【文档说明】2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第5章《5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象》(含答案详解).doc，共(13)页，330.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-38942.html

以下为本文档部分文字说明：

15.6函数y＝Asin(ωx＋φ)5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学习目标核心素养1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sinx

的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养

.1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响1．把函数y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为2()A．y＝sinx－π3B．y＝sinx＋π3C．y＝s

inx－π3D．y＝sinx＋π3D[根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后得到y＝sinx＋π3的图象．]2．为了得到函数y＝4sin

12x－π6，x∈R的图象，只需将函数y＝4sinx－π6，x∈R的图象上的所有点()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变A[函数y＝4sin

x－π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin12x－π6的图象．]3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.4[由已知得A＋1＝5，故A＝4.

]三角函数图象之间的变换【例1】(1)将函数y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．(2)将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋π4＋1的图象？[思路点拨](

1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．3(2)法一：y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．(1)y＝－2cos2x－3[y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y＝2cos

2x＋π3＋π3＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x，再向下平移3个单位长度得y＝－2cos2x－3的图象．](2)[解]法一：(先伸缩法)①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，

得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移π8个单位，得y＝2sin2x＋π8的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π

4＋1的图象．法二：(先平移法)①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移π4个单位，得y＝sinx＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y＝sin2x＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2si

n2x＋π4的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π4＋1的图象．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y＝s

inx――――→相位变换y＝sin(x＋φ)――――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinx――――→周期变换y＝sinωx――――→相位变换y＝sinωx＋φω＝sin(ωx＋4φ)

――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．1．(1)要得到y＝cos2x－π4的图象，

只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π8个单位C．向左平移π4个单位D．向右平移π4个单位(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y＝2sin12x＋π3，则

f(x)的解析式是()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝3sinxC．f(x)＝3cosx＋3D．f(x)＝sin3x(1)A(2)A[(1)因为y＝cos2x－π4＝sin2x－π4＋π2＝sin2x＋π4＝sin2x＋

π8，所以将y＝sin2x的图象向左平移π8个单位，得到y＝cos2x－π4的图象．(2)y＝2sin12x＋π3――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y＝3sin12x＋π35――――――→横坐标缩短到原来的12倍y＝3sinx

＋π3――――――→向左平移π6个单位y＝3sinx＋π6＋π3＝3sinx＋π2＝3cosx．]已知函数图象求解析式【例2】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0

，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2cosx2－π4＋4B．y＝2cosx2＋π4＋4C．y＝4cosx2－π4＋2D．y＝4cosx2＋π4＋2(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞

0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．[思路点拨]由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.6(1)A[由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝

4，函数f(x)的周期为π2－－π2×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝12，又因为点π2，6在函数f(x)的图象上所以6＝2cos12×π2＋φ＋4，所以cosπ4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2kπ，k∈Z

，所以φ＝2kπ－π4，k∈Z，又|φ|＜π2所以φ＝－π4，所以f(x)＝2cos12x－π4＋4.](2)[解]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，又由点－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中

的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f(x)＝3sin2x＋π3.法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点－π6，0，所以f－π6＝3sin2－π

6＋φ＝0，所以sin－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以k＝0，φ＝π3，所以f(x)＝3sin2x＋π3.法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，且f(x)

＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移π6个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin2x＋π6＝3sin2x＋π3.7确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是

φ的确定，常用方法有：1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω

，0作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；,“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝π2；,“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；,“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝3π2；,“第五点”为ωx＋φ

＝2π.2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2，求f(x)的解析式．[解]由最低点M2π3，－2，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离

为π2，故T2＝π2，即T＝π，ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2(

k∈Z)，∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈0，π2，∴φ＝π6.故f(x)＝2sin2x＋π6.三角函数图象与性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对

称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋8φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋π

2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ－φω(k∈Z

)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝kπ－φω(k∈Z)．2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．

函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ－φω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点kπ－φω，0(k∈Z)成中心对称；函数y＝Acos(ωx＋φ

)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点2k＋1π－2φ2ω，0(k∈Z)成中心对称．【例3】(1)已知函数f(x)＝s

inωx＋π3(ω＞0)，若fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝()A.23B.143C.263D.383(2)已知函数f(x)＝sin(ωx

＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[思路点拨](1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，9再列方程求ω的值．(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.(

1)B[因为fπ6＝fπ3，所以直线x＝π6＋π32＝π4是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，所以当x＝π4时，f(x)取得最小值．所以π4ω＋

π3＝2kπ－π2，k∈Z，解得ω＝8k－103，(k∈Z)又因为T＝2πω≥π3－π6＝π6，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－103＝143.](2)[解]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函

数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π2.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝kπ，解得ω＝4k3－23，k∈Z.又f(x)在0，π2上是单调函数，所以T

≥π，即2πω≥π.∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1时，ω＝23；k＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数”改为“在区间－3π2，π2上为增函数”，试

求ω的最大10值．[解]因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.因为f(x)＝sinωx在－π2ω，π2ω上是增函数．所以－3π2，π2⊆

－π2ω，π2ω，于是ω＞0，－3π2≥－π2ωπ2≤π2ω，，解得0＜ω≤13，所以ω的最大值为13.2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin2x，x∈－π8，π8的最大值．[解]由条件知f(x)＝sin2x＋π2＝cos2x，

由x∈－π8，π8得2x∈－π4，π4，sin2x∈－22，22y＝f2(x)＋sin2x＝cos22x＋sin2x＝1－sin22x＋sin2x＝－(sin2x－12)2＋54所以当sin2x＝12时ymax＝54.1．正弦余弦

型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为

偶函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为奇函数．2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧11(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”

法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．1．准确理解“图象变换法”(1)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sinx到y＝sin

ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx图象的变换称为振幅变换．(2)由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期

变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．(3)类似地y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由y＝cosx的图象变换得到．2．由y＝Asin(ω

x＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.1．思考辨析(1)y＝sin3x的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y＝sin3x＋π4.()(2)y＝sinx的图象上所

有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin2x.()(3)y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝12sinx．()12[提示](1)错误．y＝sin3x的图象向左平移π4个单位得y＝sin3

x＋π4＝sin3x＋34π.(2)错误．y＝sin2x应改为y＝sin12x.(3)错误．y＝12sinx应改为y＝2sinx.[答案](1)×(2)×(3)×2．函数y＝cosx图象上各

点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为________．12[函数y＝cosx纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y＝cos12x.所以ω＝12.]3．由y＝3sinx的图象变换到y＝3sin12x＋π3的图象主要有

两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．π32π3[y＝3sinx―――――→向左平移π3个单位y＝3sinx＋π3――――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y＝3sin

12x＋π3，y＝3sinx――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y＝3sin12x――――――――→向左平移2π3个单位y＝3sin12x＋2π3＝3sin12x＋π3.]4．已知函数f(x)＝3sin

x2＋π6＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．13[解]