第19页（共32页）∴BG＝＝＝2，∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△BAG∽△DEG，∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，∴＝＝，∴DE＝，EG＝，∴BE＝BG+EG＝2+＝，∵∠ADH＝

∠FHD＝90°，∴AD∥FH，∴∠EDG＝∠DFH，∴∠ABG＝∠DFH，∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，∴△BAG≌△FHD（AAS），∴AB＝FH，∵AB＝BC，∴FH＝BC，∵∠C＝∠FHM＝90°，∴FH∥CB，

∴＝＝1，∴FM＝BM，∵EF＝DE+DF＝+2＝，∴BF＝＝＝，∵∠BEF＝90°，BM＝MF，∴EM＝BF＝，∵BO＝OD，BM＝MF，∴OM＝DF＝，第20页（共32页）∵OE＝BD＝×6＝3，∴△

OEM的周长＝3++，故答案为：3++，【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答

题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：．【分析】（1）利用分式的混合运算法则运算即可；（2）分别求得不等式组中两

个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．【解答】解：（1）原式＝＝＝＝1；（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，它们的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为：x≥3．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正

确利用上述法则进行运算是解题的关键．20．（10分）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：A，B两个县区的统计表第21页（共32页）平均数众数中位数A县区3.

8533B县区3.8542.5（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为3750名；（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并说明理由．【分析】（1）A县区八年级学生的总人数乘以不少于3天的

学生的百分数；（2）通过对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数的平均数、众数、中位数情况进行比较，作出判断．【解答】解：（1）5000×（30%+25%+15%+5%）＝3750（名）．故答案为：3750．（2）因为A，B两个县区的平均数一样，从众数来看B县区好，但从

中位数来看A县区好．【点评】此题主要考查了用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（10分）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别

在BF，AE上．小明的作法：（1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；（2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；第22页（共32页）（3）连接CD．四边形ABCD就是所求作的菱形．【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即

可．【解答】证明：由作图可知AD＝AB＝BC，∵AE∥BF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10

分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是；（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（

2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，故答案为：；第23页（共32页）（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次摸到

的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点

为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC

平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积..【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝

∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，第24页（共32页）∵BC＝DC，∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．【点评】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角

形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．（12分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．（1）写出图中点B表示的实

际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．【分析】（1）根据图形即可得出结论；（2

）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式即可；（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．【解答】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kb时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；（2）设甲种苹果销售额y（单位

：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，解得k＝20，第25页（共32页）∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤1

20）；当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，解得：k′＝25，∴y乙＝25x

；当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），则，解得：，∴y乙＝15x+300，综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝；（3）①当0≤a≤

30时，根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，解得：a＝60＞30，不合题意；②当30＜a≤120时，根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a＝1500，解得：a＝100，综上，a的值为100．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．25．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上

时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；（2）当AE＝3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．第26页（共32页）【分析】（1）如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，证明△ABE≌

△AMF（AAS），可得结论；（2）利用勾股定理求出BE＝，利用全等三角形的性质推出FM＝BE＝，再利用勾股定理求出CF即可；（3）分两种情形：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．证明点F在射线FM上运动，当点F与H重合时，DH的值最小，求出DH即可．当点E在线段C

D上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．证明△ADE≌△ARF（SAS），推出∠ADE＝∠ARF＝90°，推出点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，可得结论．【解答】（1）

证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵FM⊥AC，∴∠B＝∠AMF＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，第27页（共32页）∴∠BAE＝∠MAF，在△ABE和△AMF中，，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴AB＝AM；（2）解：在Rt△ABE中，AB＝4

，AE＝3，∴BE＝＝＝，∵△ABE≌△AMF，∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，∵∠CMF＝90°，∴CF＝＝＝；（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．∵△ABE≌△AMF，∴AM＝

AB＝4，∵∠AMF＝90°，第28页（共32页）∴点F在射线FM上运动，当点F与H重合时，DH的值最小，∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，∴△CMJ∽△CDA，∴＝＝，∴＝＝，∴MJ＝，CJ＝，∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，∵∠CMJ＝∠DHJ＝

90°，∠CJM＝∠DJH，∴△CMJ∽△DHJ，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴DF的最小值为．当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．∵∠

EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，∴∠DAE＝∠RAF，∵AE＝AF，AD＝AR，∴△ADE≌△ARF（SAS），∴∠ADE＝∠ARF＝90°，第29页（共32页）∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值

最小，∵DQ⊥AR，DK⊥RF，∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，∴四边形DKRQ是矩形，∴DK＝QR，∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3×＝，∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，∴DF的最

小值为，∵＜，∴DF的最小值为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（

n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y

＝图象的“1阶方点”的有②③（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出

n的取值范围．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2|n|的正

方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，分n＞0和n＜0两第30页（共32页）种情况，结合函数图象求解即可．【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶

方点”；②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；故答案为：

②③；（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝a

x﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或﹣1；（3）

在以O为中心，边长为2|n|的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＜0时，抛物线的对称轴为直线x＝n，如图可知，A（n，

﹣n），B（n，n），C（﹣n，n），D（﹣n，﹣n），当抛物线经过D点时，n＝（舍）或n＝（舍）；如图3，当n＜0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；当抛物线经过点B时，n＝1；∴

≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在.第31页（共32页）【点评】本题考查二次函数的图象及

性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．第32页（共32页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/67:5

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