【文档说明】(新高考)高考物理一轮复习专题5.2《宇宙航行及天体运动四类热点问题》讲义（解析版）.doc，共(17)页，237.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题5.2宇宙航行及天体运动四类热点问题【讲】目录一讲核心素养......................................................................

......................................................................................1二讲必备知识.................................

.........................................................................................................

..................2【知识点一】卫星运行参量的分析.......................................................................................................

...........2【知识点二】宇宙速度的理解与计算..............................................................................................................5三．讲

关键能力.................................................................................................................................................

.........7【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题......................................................7【能力点二】.卫星的变轨和对接问题........................

....................................................................................10四．讲模型思想---双星或多星模型...........

.............................................................................................................13一讲核心素养1.物理观念：万有引力、宇宙速度。

(1)通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。(2)会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。2.科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。(1)理解开普勒行星运动定律和

万有引力定律，并会用来解决相关问题.。(2)掌握双星、多星系统，会解决相关问题、会分析天体的“追及”问题3.科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。会处理人造卫星的变轨和对接问题.知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。二讲必备知识【知识点一】卫星运行参量的分析1．物理量

随轨道半径变化的规律规律GMmr2＝（r＝R地＋h）mv2r→v＝GMr→v∝1rmω2r→ω＝GMr3→ω∝1r3m4π2T2r→T＝4π2r3GM→T∝r3ma→a＝GMr2→a∝1r2越高越慢mg＝GMmR2地（近地时

）→GM＝gR2地2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地

球的球心．3．同步卫星的六个“一定”【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的()A．轨道周长之比为

2∶3B．线速度大小之比为3∶2C．角速度大小之比为22∶33D．向心加速度大小之比为9∶4【答案】C【解析】轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，得v火v地＝r地r火＝23，故B错误；由万有引力

提供向心力有GMmr2＝mω2r，得ω＝GMr3，得ω火ω地＝r地3r火3＝2233，故C正确；由GMmr2＝ma，得a＝GMr2，得a火a地＝r地2r火2＝49，故D错误．【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思

维中的科学推理。【技巧总结】利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧(1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．(2)两组公式GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma

；mg＝GMmR2(g为天体表面处的重力加速度)．(3)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较．【变式训练1】(2020·合肥调研)2018年7月27日，发生了“火星冲日”现象，

火星运行至距离地球最近的位置，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨

道半径为地球的1.5倍，则下列说法正确的是()A．地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3B．地球与火星的公转线速度大小之比为3∶2C．地球与火星的公转周期之比为8∶27D．地球与火星的向心加速度大小之比为27∶8【答案】C【解析】根据GMm

r2＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2＝ma，解得ω＝GMr3，则地球与火星的公转角速度大小之比为364，选项A错误；v＝GMr，则地球与火星的公转线速度大小之比为62，选项B错误；T＝2πr3GM，则地球

与火星的公转周期之比为8∶27，选项C正确；a＝GMr2，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，选项D错误．【变式训练2】(2021·湖北七市联考)人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是()A．卫星离地球越远，

角速度越大B．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等C．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9km/sD．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动【答案】：B【解析】：卫星所受的万有引力提供向心力，则GMmr2＝mv2r＝mω2r，可知r越大，角速度越小，r相等时，

线速度相等，A错误，B正确.7.9km/s是人造地球卫星的最大环绕速度，C错误．因为地球会自转，同步卫星只能在赤道上方的轨道上运动，D错误．【知识点二】宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度的推导方法一：由G

MmR2＝mv21R得v1＝GMR＝7.9×103m/s.方法二：由mg＝mv21R得v1＝gR＝7.9×103m/s.第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πRg≈85min.【例1】(2020·北京卷·5)我国

首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力

加速度大于地球表面的重力加速度【答案】A【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由GMmR2＝mv2R得，v火＝GM火R火＝0.1M地G0.5R地＝55v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由GMmR2＝

mg得，g火＝GM火R火2＝G0.1M地R地2＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。【必备知识】宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆

周运动。(2)7.9km/s<v发<11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2km/s≤v发<16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。【变式训练1】(多选

)(2021·安徽师大附中期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比()行星半径/m质量/k

g公转轨道半径/m地球6.4×1066.0×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍C．火星公转的向

心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍【答案】：AC【解析】：根据第一宇宙速度公式v＝GMR(M指中心天体火星或地球的质量)得v火v地＝M火R地M地R火＝0.45，故A正确，B错误；根据向心加速度公式a＝GMr2(M指中心天体

太阳的质量)得a火a地＝r2地r2火＝1.522.32＝0.43，故C正确，D错误．【变式训练2】(多选)(2021·河南新乡模拟)美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系

外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是()A．该行星的公转角速度比地球大B．该行星的质量约为地球质量的

3.6倍C．该行星第一宇宙速度为7.9km/sD．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可【答案】AB【解析】该行星的公转周期约为37天，而地球的公转周期为365天，根据ω＝2πT可知该行星的公转角速度比地球大，选项A正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力

等于重力列出等式：GMmR2＝mg，解得：g＝GMR2，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.9倍，所以它的质量是地球的3.6倍，故B正确；要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇

宙速度，第一宇宙速度v＝GMR，R为星球半径，M为星球质量，所以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的2倍，而地球的第一宇宙速度为7.9km/s，故该星球的第一宇宙速度为2×7.9km/s＝11.2km/s，故C错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D

错误．三．讲关键能力【能力点一】.会分析近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题三种匀速圆周运动的参量比较近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力来源万有引力万有引力万有引力

的一个分力线速度由GMmr2＝mv2r得由v＝rω得v2＞v3v＝GMr，故v1＞v2v1＞v2＞v3向心加速度由GMmr2＝ma得a＝GMr2，故a1＞a2由a＝ω2r得a2＞a3a1＞a2＞a3轨道半径r2＞r3＝r1角速度由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，故ω1＞ω2同

步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1＞ω2＝ω3【例1】(2021·青海西宁市三校联考)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星．下列关于a、b、c的说法中正确

的是()A．b卫星转动线速度大于7.9km/sB．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞acC．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc<TbD．在b、c中，b的线速度大【答案】D【解析】b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G

MmR2＝mv2R，解得v＝GMR，又GMmR2＝mg，可得v＝gR，与第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝GMr2得b的向心加速度

大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B错误；卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2πr3GM得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝GMr，可知b的线速度比c的线速度大，

故D正确．【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。【技巧总结】研究卫星运行熟悉“三星一物”(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。(2

)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s

。(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。【变式训练1】(2020·浙江1月选考·9)如图所

示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行．a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则()A．a、b的周期比c大B．a、b的向心力一定相等C．a、b的速度大小相等D．a、b的向心加速度比c小【答

案】C【解析】根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma，可知v＝GMr，ω＝GMr3，T＝2πr3GM，a＝GMr2，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越长，因为a、b卫星

的半径相等，且比c小，因此a、b卫星的线速度大小相等，向心加速度比c大，周期小于卫星c的周期，选项C正确，A、D错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B错误．【变式训练2】(多选)如图所示，A表示地球同步卫星，B为

运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()A．vB＞vA＞vCB．ωA＞ωB＞

ωCC．FA＞FB＞FCD．TA＝TC＞TB【答案】AD【解析】A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA＞vC，再根据GMmr2＝mv2r得到v＝GMr，可见vB＞vA，所以三者的线速度

关系为vB＞vA＞vC，选项A正确；由同步卫星的含义可知TA＝TC，再由GMmr2＝m2πT2r可知TA＞TB，因此它们的周期关系为TA＝TC＞TB，由ω＝2πT可知它们的角速度关系为ωB＞ωA＝ωC，选项D正确，B错误；由F＝GMmr2可知FA＜FB＜FC，选项C错误。【

能力点二】.卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次

点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.(2)加速度：因为在

A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、

r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.【例1】.(2021·江南十校联考)据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬

·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星的过程分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q

点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9km/sB．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2km/sC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9km/sD．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度

大于第一宇宙速度7.9km/s【答案】：C【解析】：第一宇宙速度是近地轨道的线速度，根据GMmr2＝mv2r可知v＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地

球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于轨道Ⅰ上

经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误．【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。【技巧总结】航天器变轨问题的“三点”注意(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变

化由v＝GMr判断。(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。【变式训练】(2020·浙江宁波市二模)一着陆器经过多次变轨后登陆火星的

轨迹变化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动．轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS＝2l.除了变轨瞬间，着陆器

在轨道上运行时均处于无动力航行状态．着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v1、v2、v3，下列说法正确的是()A．v1<v2<v3B．着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中速率变大C．着陆器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点的加速度为v223lD．着

陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所用的时间等于着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点所用的时间【答案】B【解析】解析着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要减速，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此v1＞v2＞v3，故A错误；着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中，万有引力做正功，所以速率变

大，故B正确；在轨道Ⅱ上P点，根据牛顿第二定律得F向＝ma＝mv2232l，解得a＝2v223l，故C错误；设着陆器在轨道Ⅱ上周期为TⅡ，在轨道Ⅲ上周期为TⅢ，根据开普勒第三定律得TⅡ＞TⅢ，因为tPS＝12TⅡ，tPQ＝12TⅢ，所以tPS＞tPQ，故

D错误．四．讲模型思想---双星或多星模型1．双星模型(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm

1m2L2＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.2．多星模型(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(

2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个

顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．【例1】双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围

绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且TT0＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求：(1)两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0；(2)星球

C的质量。【答案】(1)2πL32Gm(2)1－k2m4k2【解析】(1)两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：GmmL2＝mr1ω21＝mr2ω21可得：r1＝r2①两星绕连线的中点转动，则有：GmmL2＝m×L2ω21解得ω1＝2

GmL3②所以T0＝2πω1＝2πL32Gm。③(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则GmmL2＋GMmL22＝m·12L·ω22④T＝2πω2＝kT0⑤联立③④⑤式解得M＝1－k2m4k2。【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念和科学

思维。【例2】(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()A．每颗

星做圆周运动的线速度为GmRB．每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3C．每颗星做圆周运动的周期为2πR33GmD．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关【答案】ABC【解析】每颗星受到的合力为F＝2Gm2R2sin60°＝3Gm2R2，轨道半径为r＝33R，由向心力公式F＝ma＝mv

2r＝mω2r＝m4π2rT2，解得a＝3GmR2，v＝GmR，ω＝3GmR3，T＝2πR33Gm，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念和科学思维。【规律总结】解决双星、多星问题的关键点(1)双星或多星的

特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。【变式训练1】(多选)(2021·广东深圳中学质检)

有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是()A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M

2∶M1B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1【答案】BD【解析】双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆

周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度

大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．【变式训练2】(多选)(2021·安徽模拟)如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万

有引力常量为G.下列说法中正确的是()A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为4＋2Gm2L3C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D．若边长L和星体质量m均是

原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变【答案】BD【解析】四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由2Gm2L2＋Gm22L2＝(12＋2)Gm2L2＝mω2·22L，可知ω＝4＋2Gm2L3，故B正确；由(

12＋2)Gm2L2＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的12，故C错误；由(12＋2)Gm2L2＝mv222L可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v＝4＋2Gm4L，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，

星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．