【文档说明】2022年中考数学总复习第22讲《圆的基本性质》讲解(含答案) .doc，共(11)页，287.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第22讲圆的基本性质1．圆的有关概念考试内容考试要求圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．b定义2：圆是到定点的距离定长的所有点组成的图形．弦连结圆上任意两

点的叫做弦．直径直径是经过圆心的，是圆内最的弦．弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.a等圆能够重合的两个圆叫做

等圆.同心圆圆心相同的圆叫做同心圆．2.圆的对称性考试内容考试要求圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线．c圆是中心对称图形，对称中心为____________________.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果

两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．3.圆周角考试内容考试要求圆周角的顶点在圆上，并且都和圆相交的角叫做圆周角．b定义圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．c推论1同弧或等弧所对的圆周角．推论2半圆(或直径)所对的圆周

角是；90°的圆周角所对的弦是．推论3圆内接四边形的对角．4.点与圆的位置关系考试内容考试要求位置关系点在圆内点在圆上点在圆外b数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)_____________

__________________________________考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．

如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．c基本方法辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．1．(·绍兴)如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，AB︵＝BC︵，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是()A．6

0°B．45°C．35°D．30°2．(·宁波)如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为()A．15°B．18°C．20°D．28°3．(·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角

顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为____________________．第3题图第4题图4．(·湖州)如图，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则AD︵的度数是____________________度．【

问题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE是直径．(1)观察图形，你能得到哪些信息？(2)若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC＝______，AE︵的度数为____；(3)若AC＝6，AO＝5，则AE＝________．【归纳】通过开放式

问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．类型一圆的有关概念例1下列语句中，正确的是__________________．①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；

⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；⑥三个点确定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是1.5cm或7.5cm；⑨⊙A的半径为6，圆心A(3，5)，则坐标原点O在⊙A内．【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误

，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．1．(1)A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是()A．AB>0B．0<AB<5C．0<AB<10D．0<AB≤10(2)下列说法中，正确的是()A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B．相等

圆周角所对弧相等C．正多边形一定是轴对称图形D．三角形的外心到三角形各边的距离相等(3)(·河北模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆

内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是____________________．类型二圆的内接多边形例2(·陕西模拟)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠

E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．2．(1

)(·杭州)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝()A．20°B．30°C．70°D．110°(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A．45°B．50°C．60°D

．75°(3)(·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝____________________.类型三圆心角与圆周角的关系例3(1)如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关

系①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正确的是()A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③(2)(·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；②求证：∠1

＝∠2.【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等

于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．3．(1)(·衢州模拟)如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于____________________．

(2)(·巴中模拟)如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是____________________．(3)(·潍坊模拟)如图，半径为5的⊙A中，弦B

C，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于____________________．类型四圆的综合运用例4(·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△A

BP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．4．(·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C

＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．【探索研究题】(·杭州)如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，

点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：α30°40°50°60°β120°130°140°1

50°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样

要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．参考答案第22讲圆的基本性质【考点概要】

1．等于线段弦长优弧、半圆、劣弧等弧2．圆心圆心相等3.两边一半相等直角直径互补4.d＜rd＝rd＞r【考题体验】1．D2.B3.90°4.140【知识引擎】【解析】(1)由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：∠B＝∠E＝12∠AOC,∠B＋∠D＝180°，∠CAE＝90°等；

(2)50°，100°，80°；(3)8.【例题精析】例1①④⑦⑧⑨例2(1)∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∴∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠

EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°－42°＝48°；(3)连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝180°，∴2∠A＋α＋β＝

180°，∴∠A＝90°－α＋β2.例3(1)A；(2)①∵BC＝CD，∴BC︵＝DC︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠

CEB，∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.例4(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝4

5°，∴AP＝AE，∴△PAE是等腰直角三角形.(2)作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM＝AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC＝2PM，PB＝2PN，∴PC2＋PB2＝

2(PM2＋PN2)＝2(AN2＋PN2)＝2PA2＝PE2＝22＝4.(也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形)【变式拓展】1．(1)D(2)C(3)3<r<52.(1)D(2)C(3)215°3.(1)32°(2)54°(3)34.(1)连结O

D，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A.(2)连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，

∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20，在Rt△ADC中，DC＝202－162＝12，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(

x＋16)2－202，解得x＝9，∴BC＝122＋92＝15.【热点题型】【分析与解】(1)猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，连结OB，∴由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB＝OA，∴

∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠BOA＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，∵∠BCA＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CE

D，∴∠CED＝α，∴∠CED＝∠OBA＝α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO＋∠EAG＝180°，∴∠EBA＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°；(2)当γ＝135°时，此时图形如图所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA＝90°，∠BCE＝45

°，由(1)可知：O、A、E、B四点共圆，∴∠BEC＝90°，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴AEAC＝4，∴CEAC＝3，设CE＝3x，AC＝x，由(1)可知：BC＝2CD＝6，∵∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3x，∴由勾股定理可知：

(3x)2＋(3x)2＝62，x＝2，∴BE＝CE＝32，AC＝2，∴AE＝AC＋CE＝42，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：AB2＝(32)2＋(42)2，∴AB＝52，∵∠BAO＝45°，∴∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：AB2＝2r2，∴r＝5，∴

⊙O半径的长为5.【错误警示】30°或150°