【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：《6.3.2平面向量的坐标表示》教案.doc，共(12)页，1.003 MB，由MTyang资料小铺上传

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6.3.2平面向量的坐标表示教学设计课题6.3.2平面向量的坐标表示单元第六单元学科数学年级高一教材分析本节内容是平面向量的坐标表示，将平面向量与解析几何有效结合，有助于解决很多实际问题。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用平面向量基本定理推导出平面向

量的坐标表示及坐标运算；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握平面向量坐标表示及坐标运算；4.直观想象：利用平面向量坐标运算解决一系列实际问题；5.数学运算:能够正确运用平面向量坐标表示及坐标运算；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—

例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点平面向量坐标表示及坐标运算难点平面向量坐标表示及坐标运算教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：你还记得平面向量基本定理吗？平面向量基本定理：

22112121,eeaaee，使，有且只有一对实数向量一平面内的任一共线向量，那么对于这是同一平面内的两个不，如果有向量的一个基底。叫做表示这一平面内所不共线，我们把，若2121,eeee学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并

引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：平面向量的正交分解思考2：若两个基底向量垂直，你能得到什么结论？把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。举例：如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是

正交分解。重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力。1F2F显然，在平面上，选取互相垂直的向量作为基底向量互相垂直的两个方向分解就是正交分解。知识探究（二）：向量的坐标表示思考1：在平面直角坐标系中，每一个点

都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？学生根据力的分解探究平面向量的正交分解。利用力的分解探究得出平面向量正交分解,培养学生探索的精神.作为基底。取别为相

同的两个单位向量分轴方向轴、系中，设与如图，在平面直角坐标jijiyx,,,jyixayxa，使得对实数定理可知，有且只有一由平面向量基本对于平面内的任一向量,,yxaayxyxa,,,的坐标，记作叫做实数对唯一确定，我们把有序都可由量这样，平面内的任一向轴上的坐标

。在叫做轴上的坐标在叫做其中，yayxax,0001001，，，，，由已知可得：ji知识探究（三）：向量的坐标与点的坐标之间的联系思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间有什么联系？唯一确定。的位置由，则点为起点作中，以原点如图，在直角坐标平面aAaOAO的

坐标；的坐标即为终点则设AOAjyixOA,的坐标。也就是的坐标反过来，终点OAyxA,的坐标。也就是的坐标所以终点，因为ayxAOaOA,,0,0例题讲解例1：并求出它们的坐标。表示如图，分别用基底,,,,,dcbaji

jiAAAAa3221解：由图可知，32，所以a同理，3232，jib3232，jic3232，jid变式训练已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝4

3，学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量坐标表示及坐标运算。通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.∠xOA＝60°，(1)求向量OA→的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA→的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝|OA→|cos60°＝43cos60°＝23，y＝|

OA→|sin60°＝43sin60°＝6，即A(23，6)，所以OA→＝(23，6)．(2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．知识探究（四）：平面向量加、减运算的坐标表示思考1：的坐标吗？，你能得出已知babayxbyxa,,,,221

12211,,yxbyxa，因为jyixyxbjyixyxa22221111,,，所以jyixjyixba2211所以jyixjyix2211jyyi

xx21212121,yyxxba即2121,yyxxba同理可得两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。),,(),,(12211yxbyxaba，若21212211,),(),(yyxxyxyx

，即则相等向量对应坐标相等。),,(),,(22211yxbyxaba，若21212211,),(),(yyxxyxyx，即则相等向量对应坐标互为相反数。例题讲解例2：的坐标。求，，已知bababa,,43,

125,14,31,2ba解：3,54,31,2ba学生例题，巩固平面向量坐标表示及坐标运算，并能够利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能知识探究（五）：任一向量的坐标与点的坐标的关系

思考1：的坐标吗？得出你能如图，已知AByxByxA,,,,2211OAOBABOBOA则如图，作,,2211,,,yxOByxOA又因为1122,,yxyxOAOBAB所以

1212,yyxxAB则由此可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。例题讲解例3：的坐标。点），求顶，），（，），（，坐标分别是（的的三个顶点如图，已知平行四边形DCBAA

BCD433112,,yxD，的坐标为：如图，设顶点解法1211321，，因为AByxDC43，DCAB又因为yx4321，，所以22,4231yxy

x解得即22，的坐标为所以顶点DBCBABD四边形法则可知的平行：如上图，由向量加法解法21334133112，，，即BD221331，，，而

BDOBOD22，的坐标为所以顶点D综合训练已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP→＝OA→＋tAB→.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？灵活运用.力。(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求

出t的值；若不能，请说明理由．解：(1)OP→＝OA→＋tAB→＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.(

2)OA→＝(1，2)，PB→＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．知识探究（六）：平面向量数乘运算的坐标表示思考1：的坐

标吗？你能得出已知ayxa,,yxa,因为jyixyxa,所以jyixa所以jyixyxa,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的相应坐标。例题讲解例4：的坐标。求，，已知baba43,43,12

4,341,2343ba解：19,616,123,6思考2：如何用坐标表示两个向量共线的条件？2211,,yxyx即0,,,2211byxby

xa，其中设baba，使实数共线的充要条件是存在所以,2121yyxx即01221yxyx，消去00,1221yxyxbba共线的充要条件是向量例题讲解例5：。求且，，已知ybayba,//,6,24ba//解：因为0624y所以3y所以变

式训练已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断AB→与AC→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC→＝(2－(－1)，5

－(－1))＝(3，6)，因为2×6－3×4＝0，所以AB→∥AC→，所以AB→与AC→共线．又AB→＝23AC→，所以AB→与AC→的方向相同．向量共线的判定方法例6：三点之间的位置关系。判断，，已知CBACBA,,,5,2,31,11

ACAB//所以AACAB有公共点与直线又因为直线三点共线。所以CBA,,三点。坐标系中作出解：如图，在平面直角CBA,,三点共线。由图像我们猜得CBA,,421311，，证明：因为

AB631512，，AC03462又变式训练设向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．因为A，B，C三点共线，即AB→与AC→共线，所以存在实数λ(λ∈R)，使得AB→＝λA

C→.因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．知识扩充

，则的坐标为的中点，线段若yxPPPyxPyxP,,,,21222111222121yyyxxx的中点坐标公式。此公式为线段21PP2,22121yyxxP点的坐标为即例7：22112121,,,,yxyxPPPPP的

坐标分别是上的一点，点是线段设的坐标；的中点时，求点是线段当PPPP211的坐标；点的一个三等分点时，求是线段当PPPP2122,2211212121yyxxOPOPOP算可知如图，由向量的线性运解：2,2212

1yyxxP的坐标为所以，点两种情况的一个三等分点时，有是线段如图，当212PPP2121221PPPPPPPP或即PPOPOPPPPP112121，那么如果21131PPOP12131OPOPOP213132OPOP3

2,322121yyxx32,322121yyxxP的坐标是即点212PPPP同理，如果32,322121yyxxP的坐标是那么点思考：22112121,,,,yxyxPPPP的坐标分别是上的端点如图，线段的坐标是什么？时，点上的一点

，当是线段点PPPPPPPP212112211,OPOPOPPPPPyxP，那么如果）点坐标为（解：设112OPOPOP即111212y

yyxxx1,11212yyxxP的坐标为所以，点变式训练已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求λ与y的值．解(1)设B(

x1，y1)，因为AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，

设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1.所以M－12，－1.(2)由PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又PB→＝λ

BD→(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.知识探究（七）：向量数量积运算的坐标表示思考1：呢？的坐标表示与，怎样用已知bab

ayxbyxa2211,,,2211,,yxbyxa，因为jyixyxbjyixyxa22221111,,，所以jyixjyixba2211所以

2212121221jyyijxyjiyxixx2121yyxxba所以0,1,1jiijjjii又因为两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。由此可得：22

222,,1yxayxayxa或，则若21221212122211,,,,,yyxxayyxxayxyxa，那么分别为点的坐标的有向线段的起点和终如果表示0,,221212211yyxxbayxbyxa则，设2222212

12121cos3yxyxyyxxbaba小试牛刀1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(×)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(√)(3)若两个非零向量的

夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(×)2.若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为__-6___．3.已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝_2__.例题讲解例8：猜想。是什么形状？证明你的则若点ABCCBA,5,

2,3,2,2,1是直角三角形。由图可得：坐标系中画出点解：如图，在平面直角ABCCBA,,,1,123,12AB证明：因为3,325,12AC03131ACAB所以ACAB所以是直角三角形。所以：ABC变式训练设

OA→＝(2，－1)，OB→＝(3,1)，OC→＝(m,3)．若AB→⊥BC→，求实数m的值．解：AB→＝OB→－OA→＝(1,2)，BC→＝OC→－OB→＝(m－3,2)．因为AB→⊥BC→，所以AB→·BC→＝0，即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1.

例9：）（精确到的夹角及求设1,,4,6,7,5bababa4765ba解：28305246,74752222ba因为03.052742cosbaba所以用计算器可得92cos1”键

，使利用计算器中的“变式训练已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝4

2＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹

角的步骤例10：sinsincoscoscos的余弦公式用向量方法证明两角差。则别为的交点分，它们的终边与单位圆，非负半轴为始边作角轴的，以内作单位圆，在平面直角坐标系证明：如图BAOxOxOy,1sinsincoscosOBOA示

，有由向量数量积的坐标表coscosOBOAOBOAOBOA，则的夹角为与设sinsincoscoscosZkkkk,2.2221于是）可知，由图（，可知，另一方面，由图coscos所以sin

sincoscoscos于是提升训练1、,4,3a已知的坐标；同向的单位向量）与求（11ea的坐标；垂直的单位向量）与（22ea54,5311e或53,5422e53,542e2、ABCD的顶点A(-1,-2),

B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为(C)A(8,9)B(5,1)C(1,5)D(8,6)学生和教师共同探究完成4个练习题。通过这4个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。3、1,2,2,1ba已知的位置关系。与并判断求bab

aababa,,2,,ba因此311,22,1，解：ba131,22,1，ba422,122，a01,22,1ba4、），回答下列问题：，（，平面内给定三个向

量142,1,2,3cba.,1//,4,2//3;,2231dcdbacdyxdkabckanmcnbmacba求且满足设；求实数若的实数求满足；求(0,6)58,99mn1613

k205525205525(,)(,)5555d或课堂小结1、平面向量的正交分解；2、平面向量的坐标表示；3、平面向量的坐标与点的坐标之间的联系；4、平面向量的加、减运算的坐标表示；5、任一向量的坐标与点的坐标的关系6、平面向量的数乘运算的坐标表示；7、平面向

量数量积运算的坐标表示。学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书§6.3.2平面向量的坐标表示一、旧知导入4.加减运算坐标表示三、课堂小结二、探索新知5、数乘运算坐标表示四、作业布置1.正交分解6.数量积运算坐标表示2.坐标表示例1

、2、3、4、5、63.向量坐标、7、8、9、10与点的坐标教学反思