【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册：《6.3.1平面向量基本定理》教案.doc，共(6)页，279.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.3.1平面向量基本定理教学设计课题6.3.1平面向量基本定理单元第六单元学科数学年级高一教材分析本节内容是平面向量基本定理，由平面向量共线定理导入，学习平面向量基本定理，为平面向量的坐标表示做铺垫

。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用平面向量共线定理将平面向量基本定理具体化；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握平面向量基本定理；4.直观想象：利用平行四边形法则推导并掌握平面向量基本定理；5.数学运算:能够正确运用平面向量基本定理；6.数据分

析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点平面向量基本定理难点平面向量基本定理教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：向量的加法运算是什么运算法则呢？三角形法则作平移,首尾连,由起点指终点

ABCABBCAC=+平行四边形法则作平移,共起点,四边形,对角线ACBO·OAOBOC=+思考2：平面中的非零共线向量该如何表示？abbaa，使存在唯一一个实数共线的充要条件是：与向量0思考3：根据思考1和2，你有什么猜想？平面内任一向量可以由同一平面内

的两个不共线向量表示。我们知道：已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。�思考4：物理中我们根据什么方法进行力的分解？�平行四边形法则。�由此我们推断出：可以通过作平行四边形，用同一平面内的两个不共线的向量表

示平面内任一向量。学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。讲授新课知识探究（一）：平面向量基本定理都不共线的向量。是这一平面内与线的向量，是同一平面内两个不共如图，设2121,,eeaee发现？的方向分解

，你有什么按将，，作在平面内任取一点2121,,,eeaaOCeOBeOAO1e2eaOCAB1e2eaMNMOAOBC交与点的直线，与直线作平行于直线如图，过点NOBOAC交与点的直线，与直线作平行于直线过点ONOMOC则22112121,eONeOMeON

eOM，使得，共线可得，存在实数与共线，与由2211eea所以的形式。都可以表示成都不共线的即：与221121,eeaee思考1：你能根据上述过程证明以下结论吗?;1221121eeaeea共线的非零向量时，或是与）当（。是零向量时，）当（2

2112eeaaabbaa，使存在唯一一个实数共线的充要条件是：与我们学过：向量证明：01;221121eeaeea共线的非零向量，所以或是与因为与任意向量共线规定02。是零向量，所以因为2211eeaa思考2：根据上述讨论你能得到什么结论?的方向分

解，即，都可以按任一向量上述讨论表明：平面内21eea一的。，且这种表示形式是唯2211eea，假设2211eea2211eea那么2211ee0222111ee

可得.02211全为，由此得不共线矛盾共线。这与已知由此可得，则，不妨假设不全为，假设2121211221112211,,.00eeeeee2211，即学生根据力的分解探究

平面向量基本定理。学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量基本定理。利用力的分解探究得出平面向量基本定理,培养学生探索的精神.通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.221121eea，使，对实数也就是说，

有且只有一平面向量基本定理：22112121,eeaaee，使，有且只有一对实数向量一平面内的任一共线向量，那么对于这是同一平面内的两个不，如果有向量的一个基底。叫做表示这一平面内所不共线，我们把，若2121,eeee思考3：是否唯一？基底21,1ee不唯一基底21

,ee满足什么条件？基底21,2ee不共线基底21,ee吗？是否唯一？可以为，定理中0321。唯一。可以为，基底确定，021小试牛刀1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1

，e2一定都是非零向量．(√)(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0.(√)(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，则λ2＝0；若a∥e2，则λ1＝0.(√)(4)表示同一平面内所有向量的基底

是唯一的．(×)2．做一做(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(B)A．{e1，e2}B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2}D．{e1，e1＋e2}(2)在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，则AD

→＝__，ba3132_(用a，b表示)．例题讲解例1：.,,,,OPOBOARtABtAPOBOA表示用不共线，且如图，ABtAP解：因为APOAOP所以ABtOAOAOBtOAOAtOBtOA练一练学生例题，巩固平面向量基本定理，并能够灵活

运用.巩固掌握平面向量基本定理利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能OBtOAt1思考4：你有什么发现？观察,1OBtOAtOPtt211，由以上关系式得：121可得：由此可得结论：。反之亦成立

。，且则为直线外一点，三点共线，若1,,2121OBOAOPOPBA例2：是直角三角形。用向量方法证明，的中线，是如图，ABCABCDABCCD21bDAaCD,证明：如图设baCBbDBbaCA于

是则,,22bababaCBCAABCD21因为DACD所以2222,DAbCDa因为0CBCA所以CBCA因此是直角三角形。于是ABC例3如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN→＝12NC→，BN与CM相交于点E，设AB

→＝a，AC→＝b，试用基底{a，b}表示向量AE→.[解]易得AN→＝13AC→＝13b，AM→＝12AB→＝12a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足AE→＝mAN→＋(1－m)AB→＝13mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，力。满足AE→＝nAM→＋

(1－n)AC→＝12na＋(1－n)b，所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，所以1－m＝12n，13m＝1－n，解得m＝35，n＝45，所以AE→＝25a＋1

5b.例4设{e1，e2}是平面内的一个基底，如果AB→＝3e1－2e2，BC→＝4e1＋e2，CD→＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．[证明]∵AB→＝3e1－2e2，AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝15e1－10

e2＝5(3e1－2e2)＝5AB→，即AD→＝5AB→，∴AD→与AB→共线，又AD→与AB→有公共点A，∴A，B，D三点共线．(1)三点共线问题的解法一是利用平面向量基本定理、结合向量的线性运算表示有公共点

的两向量之间的共线关系．二是找直线外一点(任意一点也可)O，若存在唯一实数对λ，μ∈R使OP→＝λOA→＋μOB→(λ＋μ＝1)．则P，A，B三点共线．(2)注意向量共线与平面向量基本定理放在一起思考解决是否共线问题．提升训练1、ABCD中，E、F分别是D

C和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCEabFCbaAE21,21因为FCAE//所以CFAE//即2、学生和教师共同探究完成练习题。通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨

性和对数学.,ADbabACaABBCABCD表示。试用，若边上的中点，的是三角形设ABCDbaAD21的探索精神。课堂小结平面向量基本定理学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书§6.3.1平面向量

基本定理一、情境导入三、课堂小结二、探索新知例1、2四、作业布置1.定理教学反思