【文档说明】2020届广州市高三理科数学一模模拟卷（答题卡+含答案） 含答案.doc，共(30)页，3.063 MB，由MTyang资料小铺上传

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第1页，共30页绝密★启用前2020届广州市高三一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A.B.C.D.2.若，则A.1B.C.iD.3.若，则A.B.C.1D.4.已知椭

圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A.B.C.D.5.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成

角的余弦值为A.B.C.D.6.已知数列满足：，，且，则数列的前13项和为A.B.C.D.7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有A.360种B.300种C.150种D.125种8.函数的图象

大致为第2页，共30页A.B.C.D.9.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则该抽样可能是系统抽样；该抽样可能是随机抽样：该抽样一定不是分层抽样；本次抽样中每个人被抽

到的概率都是．其中说法正确的为A.B.C.D.10.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的表面积等于A.B.C.D.11.已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是A.B.C.D.12.数列满足，，若不等式对

任何正整数n恒成立，则实数的最小值为A.B.C.D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若向量与垂直，则______．第3页，共30页14.已知实数x，y满足，目标函数的最大值为4，则．15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，

则______．16.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间

；Ⅱ在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，的面积为，求边a的长．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求二面角的余弦值．19.已知函数．求曲线在点处

的切线方程；证明：函数在区间内有且只有一个零点．第4页，共30页20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的长轴长为4．求椭圆C的方程；已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.2019年7

月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远

里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第问中

样本标准差s的近似值为用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏

，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大第5页，共30页本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、、

第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格从k到，若掷出反面，遥控车向前移动两格从k到，直到遥控车移到第49格胜利大本营或第50格失败大本营时，游戏结束．设遥控车移到第n格

的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．22.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是，直线l的参数方程是为参数．若，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求的最大值；若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．第6页

，共30页第7页，共30页第8页，共30页第9页，共30页第10页，共30页绝密★启用前2020届广州市高三理科数学一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的

位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）22.已知集合，集合，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次不等式的求解及指数不等式的求解，同

时考查集合的补集，属于基础题．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得．【解答】解：因为，，则．故选A．23.若，则A.1B.C.iD.【答案】C【解析】【分

析】本题考查复数的代数形式混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则，化简求解即可．【解答】解：，则，故选C．24.若，则第11页，共30页A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三

角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：，．故选A．25.已知椭圆C：的左、右焦点分别

为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，

求出b，即可得出椭圆的方程．第12页，共30页【解答】解：的周长为，且的周长，，，离心率为，，解得，，椭圆C的方程为．故选A．26.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为A.B.C.D.

【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体，线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．取BC中点E，DC中点F，连接DE、BF，则由题意得，取OD中点N，连接MN，则，从而是异面直线BM与A

O所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线BM与AO所成角的余弦值．【解答】解：取BC中点E，DC中点F，连接DE、BF，则由题意得，取OD中点N，连接MN，则，是异面直线BM与AO所成角或所成角的补角，设正四面体ABCD的棱长为2，第13页，共30页，，，，是点A在底面BCD内的射影，

，平面BCD，平面BCD，，，异面直线BM与AO所成角的余弦值为．故选B．27.已知数列满足：，，且，则数列的前13项和为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的递推式和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由

条件可得，可得数列为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式解方程可得d，求得通项公式，则，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：，可得，可得数列为等差数列，设公差为d，由，，即为，解得，则．第14页，共30页，即有数列的前13项和为．故选B．28.安排5名学生去3个社

区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有A.360种B.300种C.150种D.125种【答案】C【解析】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则

一共有种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社区，有种情况，则有种不同的安排方式；故选：C．分2步分析：先将5名大学生分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个城市，由分步计数原理计算可得答案；本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平

均分组，要用对公式．29.函数的图象大致为第15页，共30页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属

于中档题．【解答】解：函数，当时，是函数的一个零点，所以排除A，B；当时，，，函数，函数的图象在x轴下方；排除D；故选C．30.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男

生和3名女生，则该抽样可能是系统抽样；该抽样可能是随机抽样：该抽样一定不是分层抽样；本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．该抽样可以是系统抽样；因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号

，因此该抽样可能是简单的随机抽样；若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假．【解答】解：总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生，女生；第16页，共30

页第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此正确．因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可

能是简单的随机抽样，故正确；若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故正确；该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故前者小于后者．因此不正确．故选A．31.已知S

，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的表面积等于A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，以及外接球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和

推理论证能力，属于中档题．先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的表面积公式求解即可．【解答】解：如图所示：取SC的中点O，连接AO，BO，因为平面ABC，，，，，在中，，又，，，又

，第17页，共30页，在中，有，又，，，，，即球O的半径为1，球O的表面积为．故选A．32.已知函数若存在，使得，则实数b的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应

用以及函数恒成立问题，是一道中档题．求出，问题转化为在恒成立，令，，求出b的范围即可．【解答】解：，，若存在，使得，则若存在，使得，即存在，使得成立，令，，则，在递增，第18页，共30页，故，故选A．33.数列满足，，若不等式对任何

正整数n恒成立，则实数的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．先求出

，进而变形可知，裂项相加、放缩即得结论．【解答】解：，设，则，则，又，，，，，第19页，共30页由此可知：，，，又不等式对任何正整数n恒成立，实数的最小值为，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）34.已知向量，，若向量与垂直，

则______．【答案】7【解析】【分析】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：向量，，，第20页，共30页向量与垂直

，，解得．故答案为7．35.已知实数x，y满足，目标函数的最大值为4，则．【答案】【解析】【分析】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．由题意，不等式组，表示一个三角形区域包含边界，求出三角形的三个顶点的坐标，目标

函数的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组，表示一个三角形区域包含边界三角形的三个顶点的坐标分别为，，，目标函数的几何意义是直线的纵截距，作直线的平行线，由图可知在点处取得最大值4．，解得第21页，共30页故答案为．

36.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．由已知当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：当时，，，又函数是定义在R上的奇函数，，故答案为12．37.已知，分别

是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得，是基础，利用、、之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、

解决问题的能力，属于中档题．依题意，双曲线左支上存在一点P使得，，可求得，，，再利用、、之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：为双曲线左支上一点，，，又，由可得，，．，即，第22页，共3

0页，又，，由可得．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）38.已知函数．Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，的面积为，求边a的长．【答案】解：Ⅰ函数，可得，所以的最小正周期；令

，解得，所以的单调递减区间是；Ⅱ，，，又可得第23页，共30页即，，的面积为，即，，，．【解析】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．Ⅰ运用两角和的正弦公式和

二倍角的余弦公式，化简函数，再由正弦函数的周期公式和单调减区间，解不等式可得减区间；Ⅱ由A的范围，结合正弦函数值，可得A，再由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值．39.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，，，E，F分别是BC，P

C的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求二面角的余弦值．【答案】Ⅰ证明：底面ABCD为菱形，，三角形ABC为正三角形，是BC的中点，，又，，又平面ABCD，平面ABCD，，而PA、AD为平面PAD内

两条相交直线，平面PAD，平面PAD，；Ⅱ解：过A作于H，连接HE，由Ⅰ得，第24页，共30页AH、HE为平面AHE内两条相交直线，平面AHE，又EH在平面AHE内，，此时线段EH长最小，即，，，则．以

A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，0，，2，，1，，0，，，．0，，，设平面AEF的法向量，由，取，可得；平面ABCD，平面ABCD，，又，PA、AC为平面AFC内两条相交直线，平面AFC，故

为平面AFC的一个法向量，．即二面角的余弦值为．【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．Ⅰ连接AC，证明，，推出平面ABCD，即可证明；Ⅱ过A作于H，连接HE，

由Ⅰ得平面PAD，可得，即，，以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF与平面AFC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．第25页，共30页40.已知函数．求曲线在点处的切线方程；证明：函数在区间内有且只有一个零点．【答案】解

：当时，，由，得，故斜率，故切线方程是：；由题意可知，函数的定义域是，由知，，记，故，易知时，，故在区间递增，故，，故在区间内必存在，使得，故当时，，即，故递减，当时，，即，故递增，故当时，有最小值且为，，，

而，故在区间内存在唯一零点，故函数在区间内有且只有1个零点．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分类讨论思想，是一道综合题．求出函数的导数，求出直线的斜率，求出切线方程即可；求出函数的定义域，记，求出函数的

导数，根据函数的单调性证明即可．41.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的长轴长为4．求椭圆C的方程；已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的

值；若不存在，请说明理由．第26页，共30页【答案】解：设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：解得所以，故所求椭圆C的方程为．存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点，，将直线l的

方程代入，并整理，得，易知，则，，因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即．又，于是，解得，所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【解析】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件

，属于中档题．设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：，解得a，c的值，即可求出b的值，从而可得椭圆C的方程；设点，，将直线l的方程代入，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．第27页，共30页42.2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业

的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：估计这10

0辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第问中样本标准差s的近似值为用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车

，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则

可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格从k到，若掷出反面，遥控车向前移动两格从k到，直到

遥控车移到第49格胜利大本营或第50格失败大本营时，游戏结束．设第28页，共30页遥控车移到第n格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【答案】解：千米；因为X服从正态分布，所以；遥控车开始在第0格为必然事件，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格

，其概率为，即．遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为所以．所以．所以当时，数列是首项为，公比为的等比数列．所以，，，，．以上各式相加，得，所

以．所以获胜的概率为，失败的概率．第29页，共30页所以．所以获胜的概率大．所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【解析】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布，等比数列证明及应用等知识，阅读量大，审清

题意是关键，属于中档题．将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可；因为X服从正态分布，根据概率公式求解即可；遥控车开始在第0格为必然事件，分析得出，从而即可证明是等比数列，判断，即可得出此方案能够成

功吸引顾客购买该款新能源汽车．43.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是，直线l的参数方程是为参数．若，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求的最大值；若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．【答案】解：直线l的参数方程是，时，化为普通方程：．令，解

得，可得．圆C的极坐标是，即，可得直角坐标方程：，即．，的最大值为．圆C的方程为：，直线l的方程为：，圆心C到直线l的距离．，解得．【解析】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦

长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．直线l的参数方程是，时，化为普通方程：可得第30页，共30页圆C的极坐标是，即，利用互化公式可得直角坐标方程，求出，可得的最大值为．圆C的方程为：，直线l的方程为：，利用点到直线的距离公式与弦长公式

即可得出．