【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点03函数及其性质》(解析版）.doc，共(79)页，8.808 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点03函数及其性质（核心考点讲与练）1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)

自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示

函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.5.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函

数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(

x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，

区间M称为单调区间.6.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小

值7.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都

有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称8.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，

称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数

；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的

最值，这也是最容易发生错误的地方.2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面

直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数

，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间

，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．函数及其表示一、单选题1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数2213222e8122xxxfxxxx

，若在区间1,上存在2nn个不同的数123,,,,nxxxx，使得1212nnfxfxfxxxx成立，则n的取值集合是（）A．2,3,4,5B．2,3C．

2,3,5D．2,3,4【答案】D【分析】由题意，可知n为方程()fxkx的解的个数，判断()fx的单调性，作出()yfx与ykx的函数图象，根据图象交点个数即可求解．【详解】解：设1212()()()nnfxfxfxk

xxx，则方程()fxkx有n个根，即()fxkx有n个根，2231,23()2,22e(812),2xxxfxxxxxx„„，所以()fx在3(1,)2上单调递增，在3(2，2)上单调递减，且31(

)22f，当2x时，22222()e(812)e(28)e(64)xxxfxxxxxx，设2()64(2)gxxxx，令()0gx得35x，所以当235x

时，()0gx，即()0fx，当35x时，()0gx，即()0fx，所以()fx在(2,35)上单调递增，在(35,)上单调递减，且151(35)e2522f，作出()fx与ykx的大致函数图象，如图所示：由图象可知()fxkx的

交点个数可能为1，2，3，4，又2n…，所以n的值为2，3，4．故选：D．2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数21,022,0xxfxxxx，若22fafa，则实数a的取

值范围是（）A．1021022,,233B．2,11,2C．2,00,2D．1,00,1U【答案】A【分析】由题意，画出图形，结合||0a„，分220a„和22||aa进行讨论，解得||a的范围，从而即可

得实数a的取值范围．【详解】解：作出函数21,0()22,0xxfxxxx…的图象如图，因为||0a„，若220a„，由()fx在,0上单调递增，且22fafa，则22||aa，解得2||2a„；若220a，则221(2)2|

|2aaa，解得102||23a；综上，102||23a，解得10223a或10223a.所以实数a的取值范围是1021022,,233

．故选：A.3．（2022·河北·模拟预测）设函数212,1,2,1,xxfxxx则不等式340ffx的解集为（）A．1,1B．,11,C．7,7D．,77,【答案】A【分析

】由函数解析式可得36f，36f，画出函数图象，则原不等式等价于463fxf，结合函数的单调性，即可得到43x，解得即可；【详解】解：因为212,12,1xxfxxx，所以36f，233126

f，则340ffx，即4363fxff，fx的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x时6fx且fx在,3上单调递减，所以

43fxf等价于43x，即1x，解得11x，即1,1x；故选：A4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是（）（e2.71828是自然对数的底数）A．ee()||2xxfx

xB．ee()||2xxfxxC．2||ee()2xxxfxxD．2||ee()2xxxfxx【答案】B【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据函数的定义域可排除CD.【详解】解：对于A，函数ee()||

2xxfxx的定义域为,22,22,，由ee||2xxfxfxx，所以函数ee()||2xxfxx为奇函数，不符合题意；对于B，函数ee()||2xxfxx的定义域为,22,22,

，由ee|2+|xxfxfxx，所以函数ee()||2xxfxx为偶函数，符合题意；对于C，函数2||ee()2xxxfxx，则220xx，得2x且4x，故函数2||ee()2xxxfx

x的定义域为2xx且4x，结合函数图像可知，不符题意；对于D，函数2||ee()2xxxfxx的定义域为2xx且4x，结合函数图像可知，不符题意.故选：B.5．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数21

log21141axxfxxax，，（0a，且1a）在区间,上为单调函数，若函数2gxfxx有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．11,42

B．13,44C．1113,4216D．1313,4416【答案】D【分析】由函数在fx在,上为单调函数，且当1x时fx单调递减，则满足014

1log1aaa，可得到a的范围；再将gx有三个不同的零点问题转化为函数yfx和2yx有三个交点问题，画出两个函数的图象，可先判断当1x时存在两个交点，则只需满足1x

时有且仅有一个交点即可，进而求解，综合得到a的范围.【详解】由题，因为fx在,上为单调函数，且1x时，214fxxa单调递减，所以0141log1aaa，解得114a，在同一坐标系中画出yfx和2yx

的图象，如图所示：由图象可知当1x时，yfx和2yx的图象有两个交点，故只需当1x时，yfx和2yx的图象有且只有一个交点，当211412a，即43a，即34a时，满足题

意；当43a，即34a时，只需214yxa与2yx相切，联立可得23410xxa，则94410a，解得1316a，综上，a的取值范围是1313,4416故选：D6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数

sincosfxxgxxtxx，，，则图象为下图的函数可能是（）A．2fxygx（）（）B．2yftxxC．2ygfxxD．2ygfxx【答案】C【分析】A选项，利用当0x时，022sinxxyg

xfx排除A选项，B选项，利用0x时，cos01202y排除B选项，D选项，利用奇偶性排除D选项，C选项，满足图象要求.【详解】A选项，22sinxygxxfx，其中当0x时，022sinxxygxfx恒成立，故A选项错误；B选

项，cos22xyfxxtx，当0x时，cos01202y，不合要求，B错误；C选项，22sinxygxxfx，当0x时，0y，当0x时，0y，当0x时，0y，且为非奇非偶函数，故符合要求.D选项，2sin2gxfxxhxx

，定义域为R，且hxhx，故hx为奇函数，图象关于原点对称，不合题意，D错误.故选：C7．（2021·全国·模拟预测）已知函数25()11fxx的定义域是[,]mn（m，n为整数），值域是

[0,4]，则满足条件的整数对(,)mn的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可【详解】由()0fx，得2x或2x由()4fx，得0x易知当0x时，()fx为增函数，当0x时，

()fx为减函数，其图像如上图所示若使()fx的定义域是[,]mn（m，n为整数），值域是[0,4]，满足条件的整数数对(,)mn有(2,0)，(2,1)，(2,2)，(0,2)，(1,2)共5个故选：D8．（2020·南开中学模拟预测）下列各组函数中，表示同

一函数的是（）A．1yx与2xxyxB．22()xfxx与gxxC．fxx∣∣与nngxxD．fxx与logtagta【答案】D【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；对于B：由定义域不同，即可判

断；对于C：由对应关系不同，即可判断；对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.【详解】对于A：1yx的定义域为R，2xxyx的定义域为,00,，定义域不同，所以A错误；对于B：22()xf

xx的定义域为0,，gxx的定义域为R，定义域不同，所以B错误；对于C：fxx∣∣，对于,,nnxngxxxn为偶数为奇数，对应关系不同，故C错误；对于D：fxx定义域为R,logtatgta，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相

同，为同一函数.故选：D9．（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（）A．1fxx，21xgxxB．lg2yx，lg100xyC．2fxx，33gxxD．12xy，12yx【答案】B【分析】两个函数若是同一函

数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.【详解】A.1fxx的定义域为R，21xgxx的定义域是0xx，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；B.lg2yx和lg100xy的定义域是(0,)，且lglg2100xyx

，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；C.2fxxx，33gxxx，两个函数的定义域都是R，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；D.12xfx的定义域是R，12yx的定义域是0,，两个

函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B10.（2020·全国·一模）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”（单位：.号），第二行是脚长（单位：mm），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞

打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（）鞋码3536373839脚长225230235240245A．201,205B．206,210C．211,215D．216,220【答案】B【分析】先建立函数关

系550yx，再求解即可.【详解】解：设“脚长”为y，“鞋号”为x，根据题意发现x与y满足550yx的函数关系，当32x时，53250210y，故选：B.【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题.二

、多选题11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数fx的图象连续不间断，当0x时，121fxfx，且当0x时，110fxfx，则下列说法正确的是（）A．10fB．fx在–,1上单调递减C．若1212

,xxfxfx，则122xxD．若12,xx是cosgxfxx的两个零点，且12xx，则2112fxfx【答案】ACD【分析】对于A，在121fxfx中令0x，即可判断A；对于B，对121fxfx两边

求导，结合110fxfx，即可得出fx在,1上单调递增，即可判断B.对于C，分别讨论121xx和121xx<<，再结合fx在,1上单调递增，1,

上单调递减，即可判断C.对于D，先证明12fxfx，则211fxfx，再令111122xxfxfx，而由122122xxxx，所以21212

2fxfxfxfx，所以212fxfx，即可判断D.【详解】对于A，在121fxfx中令0x，则10210ff，所以10f，故A正确；对于B，当0x时，121fxfx，对121fxfx

两边求导，则112112fxfxfx，所以0x时，1111102fxfxfxfxfx，所以10fx，令1x，1，0f

，所以fx在,1上单调递增，所以B错；对于C，由B知，fx在,1上单调递增，1,上单调递减，由1212,xxfxfx知12,xx不可能均大于等于1，否则211xx，则12fxfx，这与条件矛盾，舍去.①若121xx，则

12fxfx，满足条件，此时，122xx；’②若121xx<<，则221x，而2222fxfx，则222202fxfxfx，所以221222fxfxfxfx，而12,21xx，所以121222xxxx，

C正确；对于D，由fx在,1上单调递增，1,上单调递减，知10fxf，注意到11022gf，1110gf，33022gf，所以1213,1,1,22xx

，若12fxfx，则122xx，则111222coscoscos*cosfxxxxfxx，所以121212222coscos2cosxxxxxxx

(12,2,2xx)，这与*矛盾，舍去.所以21211fxfxfxfx，在0x时，121fxfx中，令111122xxfxfx

，而由122122xxxx，所以212122fxfxfxfx，所以212fxfx，故D正确.故选：ACD.12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了

“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()fx是定义在R上的函数，对于xR，令1()(123)nnxfxn

，，，，若存在正整数k使得0kxx，且当0<j<k时，0jxx，则称0x是()fx的一个周期为k的周期点.若122()12(1)2xxfxxx，，…，下列各值是()fx周期为2的周期点的有（）A．0B．13C．23D．1【答案】AC【分析

】根据题意中周期点定义，分别求出当00x、013x、023x、01x时的函数周期，进而得出结果.【详解】A：00x时，100xf，周期为1，周期为2也正确，故A正确；B：013x时，1231222233333nxfxfxx

，，，所以13不是fx的周期点.故B错误；C：023x时，1223nxxx，周期为1，周期为2也正确.故C正确；D：01x时，1201000xfxfx，，1

不是fx周期为2的周期点，故D错误.故选：AC.13．（2022·江苏江苏·一模）下列函数中，最大值是1的函数有（）A．sincosyxxB．22sincosyxxC．224sincosyxxD．tantan2tan2tanxxyxx【答案】BC【分析

】化简变形各个选项中的函数解析式，再求其最大值即可判断作答.【详解】对于A，2(|sin||cos|)1|sin2|2yxxx，当且仅当sin21x，即,Z24kxk时取“=”，即当,Z

24kxk时，max2y，A不正确；对于B，22(cossin)cos21yxxx，当且仅当22xk，即,Z2xkk时取“=”，即当,Z2xkk时，max1y，B正确；对于C，22(2sincosin21s)y

xxx，当且仅当sin21x，即,Z24kxk时取“=”，即当,Z24kxk时，max1y，C正确；对于D，依题意，由tanx，tan2x都有意义，且tan2tan0xx得：xk，且2xk，且24kx，Zk，sinsin2s

insin2sinsin2coscos2sin2sin2sinsin2coscos2sinsincos2cosxxxxxxxxyxxxxxxxxxx，显然sin2x最大值为1，此时，,Z4xkk，而,Z4kk使函数tantan2tan2tanxxyxx无

意义，即sin2x不能取到1，D不正确.故选：BC14．（2021·江西·模拟预测）已知函数23()4xfxx，则下列叙述正确的是（）A．()fx的值域为,44,B．()fx在区间,4上单调递增C．()84fxfxD．若4,x

xxxZ，则()fx的最小值为-3【答案】BCD【分析】将函数转化为245235()2444xxfxxxx，再逐项判断.【详解】函数245235()2444xxfxxxx，A.()fx的值

域为,22,，故错误；B.()fx在区间,4上单调递增，故正确；C.23()8134442xxxfxfxx，故正确；D.因为4,xxxxZ，则()fx的最小值为(3)3f，故正确；故选：BC

D15．（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（）A．()2fxx，2,0()2,0xxgxxxB．2()fxx，2()gttC．0()3xfxx，1()3gxx

D．()4fxx，216()4xgxx【答案】AB【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．【详解】A中两个函数定义域都是R，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；B中两个函数定义域都是R，对应法则都是取平方，是同一函数；C中()fx定义域是{

|0}xx，()gx的定义域是R，不是同一函数；D中()fx的定义域是R，()gx的定义域是{|4}xx，不是同一函数．故选：AB．16．（2021·全国·模拟预测）已知函数,22xxxxeeeefxgx，则fx和

gx满足（）A．,fxfxgxgxB．23,23ffggC．22fxfxgxD．221fxgx【答案】ABC【解析

】直接代入计算即可判断A；判断fx的单调性，可得23ff成立,计算2,3gg的值可判断B；分别计算2fx以及2fxgx可判断C；直接计算可判断D.【详解】解:选项A:,222xxxxxxeeeeeefxfxg

xgx.故A正确;选项B:fx为增函数，则23ff成立，22332,3222eeeeggg，故B正确;选项C:2222222222xxxxxxeeeeeefxgxfx

，故C正确;选项D:22.1xxfxgxfxgxfxgxee,故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值

的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、填空题17．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()fx________.①定义域为R；②值域为(,1)；③对任意12,(0,

)xx且12xx，均有12120fxfxxx.【答案】1()12xfx（答案不唯一）【分析】直接按要求写出一个函数即可.【详解】1()12xfx，定义域为R；102x，1()112xfx，值域为(,1)；是增函

数，满足对任意12,(0,)xx且12xx，均有12120fxfxxx.故答案为：1()12xfx（答案不唯一）.18．（2022·山东淄博·一模）以模型e0kxycc去拟合一组数据时，设lnzy，将其变换后

得到线性回归方程21zx，则c______．【答案】1/e1e【分析】将回归方程化为2112eeexxy，再与模型比较系数，即可得到答案.【详解】由lnzy，得ln21yx，2112eeexxy，所以11e

ec.故答案为：1e.19．（2022·全国·模拟预测）已知elg3xfx，则25ff______．【答案】ln3【分析】解法一：分别令e2x，e5x，解出x，再整体代入求解.解法二：令ext，解出lnlg3ftt后，再代入求解.【详解】解法一：令e2x，

可得ln2x，令e5x，可得ln5x，故lg325ln2lg3ln5lg3ln2ln5lg3ln10lg3ln3lgeff．解法二：令ext，可得lnxt，则lnlg3ftt，

故lg325ln2lg3ln5lg3ln2ln5lg3ln10lg3ln3lgeff．故答案为：ln320．（2022·重庆·模拟预测）已知定义在R上的函数fx不是常值函数，且同时满足

：①22fxfx；②对任意1xR，均存在2xR使得122fxfx成立；则函数fx______．（写出一个符合条件的答案即可）【答案】22x(答案不唯一)【分析】由题设函数性质分析知：()fx关于2

x对称且值域为(,0]或[0,)，写出一个符合要求的函数即可.【详解】由22fxfx知：()fx关于2x对称，由对任意1xR，均存在2xR使得122fxfx成立知：函数值域为(,0]或[0,

)或全体实数，∴2()(2)fxx符合要求.故答案为：22x(答案不唯一).四、双空题21．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数()fx的定义域为R，且满足(1)(1)fxfx，当[1,1]x时，2,10,()1,01.xbxfxxx

若(3)(3)ff，则实数b___________，2bf___________.【答案】134##0.75【分析】①先由(1)(1)fxfx得到(3)(1),(3)(1)ffff，再由解析式分别求出(3),(3)ff，由(

3)(3)ff解出b即可；②直接代入对应解析式计算即可.【详解】①由(1)(1)fxfx可知(3)(1),(3)(1)ffff，又2,10,()1,01.xbxfxxx故(3)(1)0,(3)

(1)1ffffb，又(3)(3)ff，故10b，1b；②213122214bff.故答案为：1；34.22．（2022·江苏·金陵中学二模）已知函数()2sin2cos22xxfx

，则()fx的最小正周期为___________；当,3x时，()fx的值域为___________.【答案】542,2【分析】先根据函数周期性的定义说明是函数()2sin2cos22xxfx的一个周期，在利用导

数说明函数的单调性，从而证明是最小正周期；根据函数()2sin2cos22xxfx的单调性可求得最大值，再比较,3x时端点处的函数值大小，即可求得答案.【详解】因为++(+)2sin2cos=2sin2cos()2222xxxxfxfx

，故x为()fx的一个周期,而当0,x时，()2sin2cos22xxfx，由题意可知3322cossin122()2cossin222sin4sin4cos22xxxxfxxxx

，令0fx，得cossin22xx，故24x，2x，因为当0,2x时，0fx，当,2x时，0fx，故fx在0,2上单调递增，在,2ππ上单调递减，故fx的最小正

周期为π，且fx在,3上的最大值为5422f，而2f，14313f，故2()3ff，故当,3x时，函数fx的值域为542,2,故答案为：；

542,223．（2022·山东济南·一模）已知函数22121xxxaxbfxx，对任意非零实数x，均满足1fxfx.则1f的值为___________；函数fx的最小值为___________.【答案】09

8【分析】根据给定条件求出待定系数a，b，进而求出fx的解析式，代值计算可得1f，变形函数式并借助二次函数求解最值作答.【详解】函数22121xxxaxbfxx，因对任意非零

实数x，均满足1fxfx，则R,0xx，有2222121(1)(1)()(1)(21)()1abxxxaxbxxxxxx，即22(1)(21)()(1)(2)(1)xxxaxbxxbxax

，由等式两边展开式最高次项系数得：2b，即2b，当1x时，10ba，解得1a，经检验得，1a，2b，1fxfx对任意非零实数x成立，因此，22222(1

)(21)(2)(1)(232)11()()[2()3]xxxxxxxfxxxxxxx22111392()3()2[()]48xxxxxx，10f，当134xx即3738x时，min98fx

，所以1f的值为0，函数fx的最小值为98.故答案为：0；98函数的基本性质一、函数的单调性一、单选题1．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数||e31311()e,(log),(lo

g),(log),31e9xfxafbfcf，则下述关系式正确的是（）A．bacB．bcaC．cabD．abc【答案】A【分析】根据||()xfxe，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解.【详解】解：∵||()xfxe，∴f（x）为偶函数，且f（x）在

（0，+∞）上单调递减，∴ee331e111(log)(log3),(log)(loge),(log)3e9affbffcfe(log9)f.∵3ee0loge1log3log9，∴bac，故选：A.2．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在0,上

单调递增的是（）A．12xyB．2yxxC．1yxD．1yxx【答案】C【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】对A：容易知12xy是偶函数，且在0,单调递减，故错误；对B：容易知

2yxx是偶函数，当0x时，2yxx，其在10,2单调递增，在1,2单调递减，故错误；对C：容易知1yx是偶函数，当0x时，1yx是单调增函数，故正确；对D：容易知1yxx是奇函数，故错误；故选：C.3．（202

2·辽宁抚顺·一模）已知函数()fx对任意xR都有(4)()(2)fxfxf，若(1)yfx的图象关于直线1x对称，且对任意的，12,[0,2]xx，当12xx时，都有12210fxfxxx，则下列结论正确的是（）A．11111(3)(4)2fff

B．11111(3)(4)2fffC．11111(3)(4)2fffD．11111(4)(3)2fff【答案】C【分析】(1)yfx分析奇偶性，(4)()(2)fxfxf分析周期性，由

12210fxfxxx分析单调性，结合题意选出答案.【详解】因为(1)yfx的图象关于直线1x对称，所以()yfx向左平移一个单位关于直线1x对称，所以()yfx关于直线0x（y轴）对称，所以()yfx是偶函数，所以(2)(2)ff，又因为

(4)()(2)fxfxf，令2x得：2(2)(2)ff，所以2(2)(2)(2)fff，所以(2)(2)0ff，所以(4)()fxfx所以()fx周期为4，12,[0,2]

xx，当12xx时，都有12210fxfxxx，所以12120fxfxxx，所以()fx在[0,2]单调递增，所以()fx草图如下：由图像可得：(3)(3)(4)fff且11()(5)(3)(3)2ffff所以110

()(3)(4)2fff11111(3)(4)2fff所以选项C正确.故选:C.4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知实数,,abc满足2a，ln2ln22aaa，2b，ln2ln22bbb，12c，111lnln222ccc

，则（）A．cbaB．bcaC．acbD．abc【答案】D【分析】令lnfxxxx，利用导数可求得fx的单调性，可知10fxtt有两个不等解12,xx，并得到101x，21ex，根据

2212faffbffcf和22ff可确定,,abc的大小关系.【详解】由题意得：ln2ln22ln2ln22111lnln222aaabbbccc；令lnfxxxx，则

lnfxx，当0,1x时，0fx；当1,x时，0fx；fx在0,1上的单调递减，在1,上单调递增；min11fxf；又e0f，当0,1x时，0fx；方程10fxtt有两个不等解

12,xx，101x，21ex；2212faffbffcf，又10122e2，01a，01b，1ec；又22ff

，fafb，ab；综上所述：abc.故选：D.二、多选题5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的1x，2,xm，且12xx，都有122121lnln2xxxxxx，则m的值可能是（）（注2.71828e„为自然对数的底数）A．13B．1e

C．3eD．1【答案】BCD【分析】根据题意，化简得到2121ln2ln2xxxx，令ln2xfxx，可得()()21fxfx<，得出fx在,m上是减函数，结合0fx，即可求解.【详解】由题意，210xx，得210xx，

则122121lnln2xxxxxx等价于122121lnln2xxxxxx，即121212ln2ln2xxxxxx，所以1221ln2ln2xxxx，则2121ln2ln2xxxx，令ln2xfxx，可得()()21fxfx<，又21xxm，

所以fx在,m上是减函数，所以2ln10xfxx，解得1ex，则1em.故m可能值B、C、D符合要求.故选：BCD.6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数fx的定义域为0,，且满足221,0,1log3,1,2xxfxxx

，当2x时，2fxfx，为非零常数，则下列说法正确的是（）A．当1时，21log804fB．当0时，fx在10,11单调递增C．当1时，fx在0,4nnN的值域为2122,n

nD．当0，且1时，若将函数12xgx与fx的图象在0,2nnN的m个交点记为,1,2,3,,iixyim，则211mniiixyn【答案】BC【分析】对于A

，可推导得到4fxfx，由2225log80log5log4fff可知A错误；对于B，由fx在0,1上的单调性与在2,21nnnN单调性相同可知B正确；对于C，可推导出24nfxnfx，则fx在0

,1和41,41nnnN上单调递增，在43,41nnnN上单调递减，由此确定minmax,fxfx，知C正确；对于D，根据图象可确定gx与fx有n个交点坐标，可求得ix为等差数列，iy为等比数列，利用等差和等比数列

求和公式知D错误.【详解】对于A，当1时，2fxfx，则42fxfxfx，当2x时，4fxfx，2fxfx，2222255log80log80

4log5log2log44fffff25log45121144，A错误；对于B，当0时，fx在0,1上的单调性与在2,21nnnN的单调性相同，f

x在0,1上单调递增，fx在10,11上单调递增，B正确；对于C，由2fxfx得：242fxfxfx，依次类推可得：48fxfx，612fxfx，„„，则24nfxnfx；1

，fx在0,1和41,41nnnN上单调递增，在43,41nnnN上单调递减；当0,4xnnN时，21min414141nfxfnfnn213nf21211nnf

；212122max4343411nnnfxfnfnnf；fx在0,4nnN上的值域为2122,nn，C正确；对

于D，由图象可知：12xgx与fx的图象在0,2nnN有n个交点，且21ixi，11,2,3,,iiyin，0且1，数列ix是等差数列，数列iy是等比数列，

211112111211nnmnniiiiiiinnxyxyn，D错误.故选：BC.7．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2

上单调递增的偶函数有（）A．cos2yxB．tanyxC．sinyxD．lgsinyx【答案】BD【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.【详解】对于选项A，因为cos2yx在π

0,2上单调递减，所以cos2yxπ0,2上单调递减，故A错；对于选项B，结合tanyx的图象性质，易知tanyx是以π为周期且在π0,2上单调递增的偶函数，故B正确；对于选项C，结合sinyx的图象

性质，易知sinyx没有周期性，故C错；对于选项D，令sintx，易知sintx是以π为周期且在π0,2上单调递增的偶函数，因lgyt也是单调递增的，所以lgsinyx是以π为周期且在π0,2上单调递增的

偶函数，故D正确.故选：BD.三、填空题8．（2022·全国·模拟预测）已知函数22()log(1)fxxx，若对任意的正数,ab，满足()(31)fafb0，则31ab的最小值为_________.【答案

】12【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根()(31)0fafb得31ab，最后根据基本不等式求最值.【详解】因为210xx恒成立，所以函数fx的定义域为R，221log1fxxxQ，22log

1fxxx，所以fxfx，fx为奇函数，又22()log(1)fxxx在(,0)单调递减，所以()fx在(0,)单调递减，()fx在0x出连续，22()log(1)fxxx在(,0)单调递减，所以fx在R上单调递减，

310fafbQ，13fafb，13ab，即31ab，所以3131936baabababab9266612baab，当且仅当9baab，即12a，1

6b时，等号成立，所以31ab的最小值为12.故答案为：129．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数53xfxxa在1,上是减函数，则实数a的范围是_______.【答案】(2,4]【分析】转化原函数为2()13afxxa，利用反比例函数的单

调性结合定义域，即得解【详解】函数5()3xfxxa，定义域为(,3)(3,)xaa，又322()133xaaafxxaxa，因为函数5()3xfxxa在(1

,)上是减函数，所以只需23ayxa在(1,)上是减函数，因此2031aa，解得24a.故答案为：24a10．（2022·北京丰台·一模）设函数()fx的定义域为0,1，能说明“若函数()fx在

0,1上的最大值为1f，则函数()fx在0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【答案】213()24fxx，0,1x，（答案不唯一）【分析】根据题意，可以构造在定义域为0,1上，先减后增的函数，满足最大值

为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()fx的定义域为0,1，在0,1上的最大值为1f，但()fx在0,1上不是增函数，可以考虑定义域为0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24fxx，

0,1x符合，故答案为：213()24fxx，0,1x，（答案不唯一）.四、解答题11．（2022·江苏江苏·一模）已知实数0a，函数2lnlnefxxaaxx，e是自然对数的底数.(1)当ea时，求函数fx的单调区间；(

2)求证：fx存在极值点0x，并求0x的最小值.【答案】(1)单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e)(2)证明见解析，0x的最小值是e．【分析】（1）()fx求导，根据()fx的正负判定函数的增减即可；

（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.（1）当ea时，2()eln(e)fxxxx，则2e2(12e)e(21)(e)()12(e),(

0)xxxxfxxxxxx令()0fx，得ex；令()0fx，得ex；所以，函数()ygx的单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e)．（2）22(ln2e)()ln2(e)axaxafxaxxx

令2()2(ln2e)0txxaxa，因为2(ln2e)80aa，所以方程22(ln2e)0xaxa，有两个不相等的实根1212,xxxx，又因为1202axx，所以120xx，令02xx，列表如下:x00,x

0x0,xfx-0+fx减极小值增所以()fx存在极值点0x.所以存在0x使得2002(ln2e)0xaxa成立，所以存在0x使得200022elnxxxaxa，所以存在0x使得200

0ln22eaxaxxx对任意的0a有解，因此需要讨论等式左边的关于a的函数，记0()lnuttxt，所以0()1xutt，当00tx时，()0,()utut单调递减；当0tx时，()0,()utut单调递增．所以当0tx时，0()lnuttxt

的最小值为0000lnuxxxx．所以需要200000022elnlnxxaxaxxx，即需要200002(2e1)ln0xxxx，即需要002(2e1)ln0xx，即需要002ln(2e1)0xx因为()

2ln(2e1)vttt在(0,)上单调递增，且0()0vxve，所以需要0ex，故0x的最小值是e．12．（2022·山东青岛·一模）已知函数esincosxfxxxax．(1)若函数fx在0,上单调递增，求实数a的

取值范围；(2)设函数ln1gxfxx，若0gx，求a的值．【答案】(1)2a(2)3a【分析】（1）由题意ecossin0xfxxxa，利用分离参数法得到ecos

sinxaxx对0,x恒成立.设ecossinxhxxx，利用导数判断出函数hx在0,上单调递增，求出2a；（2）把题意转化为,1x，0gxg

恒成立.由0x为gx的一个极小值点，解得3a.代入原函数验证成立.(1)由题意知ecossinxfxxxa因为函数fx在0,上单调递增，所以ecossin0xfxxxa，即ecossinxaxx对0,x

恒成立设ecossinxhxxx，则esincos2sin4xxhxxxex当02x时，e2sin1104xhxx当2x

时，2e2e20hx所以函数ecossinxhxxx在0,上单调递增所以min02ahxh(2)由题知ln1esincosln11xgxfxxxxaxxx

所以1ecossin1xgxxxax，00g因为0gx，所以,1x，0gxg即0g为gx的最小值，0x为gx的一个极小值点，所以010ecos0sin0010ga

，解得3a当3a时，esincos3ln11xgxxxxxx所以11ecossin3e2sin3141xxgxxxxxx①当01x时，11310gx（当且仅当0x时等号成

立）所以gx在0,1上单调递增②当0x时，若02x，11310gx；若2x，22132e23302222gx所以gx在,0上单调递减综上，gx在,0上

单调递减，在0,1上单调递增所以当3a时，00gxg13．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知函数1()(1)(0)xfxxexx，()ln()xgxxeaxaR，且1()0fx(1)若1a，且0()0gx，试比较0x与1x的大小关系

，并说明理由；(2)若1a，且222(1)()()xfxgx，证明：（i）25593xe；（ii）12213232xxxex.（参考数据：1ln31.098,ln51.609,0.368e）【答案】(1

)01xx，理由见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）由0x时，(),()0fxgx，1()02f，1()02g可得011,(0,)2xx，构造1()ln(0)1mxxxx，求导分析单调性，由1112()()()ln2023gxmxm，

故10()()gxgx，分析即得解；（2）（i）由题意，22ln222222(1)(1)(ln)0xxxxexxx，先证明1xex，代入分析可得22ln0xx，构造()ln(0)xxxx，求导分析单调性，

结合而5()09，5()03e即得解；（ii）构造1()(1)(2)txxxxe，可得21(1)()fxfx，再构造()(32)(0)xhxxex，()()(1)Hxhxhx，分析即得解(1)对

函数()fx，()gx求导得：21()(2)0xfxxex，1()(1)0xgxxex当0x时，,fxgx.而13()222fe，1()ln222eg.由21.5e，13ln2ln16442e

知1()02f，1()02g因此0x，1x唯一且011,(0,)2xx由1111(1)0xxex知1111(1)xexx，1111()ln1gxxx.构造1()ln(0)1mxxxx，则221()

0(1)xxmxxx.故()mx在(0,)单调递增；因此1112()()()ln223gxmxm，由12ln2ln833知1()0gx.故10()()gxgx，结合()gx单调性知01xx

.(2)（i）证明：由题意得22ln222222(1)(1)(ln)0xxxxexxx.构造()1xrxex，则'()1xrxe，()(0)0rxr.因此1xex.因此22ln2222

2222220(1)(1)(ln)(1)(ln)xxxxexxxxxx.故22ln0xx.因此2222lnln222222222011ln11xxxxxxexxxxxe故22ln0xx

.因此22ln0xx.构造()ln(0)xxxx，则1()10xx.而55()ln52ln3099，55()ln5ln31033ee，因此25593xe.（ii）由22ln0xx知221xex

.因此222222221(1)(2)(2)1(1)1(1)xxxxexefxexex.构造1()(1)(2)txxxxe，则2()362txxx.因此()tx在33(1,1)33上单调递减.因此251()()0.3609txte，

故2(1)0fx.因此21(1)()fxfx，结合()fx单调性知211xx，故211xx.构造()(32)(0)xhxxex，()()(1)Hxhxhx，则()(12)xhxxe.因此()hx在1(0,)2上单调增，1(,1)2上单调减.而当1

02x时，1()(12)()0xxHxxee，()Hx单调减.因此11()()02HxH，11()(1)hxhx.而121112xx，因此21()(1)hxhx，因此12()()hxhx.因此12213232xxxex

.二、函数的最值一、单选题1．（2021·湖南·模拟预测）已知奇函数yfx为R上的增函数，且在区间2,3上的最大值为9，最小值为-6，则32ff的值为（）A．3B．1C．-1D．-3【答案】D【分析】由题意结合函数的单调性及奇

函数的性质即可得解.【详解】因为奇函数yfx为R上的增函数，且在区间2,3上的最大值为9，最小值为-6，所以26f，39f，所以32323ffff．故选：D.2．（2022·浙

江嘉兴·二模）设a，Rb，若0x时，恒有24324221xxxxaxbx，则（）A．||||2abB．2abC．||||2abD．2ab【答案】C【分析】利用特殊值及解决恒成

立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.【详解】当0x时，恒有24324221xxxxaxbx，当0x时，原式化为01b；当1x时，原式化为222ab，即0ab，,10aba.又0x时，24324221xxxx

axbx恒成立；3221axbxx，即3221axaxx恒成立；322(1)21(1)1axxxxxx恒成立；当1x时，21axx恒成立，2min11

axxx令2215()124fxxxx，则由二次函数的性质，知()fx在1单调递增；2()(1)1111fxf，即1a，又10a，1a，则1b.对于A，||||1ab，故A不正确；对于B，112ab

，故B不正确；对于C，||||112ab，故C正确；对于D，0ab，故D不正确.故选：C.3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）设53211fxxxgxxx（），（），则有（）A．存在000xfxgx

R，成立B．任意xfxgxR，（）（）恒成立C．任意xfxgxR，（）（）恒成立D．存在00012xfxgxR，成立【答案】B【分析】利用配方法可得fxgx223111222xx

，即得.【详解】∵532632111fxgxxxxxxxxx223111222xx又223110,022xx，∴22311112222xx

恒成立，即12fxgx恒成立，故ACD错误.故选：B.4．（2022·重庆·二模）已知22xxfx，若26fxmfx对任意xR恒成立，则实数m的最大值为（）A．2B．4C．26D．46【答案】B【分析】由题意，先求出2fx与

fx的关系，则题中不等式可以分离参数得4mfxfx恒成立，又2fx，则只需由基本不等式求出4fxfx的最小值，即可得出结果【详解】22222222222xxxxfxfx，因为26fxmfx对任意xR恒成立，且2fx

，所以244fxmfxfxfx，对任意xR恒成立令4gxfxfx，由基本不等式易得，当2fx时，gx取得最小值，且min4gx，故选：B5．（2022·天津实验中学模拟预测）已知函数2222,2log,

2xxxfxxx，若∃0x∈R，使得2054fxmm成立，则实数m的取值范围为()A．11,4B．1,14C．124，D．113，【答案】B【分析】问题等价于2min54mmfx，

求出minfx解不等式即可.【详解】x＜2时，f(x)＝2222111xxx，x＞2时，f(x)＝2logx＞1，故min1fx，∴2541mm，解得1,14m

.故选：B.二、多选题6．（2022·湖北·一模）已知函数12()||+||cosfxxxx，则下列说法正确的是（）A．()fx是偶函数B．()fx在（0，+∞）上单调递减C．()fx是周期函数D．()fx≥-1恒成立【答案】AD【分析】判定()

fx的奇偶性判断选项A；判定()fx的单调性判断选项B；判定()fx的周期性判断选项C；求得()fx的最小值判断选项D.【详解】()fx的定义域为R1122()||+||cos||+||cos()fxxxxxxxfx

，则()fx为偶函数.故选项A判断正确；0x时，()+cosfxxxx()1+sin02xfxxx恒成立，则()fx为0+，上增函数.故选项B判断错误；选项C判断错误；又()fx为偶函数，则()fx为,0-上减函数

又(0)0+0cos0=1f，则()fx的最小值为1.故选项D判断正确；故选：AD7．（2022·福建漳州·一模）已知函数22()9xfxx，则（）A．()fx的定义域为RB．()fx是偶函数C．函数(2022)yfx的零点为0D．当0x时，()fx的最大值为13

【答案】AD【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.【详解】对A，由解析式可知()fx的定义域为R，故A正确；对B，因为2222()()099xxfxfxxx，可知()fx是奇函数，故B不正确；对C,22

(2022)(2022)0(2022)9xyfxx，得2022x，故C不正确；对D,当0x时，222210()99392xfxxxxxx，当且仅当3x时取等号，故D正确.故选：AD三、填空题8．（2022·浙江省诸暨市第二高级中

学模拟预测）已知平面单位向量1e，2e满足1222ee.设12aee，123bee，向量a，b的夹角为，则sin的最大值是_______________.【答案】2929【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求2co

s函数关系式，根据函数单调性求最值，即得sin的最大值.【详解】，，，，∴当时，2cos取得最小值，则2sin取得最大值129，sin的最大值是2929.故答案为：2929.9．（2022·湖北·一模）已知函数1()fxxx（x>0

），若2()(())fxfxa的最大值为25，则正实数a=___________.【答案】1【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.【详解】令1(0)txxx，则2t，则22()1=(())fxtafxatatt令(0,2)aytatt

当04a时，aytt在2,上单调递增，12+2aytat则1204aatt，即2()(())fxfxa的最大值为24a则22=45a，解之得1a.当4a时，2atat（当且仅当=t

a时等号成立）则102aaatt，即2()(())fxfxa的最大值为2aa则2=25aa，解之得2516a（舍）综上，所求正实数1a故答案为：110．（2020·山东临沂·二模）若0,x，241xmx，则实数m的取值范围为___________

.【答案】,4【分析】利用基本不等式24114xxxx的最小值，由此可得出实数m的取值范围.【详解】0,x，241xmx，则2min41xmx，由基本不等式可得241114244xxxxxx，当且仅当14xx即

12x时，等号成立，所以4m，因此实数m的取值范围是,4.故答案为：,4.11．（2021·北京延庆·模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在

数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为xxfxaebe（其中a，b是非零常数，无理数2.71828e„），对于函数

fx以下结论正确的是______．①如果ab，那么函数fx为奇函数；②如果0ab，那么fx为单调函数；③如果0ab，那么函数fx没有零点；④如果1,ab那么函数fx的最小值为2．【答案】②③【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一

分析即可得到结论.【详解】对①：当ab时，函数xxfxaeae，此时xxfxaeaefx为偶函数，故①错误.对②：当0ab时，令0,0ab，函数xyae在其定义域上为单调递增函数，函数xbye在其定义域上也

为单调递增函数，故函数xxbfxaee在其定义域上为单调递增函数；当0,0ab，函数xyae在其定义域上为单调递减函数，函数xbye在其定义域上也为单调递减函数，故函数xxbfxaee在其定义域上为单调递减函数；综上：如果0ab，那么fx为单调函数；故②正确.

对③：当0,0ab时，函数220xxxxfxaebeaebeab，当0,0ab时，函数220xxxxfxaebeaebeab；综上：如果0ab，那么函数fx没有零点；故③正确.对④：由1ab

，则1ba，当0,0ab时，函数1122xxxxfxaeeaeeaa；当0,0ab时，函数1122xxxxfxaeeaeeaa；故1ab

时，函数fx没有最小值；故④错误.故答案为：②③12．（2021·浙江浙江·二模）设,abR，0，若224ab，且ab的最大值是5，则___________.【答案】4【分析】令ab=d与已知等式联立消元得一元二次方程，利

用判别式法即可得解.【详解】令ab=d，由224abdab消去a得：22()4dbb，即22(1)240bdbd，而bR，0，则22(2)4(1)(4)0dd，24(1)d，1122d

，依题意125，解得4.故答案为：4四、解答题13．（2022·海南·模拟预测）已知函数()sin2fxxx.(1)求()fx在区间上的最大值和最小值；(2)设()cos()gxaxfx，若当0,2x时，()0gx，求实数a的取值范围

.【答案】(1)最大值为，最小值为0(2),1【分析】（1）对函数()fx求导，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果；（2）对函数()gx求导，分1a和1a，两种情况研究函数的单调性，利

用函数的单调性求出()gx的最大值，再结合02g，即可求出结果.(1)解：由条件得()sincos2fxxxx，当,02x时，有sin0x，02x，cos0x，所以()0fx，即()fx在

上单调递减，因此()fx在区间上的最大值为2f，最小值为(0)0f.(2)解：由题意得()cossin2gxaxxx，所以()(1)sincos2gxaxxx

，若1a，当0,2x时，有()0gx，所以()gx在0,2上单调递增，所以()02gxg，符合题意.若1a，令()()hxgx，则()(2)cossin2hx

axxx，当0,2x时，()0hx，所以()hx在0,2上单调递减.又因为(0)2h，(1)02ha，所以()hx在0,2上存在一个零点0x，当0,2xx时，(

)0hx，即()0gx，所以()gx单调递减，此时()02gxg，不符合题意.综上可知，a的取值范围是,1.14．（2021·江西·模拟预测）设函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2

()1()93Rxxtfxt.(1)求()fx的解析式；(2)若1,x，使得()0fx，求实数t的取值范围.【答案】(1)21,093()0,021,093xxxxtxfxxtx

(2)19,3【分析】（1）根据函数的奇偶性可得答案；（2）转化为1,x，使得2()1093xxtfx，令33xmm，转化为221mtm在3m有解，构造函数123fxxxx利用单调性可得答案

.(1)因为函数()fx是定义在R上的奇函数，所以fxfx，且00f，设0x，则0x，所以2()1()93xxtfxfx，所以2()193xxtfx，所以21,0

93()0,021,093xxxxtxfxxtx.(2)若1,x，使得()0fx，由（1）知即1,x，使得2()1093xxtfx，令33xmm，则转化为221mtm在3m有解，令

123fxxxx，设123xx，则12121212121221112xxfxfxxxxxxxxx，因为123xx，所以121212210xxxxxx，所以120fxfx，即12fxxx在3x时是单调递增

函数，所以11192633mm，所以193t，所以实数t的取值范围是19,3.三、函数的奇偶性一、单选题1．（2022·广东茂名·二模）已知sinxxxf，则不等式

2110fmfm的解集为（）A．,2B．2,C．0,D．,0【答案】B【分析】确定函数的奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性变形不等式，由单调性求解．【详解】由题意知fx的定义域为R，且()()sinfxxxfx-=-+=

-，得fx为奇函数，且1cos0fxx，且fx在,上单调递增．由2110fmfm得211fmfm，即211mm．解得2m．故选：B．2．（2022·湖南湘潭·三模）函数2ln12fxxxx的部分

图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先通过奇偶性排除C选项，再结合20e1x时0fx排除A、B选项即可.【详解】易知，函数定义域为R，因为2ln12fxxxxfx，所以fx是奇函数，排除C选项；当20e1x时，221ex，

则22ln1220fxxxxxlnex，排除A、B选项.故选：D.3．（2022·广东茂名·二模）已知函数gx，hx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且exgxhxx，若函数

12e12xfxgx有唯一零点，则正实数的值为（）A．13B．12C．1D．2【答案】B【分析】首先利用方程组法求函数gx的解析式，由解析式判断()fx的对称性，利用导数分析()fx的单调性及极值

点，根据函数有唯一的零点知极小值(1)0f，即可求正实数值.【详解】由题设，eexxgxhxxgxhxxgxhx，可得：ee2xxgx，由12e12xfxgx，易知：()fx关于1x对称

.当1x时，1112()e(ee)22xxxfx，则111()e(ee)02xxxfx，所以()fx单调递增，故1x时()fx单调递减，且当x趋向于正负无穷大时()fx都趋向于正无穷大，所以()fx仅有一个极小值点1，则要使函数只有

一个零点，即10f，解得12.故选：B4．（2021·全国·模拟预测）已知fx为定义在R上的奇函数，且当0x时，2xfx，则2log2022f（）A．﹣2022B．2022C．120

22D．12022【答案】C【分析】根据奇函数的性质和对数运算法则即可求解.【详解】因为fx为定义在R上的奇函数，且当0x时，2xfx，所以221loglog20222022221log2022log2022222022ff，故选：

C.5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数yfx，若0fx且0fxxfx，则有（）A．fx可能是奇函数，也可能是偶函数B．11ffC．42x时，cos22s(os)(inc)

xfefxxD．(0)e(1)ff【答案】D【分析】根据奇函数的定义结合0fx即可判断A；令22exgxfx，利用导数结合已知判断函数gx的单调性，再根据函数gx的单调性逐一判断

BCD即可得解.【详解】解：若fx是奇函数，则fxfx，又因为0fx，与fxfx矛盾，所有函数yfx不可能时奇函数，故A错误；令22exgxfx，则222

222eeexxxgxxfxfxxfxfx，因为22e0x，0fxxfx，所以0gx，所以函数gx为增函数，所以11gg，即1122e1e1ff，所以11ff，故B错误；因为42x，所以20cos2x，2si

n12x，所以sincosxx，故sincosgxgx，即22sincos22esinecosxxfxfx，所以22cossincos222sinecosecosxxxfxfxfx，故C错误；有

01gg，即0e1ff，故D正确.故选：D.6．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数22xxafxa为奇函数，则实数a的值为（）A．1B．2C．1D．【答案】D【分析】根据题

意可得()0fxfx，计算可得1a，经检验均符合题意，即可得解.【详解】由()fx为奇函数，所以22122()022122xxxxxxxxaaaafxfxaaaa，所以222220xxa

，可得21a，解得1a，当1a时，()fx的定义域为R，符合题意，当1a时，()fx的定义域为,00,U符合题意，故选：D7．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22xxfxx，则使不等式(1)(2)fxfx成立的x的取值范围是（）

A．,1(),)1(B．(2,1)C．1,(1,)3D．(,2)(1,)【答案】D【分析】判断()fx的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解【详解】由||10x得()fx定义域为

,1(),)1(，)lg(||1)22()(xxfxfxx，故()fx为偶函数，而lg(||1)yx，122xxy在(1,)上单调递增，故()fx在(1,)上单调递增，则(1)(2)fxfx可化为121121xxxx

，得222141111xxxxx或解得12xx或故选：D8．（2022·天津三中二模）设函数()yfx的定义域为D，若对任意的12,xxD，且122xxa，恒有122fxfxb，则称函数

()fx具有对称性，其中点(,)ab为函数()yfx的对称中心，研究函数1()1tan(1)1fxxxx的对称中心，求13540432022202220222022ffff（）A．20

22B．4043C．4044D．8086【答案】C【分析】令函数1()tangtttt，得出函数()gt为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数1()1tan(1)21fxxxx的图象关于(1,2)点中心对称，得到

当122xx时124fxfx，再结合倒序相加法，即可求解.【详解】令函数1()tangtttt，则11tangtangtttttgttt，所以函数()gt为奇函数，其图象关于原点对称，可得1()1

tan(1)21fxxxx的图象关于(1,2)点中心对称，即当122xx，可得124fxfx，设13540432022202220222022Mffff4043404140391202220

2220222022Mffff，所以1404334041404312202220222022202220222022Mffffff

202248088所以135404340442022202220222022ffff.故选：C.二、多选题9．（2022·江苏泰州·

模拟预测）已知定义在R上的单调递增的函数fx满足：任意xR，有112fxfx，224fxfx，则（）A．当xZ时，fxxB．任意xR，fxfxC．存在非

零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=D．存在非零实数c，使得任意xR，1fxcx【答案】ABD【分析】令1xt可推导得22fxfx，结合1,2ff的值可知A正确；令1xt可推导得22fxfx，结合22fx

fx可推导知B正确；根据fx单调性可知C错误；当1c时，根据fx的对称中心及其在0,1时的值域可确定1c时满足1fxcx，知D正确.【详解】对于A，令1xt，则22ftft，即

22fxfx，又224fxfx，242422fxfxfxfx；令0x得：112ff，224ff，11f，22f，则

由22fxfx可知：当xZ时，fxx，A正确；对于B，令1xt，则22ftft，即22fxfx，2224222fxfxfxfx

，由A的推导过程知：22fxfx，22fxfxfx，B正确；对于C，fx为R上的增函数，当0T时，xTx，则fxTfx；当0T时，xTx，则

fxTfx，不存在非零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=，C错误；对于D，当1c时，fxcxfxx；由112fxfx，224fxfx知：fx关于1,1，2,2成中心对称，则当a

Z时，,aa为fx的对称中心；当0,1x时，fx为R上的增函数，00f，11f，0,1fx，1fxx；由图象对称性可知：此时对任意xR，1fxcx，D正确.故选：ABD.三、填空题10．（2022·广东深圳·二模）已知函数(

)lne1xfxkx是偶函数，则k___________．【答案】12##0.5【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.【详解】由题意知：()lne1xfxkx是偶函数，则xR，fxfx即：l

ne1lne1xxkxkx即：lne1lne1xxxkxkx即：1kxkx，解得：12k.故答案为：12.11．（2022·山东菏泽·一模）已知奇函数fx在区间,0上是增函数，且21f，

10f，当0x，0y时，都有fxyfxfy，则不等式3log10fx的解集为______．【答案】1114,22,1,1,242

【分析】根据函数的单调性将不等式进行转化，根据函数奇偶性和单调性的关系以及抽象函数关系判断出函数在区间(0,)上也是增函数，利用赋值法求得特殊值，再根据函数的单调性进行求解即可．【详解】不等式3log|()1|0fx等价为0

|()1|1fx，即0()11fx或1()10fx，即1()0fx或2()1fx，()fx是奇函数，且(2)1,(1)0ff，(2)1,(1)0ff，故11(1)(

2)(2)()022ffff，则1()12f，11111()()()()242222ffff，(4)(4)(2)(2)2ffff，又奇函数()fx在区间(,0)上是增函数，故()fx在区间(0,)上也是增函数，故1()0fx

即(2)()(1)ffxf或1()()(1)2ffxf，此时1(2,1)(,1)2x；而2()1fx即(4)()(2)ffxf或11()()()42ffxf，此时11(4,2)(,)42x；故不等式3log10fx的

解集为1114,22,1,1,242，故答案为：1114,22,1,1,24212．（2022·山东枣庄·一模）已知函数

lne1axfxx是偶函数，则实数a的值为______．【答案】2【分析】直接由偶函数得到fxfx，化简求解即可.【详解】由题意知：定义域为R，函数lne1axfxx是偶函数，则lne1lne1axaxfxxfxx

，即e1ln2e1axaxx，化简得lne2axx，解得2a.故答案为：2.四、函数的周期性一、单选题1．（2022·山东济宁·一模）定义在R上的奇函数fx满足2fxfx，则2022f（）A．0B．1

C．－1D．2022【答案】A【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f可得答案.【详解】因为2fxfx，可得2fxfx，所以(4)(2)()fxfxfx，所

以()fx的周期为4，函数()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)0f，所以(2)(0)0ff，(2022)(50542)(2)0fff.故选：A.2．（2022·福建·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，11fxfx

，且11f，则2021f（）A．1B．0C．2021D．1【答案】D【分析】根据奇函数的概念和性质可得f（x）是周期为4的函数，将f（2021）化为f（1）即可.【详解】因为f（x）为奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）

＝－f（x－1），所以f（x＋3）＝f（x＋2＋1）＝－f（x＋2－1）＝f（x－1），所以(4)()fxfx，即f（x）是周期为4的函数，故f（2021）＝f（1）＝－f（－1）＝－1.故选：D3．（2022·江苏江苏·二模）已知fx是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x

)＝(x－1)fx.若g(x＋1)是偶函数，则5()0.g＝()A．－3B．－2C．2D．3【答案】D【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到2gxgx，结合g(x)＝(x－1)fx和f(x)为偶函数即可

得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则0.52.51.52.5ggf即可求值﹒【详解】1gx为偶函数，则gx关于1x对称，即2gxgx，即112xfxxfx

，即20fxfx，fx关于1,0对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，∴22fxfxfx，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)

＝f(x)，fx周期为4，∴5.51.52.52.52ffff，0.52.51.52.53ggf.故选：D.二、多选题4．（2022·河北·模拟预测）若函数21fx（xR）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（

）A．函数fx的图象关于点1,0对称B．2是函数fx的一个周期C．20210fD．20220f【答案】AC【分析】本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数21Rfxx是奇函数得到关系式(21)(21)0fxfx和(1)0f，即可逐个判

断出选项.【详解】函数21Rfxx是奇函数，(21)(21),(21)(21)0fxfxfxfx，函数fx图象关于点1,0对称，故A正确；函数21Rfxx是周期为2，所以fx的周期为4，故B错误；

函数21Rfxx是周期为2的奇函数，20214505110fff，故C正确；2022450522fff，无法判断(2)f的值，故D错误.故选：AC.5．（2022·全国·模拟预测）已知函数sincossi

n2fxxxx，则（）A．是函数fx的一个周期B．4x是函数fx的一条对称轴C．函数fx的最大值为21，最小值为1D．函数fx在35[,]43上单调递增【答案】ABC【分析】根据给定条件利用周期定义、对称

性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利用复合函数单调性判断选项D作答.【详解】因sincossin2sincossin2fxxxxxxxfx，A正确；因()|sin()cos()|sin2()|coss

in|2222fxxxxxxsin(2)xsincossin2()xxxfx，B正确；令sincosxxt，有2sin21xt，则2sincossin21yxxxtt，

2sin0,24tx，因为21ytt在0,2上单调递增，即函数fx的最大值为21，最小值为1，C正确；函数fx由21ytt和sincosxxt复合而成，函数21ytt在0,2上单调递增，2sin4tx

在35[,)44上递增，在55(,]43上递减，则函数fx在35[]43，上不单调，D不正确.故选：ABC6．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在R上的偶函数yfx对任意的x满足2fxfx

，当01x时，fxx，函数,00log1,0aaxxgxaxx且1a，则下列结论正确的有（）A．fx是周期为2的周期函数B．当23x时，fxxC．若gx在R上单调递减，则0

1aD．若方程fxgx在R上有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是11,4,653【答案】ACD【分析】根据周期性定义可知A正确；由021x，2fxfx可知B错误；由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段

处大小关系，由此得到不等式组知C正确；分别在1a和01a两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得a的范围，知D正确.【详解】对于A，2fxfx，fx是周期为2的周期函数，

A正确；对于B，当23x时，021x，22fxx，又fx是周期为2的周期函数，当23x时，22fxfxx，B错误；对于C，若gx在R上单调递减，则001aa，01a

，C正确；对于D，当1a时，若fxgx在R上有4个不同的实数根，则大致图象如下图所示，log311log511aa，解得：46a；当01a时，若fxgx在R

上有4个不同的实数根，则大致图象如下图所示，3151aa，解得：1153a；综上所述：a的取值范围为11,4,653，D正确.故选：ACD.三、填空题7．（2022·广东

茂名·二模）请写出一个函数fx_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②Rx，4fxfx．【答案】cos2x(答案不唯一)【分析】根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数

解析式.【详解】由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，所以()cos2xfx满足题设要求.故答案为：cos2x(答案不唯一)8．（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数fx满足fxfx且2fxfx，则函数fx的解析式可以是______.【答案】si

nfxx（答案不唯一）；【分析】根据题意，得到函数fx是定义域R上的奇函数，且周期为2，进而得到函数的解析式.【详解】由题意，函数fx满足fxfx且2fxfx，可得函数fx是定义域R上的奇函数，且周期为2，可令函

数的解析式为sinfxx（答案不唯一）；故答案为：sinfxx（答案不唯一）；五、函数的对称性一、单选题1．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数ygx的图象与函数sin2yx的图象关于直线x对称，将gx的图象向右平移3

个单位长度后得到函数yfx的图象，则函数yfx在0,2x时的值域为（）A．3322，B．312，C．312，D．01，【答案】C【分析】由对称性先求出gx的解析式，再由

平移得出yfx的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域.【详解】设,xy为gx的图像上一点，则点,xy关于直线x对称的点为2,xy由题意点2,xy在函数sin2yx的图象上，则sin22sin2yxx所以sin2gxx，则

2sin2sin233fxxx当0,2x时，223323,x，则23sin21,32x所以312fx故选：C2．（2021·全国·模拟预测）已知函数2226

fxxxxaxb，且对任意的实数x，4fxfx恒成立.若存在实数1x，2x，„，0,5nx（*Nn），使得12nniifxfx成立，则n的最大值为（）A．25B．26C．28D．31【答案】B【分析】求解本题的关键：一是根据已知条件得到40ff

，31ff，从而求出函数fx的解析式；二是根据函数fx的解析式的结构特征换元求得0,5x时fx的值域；三是根据题意得到1215121nnfxfxfxfxn.【详

解】由题意得40ff，31ff，所以816466,393616,ababab解得6,8,ab所以2422226864262426fxxxxxxxxxx2222

2x.令22xt，若0,5x，则0,9t.令222htt，0,9t，故2,51ht，即当0,5x时，2,51fx.存在1x，2x

，„，0,5nx（*Nn）使得12nniifxfx成立，即存在1x，2x，„，0,5nx（*Nn），使得121nnfxfxfxfx，由0,5x时，fx的最小值为2，最大值为51，得1215121

nnfxfxfxfxn，得532n，又*Nn，所以可得n的最大值为26.故选：B.3．（2021·浙江·模拟预测）已知定义在R上的图象连续的函数fx的导数是()fx¢，20fxfx

，当1x时，110xfxxfx，则不等式10xfxf的解集为（）A．(1,1)B．,1C．()1,+?D．,11,【答案】A【分析】由题设，易知10fxxfx，构造1Fxxfx

，利用导数研究其在,1上的单调性，并确定对称轴，进而得到1,的单调性，由10xfxf等价于10FxF，即可求解集.【详解】当1x时，110xfxxfx，即有10fxxfx

．令1Fxxfx，则当1x时，10Fxfxxfx，故Fx在,1上单调递增．∵22121FxxfxxfxFx

，∴Fx关于直线1x对称，故Fx在1,上单调递减，由10xfxf等价于102FxFF，则210x，得11x．∴10xfxf

的解集为(1,1)．故选：A.4．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知定义在R上的函数()fx满足：对任意xR，都有(1)(1)fxfx，且当(,1)x时，(1)()0xfx（其中()fx为()fx的导函数）．设2log3af，3log2bf

，1.52cf，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cabC．bacD．acb【答案】C【分析】由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“f”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得大小关系．【详解】由(1)(1)fxfx，得()yfx

的图象关于直线1x对称，又1x时，(1)()0xfx，所以()0fx，即()fx在(,1)上单调递减，所以在(1,)上单调递增，21log32，1.522，3log21，3339(log2)(2log2)(log

)2fff，223log3log222，33931loglog3322，所以1.53291loglog322，所以bac．故选：C．二、多选题5．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知三次函数3

2()1fxaxbxcx，若函数()()1gxfx的图象关于点（1，0）对称，且(2)0g，则（）A．0aB．()gx有3个零点C．()fx的对称中心是(1,0)D．1240abc【答案】ABD【分析】由题设32()gxaxb

xcx且()(2)0gxgx，可得3,2baca，代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误.【详解】由题设，32()gxaxbxcx，且()(2)0gxgx，所以3232(2)(2)(2)0axbxcxaxbxcx，

整理得2(3)2(3)420abxbaxabc，故342abacb，可得3,2baca，故()(1)(2)gxaxxx，又(2)240ga，即0a，A正确；()gx有3个零点，B正确；由()(2)()1(

2)10gxgxfxfx，则()(2)2fxfx，所以()fx关于(1,1)对称，C错误；1241212220abcaaaa，D正确.故选：ABD三、填空题6．（2022·重庆·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数fx的解

析式__________.①fx的定义域为R，值域为0,；②11fxfx；③fx在,0上单调递减.【答案】2()(1)fxx【分析】根据②判断函数对称性，结合①③的性质选择函数即可.【详解】因

为11fxfx，所以函数fx的对称轴为：1x，该函数可以是二次函数，又因为fx的定义域为R，值域为0,，在,0上单调递减，所以该二次函数为：2()(1)fxx，故答案为：2()(1)fxx7．（2022

·广东广州·二模）函数sinln23fxxx的所有零点之和为__________．【答案】9【分析】根据给定条件，构造函数sinyx，ln23yx，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由

0sinln|23|xxfx，令sinyx，ln23yx，显然sinyx与ln23yx的图象都关于直线32x对称，在同一坐标系内作出函数sinyx，ln23yx的图象，如图，观察

图象知，函数sinyx，ln23yx的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,xxxxxx，这6个点两两关于直线32x对称，有1625343xxxxxx，则1234569xxxxxx，所以函数sinln23fxxx的所有零点之和为9

.故答案为：9一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知函数yfx是偶函数，当(0,)x时，01xyaa，则该函数在(,0)上的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选

项.【详解】当(0,)x时，01xyaa，所以fx在0,上递减，fx是偶函数，所以fx在,0上递增.注意到01a，所以B选项符合.故选：B2．（2020·山东·

高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数1x，2x，总有21210fxfxxx成立，则函数fx一定是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【答案】C【分析】利用函数单调性定义即可得到答

案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x，2x，总有21210fxfxxx成立，等价于对于任意两个不相等的实数12xx，总有12fxfx.所以函数fx一定是增函数.故选：C3．（2020·山东·高考真题）函数1lg

fxx的定义域是（）A．0,B．0,11,C．0,11,UD．1,【答案】B【分析】根据题意得到0lg0xx，再解不等式组即可.【详解】由题知：0lg0xx

，解得0x且1x.所以函数定义域为0,11,.故选：B4．（2021·全国·高考真题（理））设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb．若036ff，则92f（）A．94

B．32C．74D．52【答案】D【分析】通过1fx是奇函数和2fx是偶函数条件，可以确定出函数解析式222fxx，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为1fx是奇函

数，所以11fxfx①；因为2fx是偶函数，所以22fxfx②．令1x，由①得：024ffab，由②得：31ffab，因为036ff，所以462ababa，令0x，由①得：

11102fffb，所以222fxx．思路一：从定义入手．9551222222ffff1335112222ffff

511322=2222ffff所以935222ff．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数

fx的周期4T．所以91352222fff．故选：D．5．（2021·全国·高考真题（文））设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A．53B．13C．13D．53【答案

】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff，而21111133333ffff

，故5133f.故选：C.6．（2021·全国·高考真题（理））设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A．11fxB．11fxC．11fx

D．11fx【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211f

xx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B二、填空题7．（2021·全国·

高考真题）已知函数322xxxafx是偶函数，则a______.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.【详解】因为322xxxafx，故322xxfxxa

，因为fx为偶函数，故fxfx，时332222xxxxxaxa，整理得到12+2=0xxa，故1a，故答案为：1三、解答题8．（2021·全国·高考真题（文））已知函数()2,()2321fxxgxxx．（1）画出yf

x和ygx的图像；（2）若fxagx，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将yfx向左平

移可满足同角，求得yfxa过1,42A时a的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2xxfxxxx，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x

gxxxxxx，画出函数图像如下：（2）()|2|fxaxa，如图，在同一个坐标系里画出,fxgx图像，yfxa是yfx平移了a个单

位得到，则要使()()fxagx，需将yfx向左平移，即0a，当yfxa过1,42A时，1|2|42a，解得112a或52（舍去），则数形结合可得需至少将yfx向左平移112个单位，112a.一、单选题1.（2022·全国·模拟预测）已知函数

222,0,0xxxfxxax的值域为1,，则a的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】利用函数的单调性分别求出0x和0x时，所对应函数解析式的范围，根据函数fx的值域即可求出a的取值范围.【详解】由已知得当0x时，22221

1fxxxx，值域为1,；当0x时，fxxa，值域为,a；∵函数fx的值域为1,，∴1a，则a的最小值为1.故选：A.2.（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）下列函数中，既是偶函数又在0,单调递增的函数是（）A.ln

yxB.1yxC.21yxD.3xy【答案】B【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在0,上的单调性即可判断作答.【详解】对于A，函数lnyx定义域是0,，不是偶函数，A不是；对于B，函数1yx定义域为R，是偶函数且在0,上单

调递增，B是；对于C，函数21yx定义域为R，是偶函数且在0,上单调递减，C不是；对于D，函数3xy定义域为R，是偶函数且在0,上单调递减，D不是.故选：B3.（2022·全国·模拟预测）函数()ln||1cosfxxx在

[,]上的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性，排除部分选项，再利用特殊点处的函数值排除不合适的选项，即可得解.【详解】由题知()fx的定义域为R，()()fxfx，所以()fx是偶

函数，排除A；()ln11lne10f，排除B，D.故选：C.4.（2022·全国·模拟预测）已知函数2,1ln,1xxfxxx，则eff（）A.eB.1C.14D.12【答案】C【分析】根据分段函数的定义及对数的运算即可求得答案.【详解】由

题意，11elne24ffff.故选：C.5.（2022·全国·模拟预测）函数2()lnxfxxx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】解法一，利用特殊值，即可排除选

项；解法二，通过特殊值，以及0x时，lnxx，即可排除选项.【详解】解法一由(1)10f，排除A；由e2(e)0e1f，排除C；因为222221221ee(1)1011e22eeff

，所以21(1)eff，排除B.故选：D.解法二当0x时，lnxx，()0fx，排除B；由1(3)03ln3f，排除A，C.故选：D.6.（2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的

函数fx满足114fxfx，且当1x时，222582fxxx，则不等式2ln10fxx的解集为（）A.2,B.1,C.()1,2D.

22,e【答案】A【分析】由题设得12f且fx关于()1,2中心对称，利用导数及对称性研究fx在R上单调性，再讨论ln1x的符号并利用单调性解不等式.【详解】由114fxfx得：12f且fx关于()1,2成中心对称

．当1x时，222225258210022fxxxxx，当且仅当3x时等号成立，所以fx在1,上单调递增，由中心对称可得：fx在R上单调递增．由2l

n10fxx得：1020lnxfx或1020lnxfx，解得2x.故选：A．7.（2022·全国·模拟预测）若函数32113fxxaxx在3,30aaa上的最大值与最小值

之和不小于14，则实数a的取值范围为（）A.10,3B.10,2C.0,1D.0,2【答案】B【分析】法一：由题设得2()210fxxaxa，结合二次函数的性质研究()fx符号，进而确定()fx的单调性，

求得不同情况下的最值并结合maxmin1()()4fxfx，即可求参数范围；法二：由题设可得331faa、331831faaa，应用作差法，与()fx比较大小，即可确定最值结合maxmin1()()4fxfx，即可求参数范围；【详解】法一

：由题意，2210fxxaxa，对于()0fx¢=，当2440a，即01a时，()0fx¢³，fx在3,3aa上单调递增，所以31332184fafaa，即318a，因此102a；当2440a，即1a时，

由2440a、30fa且30fa，则()0fx¢=在3,3aa上有两个不相等的实根1x，2x，不妨设12xx，则13,ax上()0fx¢>，12,xx上()0fx¢<，2,3x

a上()0fx¢>，所以fx在13,ax上单调递增，在12,xx上单调递减，在2,3xa上单调递增，由此，2minmin3,fxfafx，1maxmax3,fxfafx.由

32221111111111113333310333fxfaxaxxaxxaxaxax，则13fxfa，同理可得23fxfa，所以max3fxfa，min3fxfa，则313

32183fafaa，解得12a，与1a矛盾.综上，102a.法二：由题意得：32133331313faaaaaa，32313333118313faaaaaaa.当3,3xaa时，3222

1113333310333fxfaxaxxaxxaxaxax，即3fxfa，所以max3fxfa；3233223113183218333fxfaxaxxaaxaxaxaxa

222132933xxaaxaxa，又30xa，2290xa，即3fxfa，所以min3fxfa.综上，331333118312184fafaaaaa，即318a

，得102a.故选：B.8.（2022·全国·模拟预测）已知fx为R上的奇函数，22f，若12,0,xx且12xx，都有1221120fxfxxxxx，则不等式114x

fx的解集为（）A.,13,B.,3C.1,3D.1,【答案】C【分析】设gxxfx，由题意得到gx为偶函数且在0,上单调递增，由2224fg将原不等式转化为12gxg，然后利用gx的

图象与性质将问题转化为12x，解不等式即可得解.【详解】由1221120fxfxxxxx，得1122120xfxxfxxx，设gxxfx，则gx在0,上单调递

增，∵fx为奇函数，∴gx为偶函数，而1114222gxxfxfg，则12x，解得：13x-<<，故选：C.9.（2022·广东汕头·一模）定义在R上的偶函数fx满足22fxfx，且当0,2

x时，21,012sin1,122xxfxxx，若关于x的方程lnmxfx至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（）A.11,00,ln6ln5B.11,ln6ln5C.11,00,ln6ln5

D.11,ln6ln5【答案】B【分析】根据条件可得出函数()fx是以4为周期的周期函数，作出()yfx，lnymx的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当0

x时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.【详解】因为22fxfx，且fx为偶函数所以(2)(2)fxfx，即()(4)fxfx，所以函数()fx是以4为周期的周期函数，作出()yfx，lnymx在同一坐标系的图象，如图，因为方程lnmxfx至少有

8个实数解，所以()yfx，ln||ymx图象至少有8个交点，根据()yfx，ln||ymx的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当0m时，只需ln51m，即10ln5m，当0m时，

只需ln61m，即10ln6m，当0m时，由图可知显然成立，综上可知，11ln6ln5m.故选：B二、多选题10.（2022·辽宁大东·模拟预测）已知yfx是定义域为R的奇函数，且2yfx为偶函数，若当0,2x时，231log2fxxa

，下列结论正确的是（）A.1aB.13ffC.26ffD.120222f【答案】BD【分析】确定函数()fx的周期性，然后由周期性、奇偶性求值．【详解】(2)yfx是偶函数，即图象关于y轴对称，

所以()yfx的图象关于直线2x对称，又()fx是奇函数，所以(4)[2(2)][2(2)]fxfxfx()()fxfx，所以(8)(4)()fxfxfx，所以()fx是周期为8的周期

函数，231(0)log02fa，所以21a，1a，A错；(1)(21)(21)(3)ffff，B正确；(6)(2)(2)fff，而311(2)log(21)022f，所以(6)(2

)ff，C错；(2022)(25286)ff1(6)(2)(2)2fff，D正确．故选：BD．11.（2022·河北·模拟预测）已知定义在R上的偶函数()fx，其导函数为()fx，当0x

时，()sin20fxx.则（）A.(0)0fB.函数()yfxx在区间[0,)上单调递减C.不等式()cos22fxfxx的解集为,4D.不等式()cos22fxfxx的解集为,4

【答案】BC【分析】对于A，由偶函数的性质判断，对于B，由已知可得0x时，()10fx，从而可判断，对于CD，令2()()cosgxfxx，先判断其奇偶性，然后利用导数可判断出()gx在[0,)上单调递减，再将()cos22fxfxx

转化为22cos()cos22fxxfxx，则()2gxgx，再利用其单调性可解得，【详解】对于A，由()fx为偶函数，(0)f不一定为0，所以A错误，对于B，当0x时，由()sin20fxx，有()10fx

，可得函数()yfxx在[0,)上单调递减，所以B正确，对于CD，令2()()cosgxfxx，∴22()()cos()()cosgxfxxfxx，为偶函数.当0x时，()()sin20gxfxx，∴()gx在[0,)上单调

递减.又∵()gx为偶函数，故()gx在(,0]上单调递增.由()cos22fxfxx，得22()cossin2fxfxxx，∴22sin()cos2fxxfxx，即22cos()cos22fxxfxx

.∴()2gxgx.∴||2xx，解得4x.所以C正确，D错误，故选：BC12.（2022·江苏泰州·一模）定义：在区间I上，若函数yfx是减函数，且yxfx是增函数，则称yfx在区间I上是“弱减函数

”.根据定义可得（）A.1fxx在0,上是“弱减函数”B.exxfx在1,2上是“弱减函数”C.若lnxfxx在,m上是“弱减函数”，则emD.若2cosfxxkx

在0,2上是“弱减函数”，则213k【答案】BCD【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.【详解】对于A，1yx在0,上单调递减，1yxfx不单调，故A错误；对于B，exxfx，

1exxfx在()1,2上()0fx¢<，函数fx单调递减，2exxyxfx，2220eexxxxxxy，∴y在()1,2单调递增，故B正确；对于C，若lnxfxx在,m单调递减，由21l

n0xfxx，得ex，∴em，lnyxfxx在0,单调递增，故C正确；对于D，2cosfxxkx在0,2上单调递减，sin20fxxkx在0,2x上恒成立minsin2xkx

，令sinxhxx，2cossinxxxhxx，令cossinxxxx，cossincossin0xxxxxxx，∴x在0,2上单调递减，00x，∴0hx，∴hx在

0,2上单调递减，22hxh，∴212kk，3cosgxxfxxxkx在0,2上单调递增，2cossin30gxxxxkx在0,2x上恒成立

，∴2maxsincos3xxxkx，令2sincosxxxFxx，23cos2cos0xxxFxx，∴Fx在0,2上单调递增，22FxF，∴2233

kk，综上：213k，故D正确.故选：BCD.13.（2022·全国·模拟预测）已知函数()cos2cosfxxax，则（）A.()fx的最小正周期为B.函数()fx的图象关于直线x对称C.当2a

时，函数()fx在,3上单调递增D.若函数()fx在0,2上存在零点，则a的取值范围是(1,)【答案】BCD【分析】利用周期的定义可判断A，利用对称性的概念可判断B，

利用复合函数的单调性可判断C，由题可得12att在(0,1)上有解，然后利用函数的单调性即求.【详解】因为()cos2()cos()cos2cosfxxaxxax，所以0a时，()()fxfx，故A错误；因为(2)c

os2(2)cos(2)cos2cos()fxxaxxaxfx，所以函数()fx的图象关于直线x对称，故B正确；当2a时，2()2cos2cos1fxxx，设costx，当,3x时，costx单调递减且11,

2t，又函数2221ytt在11,2上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数()fx在,3上单调递增，故C正确；设costx，则当0,2x时，(0,1)t，又()

0fx在0,2上有解，故方程2210tat在(0,1)上有解，得12att在(0,1)上有解，易知12ytt在(0,1)上单调递减，所以(1,)a，故D正确.故选：BCD.14.（202

2·山东菏泽·一模）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：227．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值355113，

后来人们发现635510113，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知3.141592653589793238462643383279502，定义fnnN的值为的小数点后第n个位置上的数字，如11f，45f，规

定03f．记1fnfn，1*kkfnffnkN，集合kA为函数kfnnN的值域，则以下结论正确的有（）A.10,1,2,3,4,5,6,7,8,9AB.31,2,3,4,5,6,9AC.对*,1kkNAD.对*,kkNA中至少

有两个元素【答案】AC【分析】对于A：根据定义，直接求出10,1,2,3,4,5,6,7,8,9A，即可判断；对于B：根据定义，直接求出3fn的值域为1,2,3,4,5,9，即可判断；对于C：求出1111111k

kffffff，即可判断；对于D：求出k=10时，9fn的值域为1，即可否定结论.【详解】对于A：由题意，集合kA为函数kfnnN的值域，所以集合1A为函数1fn的值域.所以由1fnfn可得：1111ff，1662f

f，1993ff，1224ff，1445ff，1776ff，113137ff，111118ff，1559ff，132320

ff，故10,1,2,3,4,5,6,7,8,9A.故A正确.对于B：由题意，集合kA为函数kfnnN的值域，所以集合3A为函数3fn的值域.规定03f．记1fnfn，1*kkfnffnkN，所以32fnffn，

令fnm，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9m，则321fnfmffm，因为03,11,24,31,45,59,62,76,ffffffff85,93ff，所以

210031,ffff211111,ffff212245,ffff213311,ffff214459,ffff

215593,ffff216624,ffff217762,ffff218859,ffff219931,ffff所以3fn的值域为1,2,3,4,5,9.故B错

误.对于C：因为11f，所以1111111kkffffff，所以对*,1kkNA.故C正确；对于D：由C的推导可知：1111111kkffffff.因为1fnfn，1*kkfnffnkN

，所以109fnffn，令fnm，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9m，则1098fnfmffm，因为03,11,24

,31,45,59,62,76,ffffffff85,93ff，所以98877003311,fffffff911,f

9887766554422445599331ffffffffffffffff9883311ffff，

9887766554455993311,fffffffffffff988776655993311,ffffffffff，

9887766554466224455993ffffffffffffffff9887766554477662244559

ffffffffffffffff9887766558855993311,fffffffffffff98877993311fffffff即k=10时，10fn的值域

为1.故D错误.故选：AC三、填空题15.（2022·山东潍坊·一模）已知函数212log1,1,3,1,xxxfxx则31log12ff______.【答案】7【分析】根据函数212log1,13,1xxxfxx每

段的定义域求解.【详解】因为函数212log1,1,3,1,xxxfxx所以3312log12log43log1212log23,334ff，所以31log12ff7，故答案为：

716.（2022·全国·模拟预测）已知函数ee2sinxxfxx，则不等式lnln2ln20fxfx的解集为______.【答案】1,2【分析】首先判断函数fx的单调性及奇偶性，将

lnln2ln20fxfx脱掉“f”，得到lnln2ln2xx，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得解.【详解】由ee2sinxxfxx，得ee2cosxxfxx，∵ee2ee2xxxx，2cos2x，等号不会同时取得，∴

ee2cos0xxfxx，∴函数fx为增函数.∵ee2sinee2sinxxxxfxxxfx，∴函数fx为奇函数；故lnln2ln20fxfx，即lnln2ln2fxfx

，∴lnln2ln2fxfx，可得lnln2ln2xx，令lnln2ln2gxxx，则11ln2ln2xgxxx，且120gg，当2(0,loge]x时，0gx，gx单调

递增，此时2[1,loge]x时，0gx，当2loge,x时，0gx，gx单调递减，此时2loge2x，时，0gx，所以不等式lnln2ln20fxfx的解集为1,2.17.（2022·全国·模拟

预测）已知函数2()lg10(0)xfxmxm为偶函数，则m__________.【答案】1【分析】由函数为偶函数可得22lg10lg10xxmxmx，化简整理得2(1)1010xm，从而可求

出m的值【详解】由偶函数的定义得()()fxfx，所以22lg10lg10xxmxmx，即2210lg210xxmxm，所以222101010xxxmm，即2210110xxmm，整理得

2(1)1010xm，此等式在函数()fx的定义域内恒成立，所以10m，即1m.故答案为：118.（2022·全国·模拟预测）已知函数1112xfxa（0a且1a），若不等式205,1faxbxcb

的解集为1,2，则a的取值范围是___________.【答案】51,3【分析】由0fx得到a取不同值时x的范围，由20faxbxc的解集为1,2得到20axbxc及0420abcabc，即可得出答案

.【详解】若0fx，则11012xa，即1xa，当01a时，0x，当1a时，0x.由20faxbxc的解集为1,2，得1a，20axbxc，故21200xaxbxc或时，，所以0,420,abcabc

解得3ba，又因为5,1b，所以531a，又1a，所以513a.故答案为：51,3