【文档说明】2022年中考数学一轮复习习题精选《新定义型问题》(含答案).doc，共(43)页，2.542 MB，由MTyang资料小铺上传

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一、选择题1、(昌平区初一第一学期期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+a.如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为A．10B．-15C.-16D．-20答案：D二、填空题3、（西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定

义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有2abab；当a＞b时，都有2abab．那么，2△6=，2()3△(3)=．答案：24，-64．（海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，ABBC

，M是弧ABC的中点，MFAB于F，则AFFBBC．如图2，△ABC中，60ABC，8AB，6BC，D是AB上一点，1BD，作DEAB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则EAC=________°．答案605、(交大附中初一第一学

期期末)如图,在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．图2图1DE

CBAFMCBA三、解答题6、（平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：ac=badbcd．例如：1214-23=-2.34××（1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242xx时求x的值．答案（1）5624=20-12=8„„„„„„„„„

„„„„„„„„„„„„„„„„„„2（2）由5212242xx得5224221)()(xx„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4解得，x=1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„57、（海淀区七年级第一学期期末）对

于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，b）★（c，d）=bc－ad.例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=;（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1

，x+1）=7，则x=;（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．答案.解：（1）﹣5……………………..２分（2）1……………………..４分（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=

5﹢2k∴（2k﹢3）x=5∴523xk∵k是整数∴2k+3=±1或±5∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=()1aab

，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)⊙(5)＝3(35)123．（1）求(2)⊙132的值；（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕

3＝20，写出你定义的运算：m⊕n＝（用含m，n的式子表示）．答案解：（1）(2)⊙1132(23)1224.（2）答案不唯一，例如：mn(1)mn.9．（石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A，B，给出如下

定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,3)，则点A，B的“确定圆”的面积为_

________；（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线yxb上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9，求点B的坐标；（3）已知点A在以(0)Pm，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线333yx上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面

积都不小于9，直接写出m的取值范围．解：（1）25；„„„„„„„2分（2）∵直线yxb上只存在一个点B，使得点,AB的“确定圆”的面积为9，∴⊙A的半径3AB且直线yxb与⊙A相切于点B，如图，∴ABCD，45DCA°．①当0b时，则点B

在第二象限．过点B作BEx轴于点E，∵在RtBEA中，45BAE°，3AB，∴322BEAE．AByxl'lECDBB'3A∴323222B（，）．②当0b时，则点'B在第四象限．同理可得3232'22B（，）．综上所述，点

B的坐标为323222（，）或323222（，）．„„„„„„„6分（3）5m≤或11m≥．10．（延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点1(Ax，1)y与2(Bx，2)y，如果满足120xx，120yy

，其中12xx，则称点A与点B互为反等点．已知：点C(3，4)（1）下列各点中，与点C互为反等点；D(3，4)，E（3，4），F（3，4）（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P

，Q互为反等点，求点P的横坐标px的取值范围；（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．解：(1)F……1分(2)-3≤px≤3且px≠0……4分(3)4<r≤5……7分11.（市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy中的点P和

线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于-1-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-1y123456x654321O或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=3时，①在点P1（1，1），P2（0，0

），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN5，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l

，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．解：（1）①线段AB的伴随点是:23,PP.„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分②如图1，当直线y=2x+b经过点（3，1）时，b=5，此时b取得最大值.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分如图2，当直线y=2x+b经过

点（1，1）时，b=3，此时b取得最小值.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分∴b的取值范围是3≤b≤5.„„„„„„„„„„„„„„„6分（2）t的取值范围是12.2t„„„„„„„„„„„„„„

8分12．（丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形1W，2W给出如下定义：点P为图形1W上一点，点Q为图形2W上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形1W，2W的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为图1图22,221

21yyxx．已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．（1）连接BC，在点D(12，0)，E(0，1)，F(0，12)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________；（2

）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y=-x+1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y=2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范

围．解：（1）点A和线段BC的“中立点”的是点D，点F；………2分（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、半径为1的圆上运动.因为点K在直线y=-x+1上，设点K的坐标为（x，-x+1），则x2+（-x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.所以点K的坐标为

（0，1）或（1，0）.………5分（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2.………8分544112

31213xOy6876543276543265813．（海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和C，给出如下定义：若C上存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点'P在C上，则称P为C的反射点．下图为C的反射点P的示意图．（1）已知点A的坐标为(1,0)，A

的半径为2，①在点(0,0)O，(1,2)M，(0,3)N中，A的反射点是____________；②点P在直线yx上，若P为A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是C的反射点，直接写出圆

心C的横坐标x的取值范围．解（1）①A的反射点是M，N．„„„„„„1分②设直线yx与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作⊥DHx轴于点H，如图．可求得点D的横坐标为322．同理可求得点E，F，G

的横坐标分别为22，22，322．点P是A的反射点，则A上存在一点T，使点P关于直线OT的对称点'P在A上，则'OPOP.∵1'3≤≤OP，∴13≤≤OP．反之，若13≤≤OP，A上存在点Q，使得OPOQ，故线段PQ的垂直平分线经过原点，且与A相交．因此点P是A的反射点．yxPOCT

P’∴点P的横坐标x的取值范围是32222≤≤x，或23222≤≤x．„„„„„„4分（2）圆心C的横坐标x的取值范围是44≤≤x．„„„„„„7分14、．（西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给

出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设AQBQkCQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQBQ，2AQkCQ（或2BQCQ）．已知在平面直角坐标系xOy中，(

1,0)Q，(1,0)C，⊙C的半径为r．（1）如图1，当2r时，①若1(0,1)A是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．②2(12,0)A是否为⊙C的“2相关依附点”．答：_____

_____（填“是”或“否”）．（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，①当1r，直线QM与⊙C相切时，求k的值．②当3k时，求r的取值范围．（3）若存在r的值使得直线3yxb与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．备用图CyxOQ图1CyxOA1

A2Q解：（1）①2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分②是．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分（2）①如图9，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同

理），连接CM，则QM⊥CM．∵(1,0)Q，(1,0)C，r=1，∴2CQ，1CM．∴3MQ．此时23MQkCQ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分②如图10，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN＜QM，点N，M在x轴下方时同

理）．作CD⊥QM于点D，则MD=ND．∴()222MQNQMNNQNQNDNQDQ．∵2CQ，∴2MQNQDQkDQCQCQ．∴当k=3时，3DQ．此时221CDCQDQ．图9图10yx–1–2–3–4–512

345–1–2–3–4–512345O假设⊙C经过点Q，此时r=2．∵点Q在⊙C外，∴r的取值范围是1≤r＜2．„„„„„„„„„„„„„„„„„5分（3）3＜b＜33．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分15.（怀柔区一模）P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A

，B两点，则给出如下定义：若0＜PAPB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．(1)当⊙O的半径为1时．①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；②点P在直线y=x+b上

，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是．．．⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．解：(1

)①P1（2,0）、P2（0,2）…………………………………………………………………2分②如图，在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b的距离m≤2.直线y=x+b1交y轴于点E，过O作OH⊥直线y=x+b1于点H.因为OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=22.

可得b1=22.同理可得b2=-22.∴b的取值范围是:22≤b≤22.…………………………………………………6分(2)x>3或3x.…………………………………………………………………………8分16.（平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy中，

点M的坐标为11,xy，点N的坐标为22,xy，且12xx，12yy，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A（2,0），B（0,23），则以AB为边的

“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．解：（1）60

；······························································································1（2）∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5

的夹角是45°．yxEHy=x+b2y=x+b1–1–2–3–41234–1–2–3–41234OD过点C作CE⊥DE于E．∴D（4,5）或2,5．········································3∴直线CD的表达式为1yx或3

yx．········5（3）15m或51m．····························································717．（顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P和两条曲线1L、2L

给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与1L、2L交于1Q、2Q，总有12PQPQ是定值，我们称曲线1L与2L“曲似”，定值12PQPQ为“曲似比”，点P为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r、2r（都是常数）的两个同心圆1C、2C，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点

M、N，因为总有12''rOMONr是定值，所以同心圆1C与2C曲似，曲似比为12rr，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx与抛物线2yx、212yx分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由

；（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求图2C2C1NMO'图1Q2Q1L2L1P121086422468102015105510DCBAO出k的值；若不存在，说明理由；（

3）在（1）、（2）的条件下，若将“212yx”改为“21yxm”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．解：（1）是．过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C．依题意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

因此D（k,0），C（2k,0）．∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴AD∥BC．∴122OAODkOBOCk．∴两抛物线曲似，曲似比是12．„„„„3分（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切．则OA=OC=

2k，又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+（k2）2=（2k）2．∴3k．（舍负）由对称性可取3k．综上，3k．„„„„„„„„„„6分（3）m的取值范围是m＞1，k与m之间的关系式为k2=m2-1．„„„8分18、（年昌平区第一学期

期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为1d，到y轴的距离为2d，若12dd，则称1d为点P的最大距离；若12dd，则称2d为点P的最大距离.例如：点P（3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P的最大距离为4.

（1）①点A（2，5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线2yx上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在．．点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r

的取值范围.xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O解：（1）①5„„„„„„„„„1分②5„„„„„„„„„3分（2）∵点C的最大距离为5，∴当5x时，5y，或者当5y时，5x.„„„

„„„4分分别把5x，5y代入得：当5x时，7y，当5x时，3y，当5y时，7x，当5y时，3x，∴点C（5，3）或（3，5）.„„„„„„„„„5分（3）552r.„„„„„„„„„„„„„7分19、（朝阳区第一学期期末检测）在平面直

角坐标系xOy中，点A（0,6），点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.（1）若点B（4,0），点C的横坐标为2

，则点B,C的“X矩形”的面积为.（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围.备用图答案：（1）6；„„„„„„„„„

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分（2）①B（6,0）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分N（1,5）或N（5,1）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分xy5；„„„„„„„„„„„„„„„„„

„„„„„„„„„„„„5分②23230r或229r.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分20、（东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，

N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1,0），P2（3,1），P3（72,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦点是________；yx6715325432-1-16O14xyBA715325432-1-16O14PQ（2）若点P（4,3

）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（2,2），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横

坐标Ax的取值范围．答案：解：（1）P2，P3；………………2分（2）由勾股定理可知，OP=5，以点O为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP于点Q，R，可知PQ=PR=1，此时P是⊙O的和睦点；若⊙O半径

r满足0<r<4时，点OP-r>1，此时，P不是⊙O的和睦点；若⊙O半径r满r>6时，r-OP>1，此时，P也不是⊙O的和睦点；若⊙O半径r满足4<r<6时，设⊙O与射线OP交于点T即PT<1时，可在⊙O上找一点S，使PS=1，此时P是

⊙O的和睦点；综上所述，46r≤≤．………………4分（3）523Ax≤≤，或211Ax≤≤．………………8分21、（丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C

外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”.（1）当⊙O的半径为1时，①在点P1（12，32），P2（0，－2），P3（5，0）中，⊙O的“离心点”是；②点P（m，n）在直线3yx上，且点P是⊙O的“离心点”，

求点P横坐标m的取值范围；（2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线121xy与x轴、y轴分别交于点A，B.如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.解：（1）①2P，3P；……2分②设P（m,－m＋3），则5322mm.

…3分解得11m，22m.……4分故1≤m≤2.……6分（2）圆心C纵坐标Cy的取值范围为：521≤Cy＜51或3＜Cy≤4.……8分22、（年海淀区第一学期期末）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线．．AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且12PAQ

A，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足1tan2B

AO，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线3yxb与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．xyA–1–2–312345–1–2–3–4–5–612345OxyA–1–2

–312345–1–2–3–4–5–612345O解：（1）（2，0）(答案不唯一).„„„„„„1分（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得1tan2OAM，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得MN，则由题意，线段M

N和MN上的点是满足条件的点B.作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴1tantan2HMCOAM.∴12MHHC

HAMH.设MHy，则2AHy，12CHy，∴522ACAHCHy，解得45y，即点M的纵坐标为45.又由2ANAM，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为85，yxCHN'M'NMAO故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：4855t.„

„„„„3分由对称性，在线段MN上，点B的纵坐标t满足：8455t.„„„„„4分∴点B的纵坐标t的取值范围是8455t或4855t.（3）431b或143b.„„„

„„„7分23、（怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(21，1)、N(1，21)中，是“关系点”的；(2)⊙O的半径为1

，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个．．．．．．“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．解：(1)A、M.……………………………………………………………………………………

2分(2)过点P作PG⊥x轴于点G…………………………………………………………………3分设P（x，2x）yx–1–2–3–4–5–61234567–1–2–3–41234567891011Oxy–11

–11GPO∵OG2+PG2=OP2………………………………………………………………………………4分∴x2+4x2=1∴5x2=1∴x2=51∴x=55∴P(55，552)或P(55，552)……………

………………………………………5分(3)r=556或4117r…………………………………………………………7分24、（门头沟区第一学期期末调研试卷）以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆

动形成了射线1PN，2PN，我们规定：12NPN为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含1PN，2PN）.在平面直角坐标系xOy中，点(2,3)P.（1）当点P的摇摆角为60时，请

判断(0,0)O、(1,2)A、(2,1)B、(23,0)C属于点P的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D，点(5,0)E的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点

P的摇摆角至少为_________°；（3）⊙W的圆心坐标为(,0)a，半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60时的摇摆区域内，求a的取值范围．备用图解：（1）点B，点C；„„„„„„„„„„„„„„„„2分（2）90°„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分（3）当⊙W运动到

摇摆角的内部，与PF左边的射线相切时如图28-1∵点(2,3)P的摇摆角为60°∴30KPF，3PF在Rt△PFK中，tantan30KFKPFPF在可求得3KF∵30KPF，∴60PKF

xyOxyFKQPOW在Rt△PFK中，sinsin60QWQKFKW，可求得233KW∴212332333OWOFKFKW当⊙W运动到摇摆角的内部，与PF右边的射线相切时如图28-2同理可求得1=2+33OW∴11232+333a≤≤25、

（密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q,使得QP、之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点.（1）当O的半径为1时，①点11(,0)2P,2(1,3)P,3(0,3)P中，O的关联点有_____

________________.②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上.若P是O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围.（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范

围.xyK'Q'FPOW-1-2-3-4-5xy12345-5-4-3-2-154321O-1-2-3-4-5xy12345-5-4-3-2-154321O备用图备用图答案：（1）12PP、„„„2分（2）如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交

于12,PP两点.线段12PP上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点.故此33x.P2P1yx-5-4-3-154321-5-4-3-2-15432-2OO1„„„„„„„„„„„

„„„„„„„„„„„6分（3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点.正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，22

1为半径的圆.综上所述，2213r.………………………..8分26、（平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换

点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所

在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）；.............................................................................2（2）①连结MN，∵OM=O

N=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．过O作OA⊥MN于点A，∴点M,N关于直线OA对称．..........................................................3由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上．..

...............................4∴圆心P所在直线的表达式为y=x．.................................................5②当MN为⊙P直径时，由等腰直

角三角形性质，可知m－n=52；.....6当点M,N重合时，即点M,N横纵坐标相等，所以m－n=0；..................7∴m－n的取值范围是0＜m－n≤52．.......................

.............................827、（石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为),(11yx，点Q的坐标为),(22yx，且21xx，21yy，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则

称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．．．．xyQPO（1）已知点A的坐标为)1,0(，点B的坐标为)0,3(，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C

的坐标为)3,0(，点D在直线34y上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为2，点N在双曲线xy3上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标Nx的取值范围．解：（1）120º；…………

…………………………………………………2分（2）∵C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x轴平行，∴直线CD与x轴成60°角，与y轴成30°角，通过解直角三角形可得D的坐标为)343(，或)343(，，进一步得直线CD的表达式为33xy或33x

y.…………………………………………5分（3）31Nx或13Nx.……………………8分28、（通州区第一学期期末）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为Pd.特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0.当⊙O的半径为2时

：（1）若点0,21C，4,3D，则Cd_________，Dd_________；（2）若在直线22xy上存在点P，使得2Pd，求出点P的横坐标；（3）直线033bbxy与x轴，

y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得32Pd，请你直接写出b的取值范围.答案：29、（西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(2,2)A，(2,2)B．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q落在△ABP的内部

（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点(4,1)P．①在1(1,1)Q，2(1,1)Q两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________；②若点M在直线1yx上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M

的横坐标Mx的取值范围；（2）已知点(3,3)C，⊙C的半径为r，点(4,0)D，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．答案：30、（昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值

与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A(2,0)，点B(1,1)，点C(1,2)，则A、B、C三点的“横长”a=|1(2)|=3，A、B、C三点的BC–1–2–3–41234–1–2–3–41234AOx

y“纵长”b=|1(2)|=3.因为a=b，所以A、B、C三点为正方点.（1）在点R(3，5)，S(3，2)，T(4，3)中，与点A、B为正方点的是；（2）点P(0，t)为y轴上一动点，若A

，B，P三点为正方点，t的值为；（3）已知点D(1，0).①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l：12yxm上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围．（备用图）解：（1）点R„„„

„„„„„„1分（2）−2或3„„„„„„„„„3分（3）①画出如图所示的图像„„„„„„„„„5分②52m或2m„„„„„„„„„7分yxDOA–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345yxDOA–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345yxDO

A–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–51234531、（朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使得点P到直线m的距离等于，则称P为直线m的平行点．（1）当直线m的表达式为y=x时，①在点

P1（1，1），P2（0，2），P3（22，22）中，直线m的平行点是；②⊙O的半径为10，点Q在⊙O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标.（2）点A的坐标为（n，0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线xy3的平行点，直接写出n的取值范围．答案：（

1）①P2，P3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分②解：由题意可知，直线m的所有平行点组成平行于直线m，且到直线m的距离为1的直线.设该直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.如图1，当点B在原点上方时，作OH⊥AB于

点H，可知OH=1.由直线m的表达式为y=x，可知∠OAB=∠OBA=45°.所以OB=2.直线AB与⊙O的交点即为满足条件的点Q.连接OQ1，作Q1N⊥y轴于点N，可知OQ1=10.在Rt△OHQ1中，可求HQ1=3.所以BQ1=2.在Rt△BHQ1中，可

求NQ1=NB=2.所以ON=22.所以点Q1的坐标为（2，22）.同理可求点Q2的坐标为（22，2）.„„„„„„„„„„„4分如图2，当点B在原点下方时，可求点Q3的坐标为（22，2）点Q4的坐标为（

2，22）.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分综上所述，点Q的坐标为（2，22），（22，2），（22，2），（2，22）.（2）334≤n≤334.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

„„„8分32、（东城区二模）研究发现，抛物线214yx上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：1y的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线214yx上任意一点，PH⊥l于点H，则PHPF.基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距

离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线214yx的关联距离；当24d≤≤时，称点M为抛物线214yx的关联点.（1）在点1(20)M，，2(12)M，，3(45)M，，4(04)M，中，抛物线214yx的关联点是______；（2）如图2，在矩形ABCD中

，点(1)At，，点(13)At，C(t.①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线214yx的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线214yx的关联点，则t的取值范围是__________.(1)12MM，；-------------------------

----------------------------------------2分（2）①当4t时，41A，，51B，，53C，，43D，，此时矩形ABCD上的所有点都在抛物线214yx的下方，∴.dMF∴.AFdCF≤≤∵=4=29AFCF，，∴29.d4≤≤------

----------------------------------------------------------------------------5分②331.t-2≤≤2-----------------------------------------------

-------------------------8分33、（房山区二模）已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.（1）已知⊙O的半径

为1，在点E（1，1），F（－12，32），M（0，－1）中，⊙O的“关联点”为；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为5，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线443y

x与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.解：（1）①F，M.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2′（注：每正确1个得1分）（2）如图1，过点Q作Q

H⊥x轴于H.∵PH=1，QH=n，PQ=5∴由勾股定理得，PH2+QH2=PQ2即22215n解得，2n或－2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4′（3）由443yx，知A（3，0），B（0，4）∴可得AB=5I.如图2（1），当⊙D

与线段AB相切于点T时，连接DT.则DT⊥AB，∠DTB=90°∵OADTsinOBAABBD∴可得DT=DH1=65∴165m„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5′II.如图2（2）,当⊙D过点A时，连接AD.由勾股定理得DA=OD2+OA2=DH2=

13„„„„„„„„6′综合I，II可得：6135m-≤≤-或6135m≤≤„„„„„„„„„„„„8′yxT图21()DBAOH1yx图22()DBAOH234、（丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点11,yxP与22yxQ，之间的“直距

”定义为：2121yyxxDPQ.例如：点M（1，2），点N（3，5），则132(5)5MND.已知点A(1，0)、点B(-1，4).（1）则_______AOD，_______BOD；（2）如果直线AB上存

在点C，使得COD为2，请你求出点C的坐标；（3）如果⊙B的半径为3，点E为⊙B上一点，请你直接写出EOD的取值范围.答案.（1）1AOD，5BOD；………………2分（2）如图：解法1：由点A和点B坐标可得，直线AB的解析式为y=-2x+2.设点C的坐标为（x，-2x+2），则2

22xx，则点C的坐标为（0，2）或42(,)33.解法2：由点A和点B坐标可得，直线AB的解析式为y=-2x+2.点C与点O之间的“直距COD”为2的运动轨迹为以点O为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C的坐标为（

x，-2x+2），则利用直线解析式可求得，点C的坐标为（0，2）或42(,)33.………………5分54411231213xOy68765432765432658（3）EOD的取值范围为422532EOD………………7分35、（海

淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)ab，2(1,)ab，21bbk都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2yx，当x取值a和1a时，函数值分别为

12ba，21ba，故211bbk，因此函数2yx是限减函数，它的限减系数为1．（1）写出函数21yx的限减系数；（2）0m，已知1yx（1,0xmx）是限减函数，且限减系数4k，求m的取值范围．（

3）已知函数2yx的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数2yx的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k，直接写出P点横坐标n的取值范围．答案

28．解：（1）函数21yx的限减系数是2；（2）若1m，则10m，（1m，11m）和（m，1m）是函数图象上两点，11101(1)mmmm，与函数的限减系数4k不符，∴1m．若102m，（1t，11t）和（t，1t）是函数图象上横坐标之差为

1的任意两点，则0tm，1111(1)tttt，∵(1)0tt，且2211111(1)()()24244tttm，∴1141tt，与函数的限减系数4k不符.∴12m．若112m，（1t，11t）和（t，1t）是函数图象上横坐标之差为

1的任意两点，则0tm，1111(1)tttt，∵(1)0tt，且2111(1)()244ttt，∴11141(1)tttt，当12t时，等号成立，故函数的限减系数4k．∴m的取值范围是112m．（3）11-n．36．（市

东城区初二期末）定义：任意两个数,ab，按规则cabab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.（1）若2,1,ab直接写出,ab的“如意数”c；（2）如果4,ambm,求,ab的“如意数”c，并证明“如意数”0c

（3）已知2=1(0)axx，且,ab的“如意数”3231,cxx，则b(用含x的式子表示).解：（1）221.2c分2224,(4)()(4)()44444(m2)05ambmcmmmmmmcmmc（2）分分

26bx（3）分37.（市平谷区初二期末）对于实数a，我们规定：用符号a表示不大于a的最大整数，称a为a的根整数，例如：39，310.(1)仿照以上方法计算：4_______;26__

______.（2）若1x，写出满足题意的x的整数值______________.如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次13310，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结

果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________.解：(1)2,5(2)1,2,3(3)3(4)25538.（市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不

可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.（1）下列分式:①211xx；②222abab；③22xyxy；④222()abab.其中是“和谐分式”是(填写序号即可)；（2）若a为正整数，且214xxax为“和

谐分式”，请写出a的值;（3）在化简22344aababbb时，小东和小强分别进行了如下三步变形:小东：22344=aaabbbb原式223244aaabbb222323244abaabbabbb小强

：22344=aaabbbb原式22244aababb2244aaababb显然，小强利用了其中的和谐分式,第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简.解：（1）②………………1分（2）4，5………………3分（3）小强通分时，

利用和谐分式找到了最简公分母.………………4分原式222444aaababb24ababb4aabb24aabb„„„„„„5分39．（市西城区八年级期末附加题）我们把正n边形（3n）的各

边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为na．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且3a=12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．（1）如图2，在5×5的正方形

网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；（2）已知3a=12，4a=20，5a=30，则图4中6a=__________，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中na=_______________；（用含n的式子表示）（3）已知311134a，41

1145a，511156a，„„，且345111197300naaaa，则n=________．解：（1）如图所示；„„„„„„„„„„„„„„„2分（2）42，(1)nn；„„„„„„„„„„„„„„4分图

1图2图3图4（3）99．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分40.（西城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点(,)Qxy（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比yx称为点Q的“理想值”，记作QL.如(1,2)Q的“理想值”221QL.（1

）①若点(1,)Qa在直线4yx上，则点Q的“理想值”QL等于_________；②如图，(3,1)C，⊙C的半径为1.若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”QL的取值范围是.（2）点D在直线3+33yx上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有0≤LQ≤3，求点D的横坐标Dx的取值范围；（

3）(2,)Mm（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤LQ≤22时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）解：（1）①．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

„„1分②0≤QL≤．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分（2）设直线3+33yx与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得(33,0)A，(0,3)B．∴33OA，3OB，30

OAB．由0≤QL≤，作直线3yx．①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心1D满足题意，其横坐标取到最大值．作11DEx轴于点1E，可得11DE∥OB，111DEAEBOAO．∵⊙D的半径为1，∴111DE

．∴13AE，1123OEOAAE．∴123Dx．②如图14，当⊙D与直线3yx相切时，相应的圆心2D满足题意，其横坐标取到最小值．作22DEx轴于点2E，则22DE⊥OA．设直线3yx与直线3+33yx的交点为F．可得

60AOF，OF⊥AB．则39cos3322AFOAOAF．∵⊙D的半径为1，图13图14∴21DF．∴2272ADAFDF．∴22cosAEADOAF7373224，22534OEOAAE．∴2534Dx．由①

②可得，Dx的取值范围是534≤Dx≤23．„„„„„„„„„„„„„„„„5分（3）画图见图15．2．„„„„„„„„„„„„„„„„„7分图15