【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第八章 立体几何 第三节 直线、平面平行的判定与性质 (含详解).ppt，共(31)页，835.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节直线、平面平行的判定与性质本节主要包括2个知识点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.平面与平面平行的判定与性质.突破点(一)直线与平面平行的判定与性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”直线与平面平行的

判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理_______一条直线与__________的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面____，则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线平行(线面

平行⇒线线平行)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b平面外此平面内平行交线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线面平行的判定[例1]如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH

.[证明]如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH

，所以BD∥平面FGH.[方法技巧]判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α

∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．线面平行性质定理的应用[例2]如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH

⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；[解]证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.[解]如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，

GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GE

FH＝GK，(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得

GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.[易错提醒]在应用线面平行的判定

定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一

点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PA

HG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.2．[考点一]如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段

OF上一点．求证：(1)AP∥平面BEF；证明：连接EC，∵AD∥BC，BC＝12AD，∴BC綊AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

∴AP∥平面BEF.证明：连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.(2)GH∥平面

PAD.突破点(二)平面与平面平行的判定与性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条________与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P

，a⊂α，b⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_____，那么它们的_____平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b相交直线相交交线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”面面平行的判定与性质[典例]如图所示，在三棱柱ABC-

A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；[证明]∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四

点共面．[证明]∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1

E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.(2)平面EFA1∥平面BCHG.[方法技巧]判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同

时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且二者所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)

求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE∥平面BCF.解：(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.∵AO＝FG＝3，∴VABCDFE＝

13×2×2×3×2＝833.解：证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF.又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴平面ADE∥平面BCF

.(2)证明：平面ADE∥平面BCF.2．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并

证明你的结论．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝

AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由

N为PC的中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB.解：取BC的中点

E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝AB2－BC22＝5.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM＝

(0,2，－4)，PN＝52，1，－2，AN＝52，1，2.(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·AM＝0，n·AN＝0，即2y

－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN〉|＝|n·AN||n||AN|＝8525.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD

中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；解：证明：如图，连接BD交AC于点O，连接EO.因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.解：因

为PA⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，|AP|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0,3，0)，E

0，32，12，AE＝0，32，12.设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC＝(m，3，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1·AC＝0，n1·AE＝0，(2)设二面角D-

AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．即mx＋3y＝0，32y＋12z＝0，可取n1＝3m，－1，3.又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|＝12，即33＋4m2＝12，解得m＝32.因为E为PD的中点

，所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V＝13×12×3×32×12＝38.