【文档说明】2022年山东省泰安市中考数学试卷.doc，共(32)页，4.544 MB，由我爱分享上传

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第1页（共32页）2022年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）计算1(6)()2

的结果是()A．3B．3C．12D．122．（4分）下列运算正确的是()A．624xxB．236aaaC．633xxxD．222()xyxy3．（4分）下列图形：其中轴对称图形的个数是()A．4B．3C．2D．14．（4

分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为()A．60.44810度B．444.810度C．54.4810度D．64.4810度5．（4分）如图，12//ll，点A

在直线1l上，点B在直线2l上，ABBC，25C，160．则2的度数是()A．70B．65C．60D．556．（4分）如图，AB是O的直径，ACDCAB，2AD，4AC，则O的半径为()第2页（共32页）A．23B．32C

．25D．57．（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是()A．最高成绩是9.4环B．平均成绩是9环C．这组成绩的众数是9环D．这组成绩的方差是8.78．（4分）如图，四边形ABCD中，60A，//ABCD，

DEAD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且6DE的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为()A．693B．1293C．9362D．931229．（4分）抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x2101y0466

第3页（共32页）下列结论不正确的是()A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线12xC．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)D．函数2yaxbxc的最大值为25410．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：

“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是()A．3(1)6210

xxB．3(1)6210xC．(31)6210xxD．36210x11．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，60ABC，2BCAB．下列结论：①ABAC；②4ADO

E；③四边形AECF是菱形；④14BOEABCSS，其中正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．112．（4分）如图，四边形ABCD为矩形，3AB，4BC，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，ADMBAP，则B

M的最小值为()A．52B．125C．3132D．132二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）计算：48633．第4页（共32页）14．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边

形，则点B的坐标为．15．（4分）如图，在ABC中，90B，O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若32A，则ADO．16．（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC，已知窗户的高度2AFm，窗

台的高度1CFm，窗外水平遮阳篷的宽0.8ADm，则CP的长度为（结果精确到0.1)m．17．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(,)nm表示第n行，从左到右第m个数，如(3,2)表示6，则表示99的有序数对是．

第5页（共32页）18．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6AB，则DP的长度为．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或

推演步骤）19．（10分）（1）化简：244(2)24aaaa；（2）解不等式：5231234xx．20．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校

举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：7580x„，B组：8085x„，C组：8590x„，D组：9095x„，E组：95100x剟，并绘制了如下不完整的统计图．

请结合统计图，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中m，所抽取学生成绩的中位数落在组；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？（4）学校将从获得满分的5名同

学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加第6页（共32页）周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．21．（10分）如图，点A在第一象限，ACx轴，垂足为C，25OA，1tan2A，反比例函数kyx的图象经过

OA的中点B，与AC交于点D．（1）求k值；（2）求OBD的面积．22．（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共

花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．23．（12分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DEBE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分CBD，求证：BFAC；（2）找出图中与O

BF相似的三角形，并说明理由；（3）若3OF，2EF，求DE的长度．第7页（共32页）24．（12分）若二次函数2yaxbxc的图象经过点(2,0)A，(0,4)B，其对称轴为直线1x，与

x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MNx轴于点N．①若点N在线段OC上，且3MNNC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．25．（14分）问题探究（1）在ABC中，B

D，CE分别是ABC与BCA的平分线．①若60A，ABAC，如图1，试证明BCCDBE；②将①中的条件“ABAC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（

2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且2ACBACD，2CADCAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．第8页（共32页）第9页（共32页）2022年山东省泰安市中考数学

试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）计算1(6)()2的结果是()A．3B．3C．12D．12【分析】根

据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：原式1(6)23．故选：B．2．（4分）下列运算正确的是()A．624xxB．236aaaC．633xxxD．222()xyxy【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂

的除法判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．【解答】解：A选项，原式4x，故该选项不符合题意；B选项，原式a，故该选项不符合题意；C选项，原式3x，故该选项符合题意；D选项，原式222xxyy，故该选项不符合题意；故选：C．3．（4分）下列图形：

其中轴对称图形的个数是()A．4B．3C．2D．1【分析】根据图形对称的定义判定就行．【解答】解：（1）是轴对称图形；第10页（共32页）（2）是轴对称图形；（3）不是轴对称图形；（4）是轴对称图形；故选：B．4．（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光

伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为()A．60.44810度B．444.810度C．54.4810度D．64.4810度【分析】根据1万410，然后写成科学记数法的形式：10na，其中110a„，

n为正整数即可．【解答】解：44.8万4544.8104.4810，故选：C．5．（4分）如图，12//ll，点A在直线1l上，点B在直线2l上，ABBC，25C，160．则2的度数是()A．70B．65C．60D．55【分析】利用等腰三角形的性质得到25CBA

C，利用平行线的性质得到95BEA，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，第11页（共32页）ABBC，25C，25CBAC，12//ll，160，180602595BEA，2BEAC，2952570

．故选：A．6．（4分）如图，AB是O的直径，ACDCAB，2AD，4AC，则O的半径为()A．23B．32C．25D．5【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．【解答】解：连接CO并延长CO交O于点E，连接AE，OAOC

，OACOCA，ACDCAB，ACDACO，2AEAD，CE是直径，90EAC，在RtEAC中，2AE，4AC，222425EC，O的半径为5．故选：D．第12页（共32页）7．（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图

，根据此统计图，下列结论中错误的是()A．最高成绩是9.4环B．平均成绩是9环C．这组成绩的众数是9环D．这组成绩的方差是8.7【分析】根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．【解答】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不

合题意；平均成绩是1(9.428.49.228.8938.6)910（环)，故选项B不合题意；这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；这组成绩的方差是222221[2(9.49)(.0910

，故选项D符合题意．故选：D．8．（4分）如图，四边形ABCD中，60A，//ABCD，DEAD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且6DE的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为

()第13页（共32页）A．693B．1293C．9362D．93122【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．【解答】解：60A，//ABCD，DEAD交AB于点E，30GDEDEA，DEEF，30EDF

EFD，120DEF，过点E作EGDF交DF于点G，30GDE，6DE，3GE，33DG，63DF，阴影部分的面积12036163312933602，故选：B．9．

（4分）抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x2101y0466下列结论不正确的是()第14页（共32页）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线12xC．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)D．函

数2yaxbxc的最大值为254【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：由表格可得，42046abcabcc

，解得116abc，221256()(3)(2)24yxxxxx，该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；该抛物线的对称轴是直线12x，故选项B正确，不符合题意，当2x时，0y，当12(2)32x时，0y，故

选项C错误，符合题意；函数2yaxbxc的最大值为254，故选项D正确，不符合题意；故选：C．10．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱

三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，

则符合题意的方程是()A．3(1)6210xxB．3(1)6210xC．(31)6210xxD．36210x【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3(1)x文，利用总价单价数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得

解．第15页（共32页）【解答】解：这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，一株椽的价钱为3(1)x文．依题意得：3(1)6210xx．故选：A．1

1．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，60ABC，2BCAB．下列结论：①ABAC；②4ADOE；③四边形AECF是菱形；④14BOEABCSS，其中正

确结论的个数是()A．4B．3C．2D．1【分析】通过判定ABE为等边三角形求得60BAE，利用等腰三角形的性质求得30EAC，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性

质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【解答】解：点E为BC的中点，22BCBECE，又2BCAB，ABBE，60ABC，ABE是等边三角形，60BAEBEA，30EACECA，90BACBAEEAC，

即ABAC，故①正确；在平行四边形ABCD中，//ADBC，ADBC，AOCO，CADACB，在AOF和COE中，第16页（共32页）CADACBOAOCAOFCOE，()AOFCO

EASA，AFCE，四边形AECF是平行四边形，又ABAC，点E为BC的中点，AECE，平行四边形AECF是菱形，故③正确；ACEF，在RtCOE中，30ACE，111244OECEBCAD

，故②正确；在平行四边形ABCD中，OAOC，又点E为BC的中点，1124BOEBOCABCSSS，故④正确；正确的结论由4个，故选：A．12．（4分）如图，四边形ABCD为矩形，3AB，4

BC，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，ADMBAP，则BM的最小值为()A．52B．125C．3132D．132【分析】如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明90AMD，推出122OMAD，点M的运动

轨迹是以O为圆心，2为半径的O．利用勾股定理求出OB，可得结论．【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．第17页（共32页）四边形ABCD是矩形，90BAD，4ADBC，90BAPDAM，ADMBAP，90ADMDAM，90AMD

，2AOOD，122OMAD，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的O．22223213OBABAO，132BMOBOM…，BM的最小值为132．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最

后结果，每小题填对得4分）13．（4分）计算：4863323．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解答】解：原式238633432323，故答案为：23．第18页（共32页）14．（4

分）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为(2,1)．【分析】直接根据平移的性质可解答．【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，且(1,2)A，(3,2)D，点A是点D向左平移4个单位所得，(2,1)C，(2,1)B．故答案为：(2,1)

．15．（4分）如图，在ABC中，90B，O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若32A，则ADO64．【分析】连接OC，根据圆周角定理求出DOC，根据切线的性质得到OCBC，证明//ABOC，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：连接OC，32A，264

DOCA，BC与O相切于点C，OCBC，90B，180BOCB，//ABOC，第19页（共32页）64ADODOC，故答案为：64．16．（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC，已知窗户的高度2AFm，窗台的高

度1CFm，窗外水平遮阳篷的宽0.8ADm，则CP的长度为4.4m（结果精确到0.1)m．【分析】本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．【解答】解：根据

图形可知//ADCP．//ADCP，30DPC，在RtABD中，30ADB，0.8ADm，3tan0.80.463ABADADBm．0.46ABm，2AFm，1CFm，2.54BCm，在R

tBCP中，30BPC，2.54BCm，2.544.4tantan30BCCPmBPC．答：CP的长度约为4.4m．故答案为：4.4m．17．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第

20页（共32页）若有序数对(,)nm表示第n行，从左到右第m个数，如(3,2)表示6，则表示99的有序数对是(10,18)．【分析】根据第n行的最后一个数是2n，第n行有(21)n个数即可得出答案．【解答】解：第n行的最后一个数是2n，第n行有(21)n

个数，299101在第10行倒数第二个，第10行有：210119个数，99的有序数对是(10,18)．故答案为：(10,18)．18．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将

正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6AB，则DP的长度为2．【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明RtAFPRtADP(HL)，可得PFPD，设PFPDx，则6CPCDPDx，3EPEFFPx，然后

根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接AP，第21页（共32页）四边形ABCD为正方形，6ABBCAD，90BCD，点E是BC的中点，132BECEAB，由翻折可知：AFAB，3EFBE，90AFEB

，ADAF，90AFPD，在RtAFP和RtADP中，APAPAFAD，RtAFPRtADP(HL)，PFPD，设PFPDx，则6CPCDPDx，3EPEFFPx，在RtPEC中，根据勾股定理得：222EPECCP，22

2(3)3(6)xx，解得2x．则DP的长度为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）化简：244(2)24aaaa；（2）

解不等式：5231234xx．【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；第22页（共32页）（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．【解答】解：（1）原式2(2)4(2)(2

)[]224aaaaaa2444(2)(2)24aaaaaa(4)(2)(2)24aaaaaa(2)aa22aa；（2）5231234xx，去分

母，得：244(52)3(31)xx，去括号，得：2420893xx，移项，得：2093824xx，合并同类项，得：2929x，系数化1，得：1x．20．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为

广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：7580x„，B组：8085x„，C组：859

0x„，D组：9095x„，E组：95100x剟，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：（1）本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩，频数分布直方图中m，所抽取学生成绩的中位

数落在组；（2）补全学生成绩频数分布直方图；（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名

男生和一名女生的概率．第23页（共32页）【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可解决问题；（2）求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；（

4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：9624%400（名)，B组的人数为：40015%60（名)，60m，所抽取学生成绩的中位数

是第200个和第201个成绩的平均数，209660176，所抽取学生成绩的中位数落在D组，故答案为：400，60，D；（2）E组的人数为：40020609614480（人)，补全学生成绩频数分布直方图如下：第24页（共32页）（3）1448

030001680400（人)，答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；（4）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为123205．

21．（10分）如图，点A在第一象限，ACx轴，垂足为C，25OA，1tan2A，反比例函数kyx的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．（1）求k值；（2）求OBD的面积．【分析】（1）先根据1tan2A，可得2

ACOC，根据25OA，由此可得A的坐标，由B是OA的中点，可得点B的坐标，从而得k的值；（2）先求点D的坐标，根据面积差可得结论．【解答】解：（1）90ACO，1tan2A，2ACOC，25OA，由勾股定理得：2

22(25)(2)OCOC，2OC，4AC，第25页（共32页）(2,4)A，B是OA的中点，(1,2)B，122k；（2）当2x时，1y，(2,1)D，413AD，OBDOADABDSSS

113231221.5．22．（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．【分析】

设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，利用总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，依题意得：3020600020(120%)15(120%)5100x

yxy，解得：100150xy．答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．23．（12分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DEBE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE

平分CBD，求证：BFAC；（2）找出图中与OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若3OF，2EF，求DE的长度．第26页（共32页）【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得36，从而求证BFAC；（

2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，ODOC，//ABCD，90BCD，234，3590，DEBE，12，又BE平分DBC，16

，36，6590，BFAC；（2）解：与OBF相似的三角形有ECF，BAF，EBC，理由如下：由（1）可得14，BFAC，90AFBBFC，ABFBOF∽，13，EFCBFO

，ECFBOF∽，16，90CFBBCD，第27页（共32页）EBCOBF∽；（3）解：ECFBOF∽，EFCFOFBF，23CFBF，即32CFBF，329OABF①，ABFBOF∽，

OFBFBFAF，2BFOFAF，23(3)BFOA②，联立①②，可得119BF（负值舍去），2119319DEBE．24．（12分）若二次函数2yaxbxc的图象经过点(2,0)A，(0,4)B，其对称轴为直线1x，与x轴的另一交点为C．

（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MNx轴于点N．①若点N在线段OC上，且3MNNC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．第28页（共32页）【分析】（1）利用待定系数法

求出a，b，c即可；（2）①求出直线AB的解析式为24yx，因为A，C关于直线1x对称，推出(4,0)C，设(,0)Nm，则(,24)Mmm，4NCm，根据3MNNC，构建方程求解；②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设(,24)Mtt，则点(,0)Nt，利

用正方形的性质求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．【解答】解：（1）二次函数2yaxbxc的图象经过点(0,4)B，4c，对称轴为直线1x，经过(2,0)A，124240baab，解得121ab

，抛物线的解析式为2142yxx；（2）①如图1中，设直线AB的解析式为ykxn，(2,0)A，(0,4)B，204knn，解得24kn，直线AB的解析式为24yx，

A，C关于直线1x对称，(4,0)C，设(,0)Nm，MNx轴，(,24)Mmm，4NCm，第29页（共32页）3MNNC，243(4)mm，85m，点8(5M，36)5；②如图2中，连

接PQ，MN交于点E．设(,24)Mtt，则点(,0)Nt，四边形MPNQ是正方形，PQMN，NEEP，12NEMN，//PQx轴，(,2)Ett，2NEt，222ONEPONNEttt，(22,2)Ptt，点P在抛物线214

2yxx上，21(22)(22)422ttt，解得112t，22t，点P在第四象限，2t舍去，12t，点M坐标为1(2，5)．第30页（共32页）25．（14分）问题探究（1

）在ABC中，BD，CE分别是ABC与BCA的平分线．①若60A，ABAC，如图1，试证明BCCDBE；②将①中的条件“ABAC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若

四边形ABCD是圆的内接四边形，且2ACBACD，2CADCAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．【分析】（1）①证明ABC是等边三角形，可得结论；②结论成立．如图2中，设BD交CE于点O，在BC

上取一点G，使得BGBE，连接OG．证明()EBOGBOSAS，推出60BOEBOG，再证明()OCDOCGASA，推出CDCG，可得结论；（2）结论：ACADBC．如图

3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．证明满足②条件，利用②中结论解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，第31页（共32页）ABAC，60A，ABC是等边三角形，ABBCAC，BD，CE分别平分ABC，ACB

，点D，E分别是AC，AB的中点，1122BEABBC，1122CDACBC，BECDBC；②解：结论成立．理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BGBE，连接OG

．60A，120ABCACB，BD，CE分别平分ABC，ACB，116022OBCOCBABCACB，18060120BOC，60BOECOD，BE

BG，EBOGBO，BOBO，()EBOGBOSAS，60BOEBOG，第32页（共32页）60CODCOG，COCO，DCOGCO，()OCDOCGASA，CDCG，BECDBGCGBC；

（2）解：结论：ACADBC．理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．四边形ABCD是圆内接四边形，180DABBCD，2ACBACD，2CADCAB，33180BACACD，60BACAC

D，BACEAC，60FACFCA，120AFC，60AFDEFC，DAFFAC，FCAFCE，由②可知ADECAC，ECBC，ADBCAC

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