【文档说明】通用版高考数学(文数)一轮复习第07单元《平面向量》学案(含详解) .doc，共(49)页，741.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第七单元平面向量教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过对应学生用书向量的有关概念[过双基]名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|

a|平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0[小题速通]1．若向量a与b不相等，则a与b一定()

A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．关于平面向量，下列说法正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量

就是相等向量解析：选C对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于

D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.3．下列命题中，正确的个数是()①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；2③若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合．A．

0B．1C．2D．3解析：选A对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同

，故④错误．综上，正确的命题个数是0.[清易错]1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方

向限制．1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：选D可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．2．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，

一定能使a|a|＋b|b|＝0成立的是()A．a＝2bB．a∥bC．a＝－13bD．a⊥b解析：选C“a|a|＋b|b|＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.向量共线定理及平面向量基本定理[过双基]1．向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条

件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.2．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.3其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[小题速通]1．

已知a，b是不共线的向量，AB―→＝λa＋b，AC―→＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：选D∵A，B，C三点共线，∴AB―→∥AC―→，设AB―→＝mAC―→(m≠0)，即λa＋b＝ma＋mμb，∴

λ＝m，1＝mμ，∴λμ＝1.2．(南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则mn的值为()A．－12B.12C．－2D．2解析：选C∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则

λn＝m，－λ＝2，故mn＝－2.3．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC―→＝2AE―→，则EM―→＝()A.12AC―→＋13AB―→B.12AC―→＋16AB―→C.16

AC―→＋12AB―→D.16AC―→＋32AB―→解析：选C如图，∵EC―→＝2AE―→，∴EM―→＝EC―→＋CM―→＝23AC―→＋12CB―→＝23AC―→＋12(AB―→－AC―→)＝16AC―→＋12AB―→.[清易错]1．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不

存在，也可能有无数个．42．平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的．这一点是易忽视的．1．(大连双基测试)给出下列四个命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比

较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C①错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；②正确，因为向量既有大小，又有方向

，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；③错误，当a＝0时，不论λ为何值，都有λa＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向量．2.如图，在△OAB中，P为线段AB上

的一点，OP―→＝xOA―→＋yOB―→，且BP―→＝2PA―→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14解析：选A由题意知OP―→＝OB―→＋B

P―→，又BP―→＝2PA―→，所以OP―→＝OB―→＋23BA―→＝OB―→＋23(OA―→－OB―→)＝23OA―→＋13OB―→，所以x＝23，y＝13.平面向量的运算[过双基]1．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律5加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换

律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向

与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2．平面向量的坐标运算(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直

的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标运算①向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx

1，λy1)，|a|＝x21＋y21.②向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB―→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[小题

速通]1．(嘉兴测试)在△ABC中，已知M是BC边的中点，设CB―→＝a，CA―→＝b，则AM―→＝()A.12a－bB.12a＋bC．a－12bD．a＋12b6解析：选AAM―→＝AC―→＋CM―→＝－CA―→＋12CB―→＝－b＋12a.2．设D是线段BC的中点，且AB―→

＋AC―→＝4AE―→，则()A．AD―→＝2AE―→B．AD―→＝4AE―→C．AD―→＝2EA―→D．AD―→＝4EA―→解析：选A∵D是线段BC的中点，∴AB―→＋AC―→＝2AD―→，∵AB―→＋AC―→＝

4AE―→，∴AD―→＝2AE―→.3．已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB―→＝(2,4)，AC―→＝(1,3)，则AD―→＝()A．(－1，－1)B．(3,7)C．(1,1)D．(2,4)解析：选A由题意可得AD―→＝BC―→＝AC―→－AB―→＝(1,3

)－(2,4)＝(－1，－1)．4．已知A(2,3)，B(4，－3)，且AP―→＝3AB―→，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，∵A(2,3)，B(4，－3)，且AP―→＝3AB―→，∴(x－2，y－3)＝3(2，－6)＝(6，－18)，∴x－2＝6

，y－3＝－18，解得x＝8，y＝－15，∴点P的坐标为(8，－15)．答案：(8，－15)5．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝_____

___.解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.答案：－16．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA―→＋OB―→＋2OC

―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．解析：∵D为AB的中点，∴OA―→＋OB―→＝2OD―→，7∵OA―→＋OB―→＋2OC―→＝0，∴OC―→＝－OD―→，∴O是CD的中点，∴S△AOC＝S△AOD＝12S△AOB＝14S△AB

C.答案：4[清易错]1．向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．2．数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件

不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.1．若向量AB―→＝(1,2)，BC―→＝(3,4)，则AC―→＝()A．(2,2)B．(－2，－2)C．(4,6)D．(－4

，－6)解析：选CAC―→＝AB―→＋BC―→＝(4,6)．2．已知向量a，b不共线，若AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a－b，CD―→＝－5a－3b，则四边形ABCD是()A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形解析：选A因为AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a

－b，CD―→＝－5a－3b，所以AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→＝－8a－2b，所以AD―→＝2BC―→，即直线AD与BC平行，而向量AB―→与CD―→不共线，即直线AB与CD不平行，故四边形ABCD是梯形．3．(河北联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，

若a∥b，则2a＋3b＝()A．(－5，－10)B．(－2，－4)C．(－3，－6)D．(－4，－8)解析：选D由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．平面向量的数量积8[过双基]1．向量的夹角定义图

示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2．平面向量

的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a²b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a²b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积3．平面向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a.(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)．(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.结论几何表示坐标表示模|a|＝a²a|

a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a²b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21²x22＋y22a⊥b的充要条件a²b＝0x1x2＋y1y2＝0|a²b|与|a||b|的关系|a²b|≤|a||b||x1x

2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[小题速通]1．设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝2e1－e2，b＝e2，则|a＋2b|＝()A．22B.5C．2D．49解析：选B∵向量e1，e

2是两个互相垂直的单位向量，∴|e1|＝1，|e2|＝1，e1²e2＝0，∵a＝2e1－e2，b＝e2，∴a＋2b＝2e1＋e2，∴|a＋2b|2＝4e21＋4e1²e2＋e22＝5，∴|a＋2b|＝5.2．(云南检测)设向量a＝(－1,

2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－72B．－12C.32D.52解析：选D因为a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(

－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－12，所以a²b＝－1³－12＋2³1＝52.3．已知|a|＝1，|b|＝2，a²(a－b)＝3，则a与b的夹角为()A.π3B.π6C.π2D．π解析：选D设a与b的夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝2，∵a²(a－b)＝a2－a²b＝1

2－1³2³cosθ＝3，∴cosθ＝－1.又θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为π.4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为2π3，则|a＋2b|＝________.解析：∵(a＋2b)2＝a2＋4a²b＋4b2＝4＋4³2³1³

－12＋4＝4，∴|a＋2b|＝2.答案：25．(衡水中学检测)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝2，AC＝1，若AD―→＝32AB―→，则CD―→²CB―→＝________.10解析：∵AD―→＝32AB―→，∴CD―→²CB―→＝(CA―→＋AD―→)²CB―→＝C

A―→＋32AB―→²CB―→＝32CB―→－12CA―→²CB―→＝32CB―→2，又∵C＝90°，AB＝2，AC＝1，∴CB＝3，∴CD―→²CB―→＝92.答案：926．(东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，DE―→＝2EC―→，

DF―→＝12(DC―→＋DB―→)，则BE―→²DF―→＝________.解析：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B(0,0)，E2，23，D(2,2)．由DF―→＝1

2(DC―→＋DB―→)，知F为BC的中点，所以F(1,0)，故BE―→＝2，23，DF―→＝(－1，－2)，∴BE―→²DF―→＝－2－43＝－103.答案：－103[清易错]1．0与实数0的区别：0a＝

0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a²0＝0≠0.2．a²b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a²b＝0时，有可能a⊥b.3．在运用向量夹角时，注意其取值范围为[0，π]．1．有下列说法：①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a²b>0，则a和b的夹角为锐角，若a²b<0，则a和b的夹角为钝角；③(a²b)c＝a(b²c)；④若a²b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法个数为()A．0B．311C．4D．2答案：A2．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：由题意可得a²b>0，且a，b不共线，即2＋λ＋3>0，2＋λ1≠13，解得λ>－5，且λ≠－53.答案：－5，－53∪－53，＋∞3．已知向量a，b满足a＝(2,0)，|b|

＝1，若|a＋b|＝7，则a与b的夹角是________．解析：由|a＋b|＝7，得(a＋b)2＝a2＋2a²b＋b2＝4＋2a²b＋1＝7，∴a²b＝1，∴|a|²|b|²cos〈a，b〉＝1，∴cos〈a，b〉＝12.又〈a，b〉∈[0，π]，∴a，b的夹角为

π3.答案：π3一、选择题1．(常州调研)已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA―→＋OB―→＋OC―→＝0，则下列结论正确的是()A．OA―→＝13AB―→＋23BC―→B．OA―→＝23AB―→＋13BC―→C．OA―→＝13

AB―→－23BC―→D．OA―→＝－23AB―→－13BC―→解析：选D∵OA―→＋OB―→＋OC―→＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA―→＝－23³12(AB―→＋AC―→)＝－13(AB―→＋AC―→)＝－13(AB―

→＋AB―→＋BC―→)＝－13(2AB―→＋BC―→)12＝－23AB―→－13BC―→.2．(合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC―→＋CB―→＝0，则向量OC―→等于()A.

23OA―→－13OB―→B．－13OA―→＋23OB―→C．2OA―→－OB―→D．－OA―→＋2OB―→解析：选C因为AC―→＝OC―→－OA―→，CB―→＝OB―→－OC―→，所以2AC―→＋C

B―→＝2(OC―→－OA―→)＋(OB―→－OC―→)＝OC―→－2OA―→＋OB―→＝0，所以OC―→＝2OA―→－OB―→.3．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，则|a－b|的值为()A．1B.13C．13D.7－23解析：选A由

向量a与b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝2，可得a²b＝|a|²|b|²cos30°＝3³2³32＝3，所以|a－b|＝a－b2＝a2＋b2－2a²b＝3＋4－2³3＝1.4．(成都一诊)在边长为1的等边△ABC中，设BC―→＝a，CA―→＝b，AB―→＝c，则a²b＋b

²c＋c²a＝()A．－32B．0C.32D．3解析：选A依题意有a²b＋b²c＋c²a＝－12＋－12＋－12＝－32.5．已知非零向量a，b满足a²b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为π4，则|b|＝()

A．6B．32C．22D．3解析：选D由非零向量a，b满足a²b＝0，可知两个向量垂直，由|a|＝3，且a与a13＋b的夹角为π4，说明以向量a，b为邻边，a＋b为对角线的平行四边形是正方形，所以|b|＝3.6．(青岛二模)在平面直角坐标系中，已

知向量a＝(1,2)，a－12b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2B．－4C．－3D．－1解析：选D依题意得b＝2a－a－12b＝(－4,2)，所以2a＋b＝(－2,6)，所以6x＝－2³3＝－6，x＝－1.7．在平面直角坐标系

xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝π4，且|OC―→|＝2，若OC―→＝λOA―→＋μOB―→，则λ＋μ＝()A．22B.2C．2D．42解析：选A因为|OC―→|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)，又OC―→＝λOA―→＋μOB

―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.8.已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则

(BD―→＋BE―→)²(BE―→－CE―→)的值为()A．－1B．－12C.12D．2解析：选D注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，BD―→＋BE―→＝2BC―→.又BE―→－CE―→＝BE―→＋EC―→＝BC―→，且|BC―→|＝12T＝12³2ππ＝1，14

因此(BD―→＋BE―→)²(BE―→－CE―→)＝2BC―→2＝2.二、填空题9．(洛阳一模)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．解析：∵AB―→＝(a－1,3)，AC―→＝(－3,4

)，据题意知AB―→∥AC―→，∴4(a－1)＝3³(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54.答案：－5410．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA―→＝a，OB―→＝b，则DC―→＝________，BC―→＝________.(用a，b表示)解析

：如图，DC―→＝AB―→＝OB―→－OA―→＝b－a，BC―→＝OC―→－OB―→＝－OA―→－OB―→＝－a－b.答案：b－a－a－b11．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.答案：－312．若向量a＝(2,3)，b＝(－4,

7)，a＋c＝0，则c在b方向上的投影为________．解析：∵a＋c＝0，∴c＝－a＝(－2，－3)，∴c²b＝8－21＝－13，且|b|＝65，∴c在b方向上的投影为|c|cos〈c，b〉＝|c|²c²b|c||b|＝c²b|b|＝－1365＝－655.答案：－65515三、解答题13．

已知向量a＝(3,0)，b＝(－5,5)，c＝(2，k)．(1)求向量a与b的夹角；(2)若b∥c，求k的值；(3)若b⊥(a＋c)，求k的值．解：(1)设向量a与b的夹角为θ，∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)，∴a²b＝3³(－5)＋0³5＝－15，

|a|＝3，|b|＝－2＋52＝52，∴cosθ＝a²b|a|²|b|＝－153³52＝－22.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.(2)∵b∥c，∴－5k＝5³2，∴k＝－2.(3)∵a＋c＝(5，k)，又b⊥(a＋c)，∴b

²(a＋c)＝0，∴－5³5＋5³k＝0，∴k＝5.14．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，

求x的值．解：(1)若m⊥n，则m²n＝0.由向量数量积的坐标公式得22sinx－22cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为π3，∴m²n＝|m|²|n|cosπ3，即22sinx－22cosx＝12，16∴sinx－π4＝12.又∵x∈

0，π2，∴x－π4∈－π4，π4，∴x－π4＝π6，即x＝5π12.高考研究课一平面向量的基本运算考点考查频度考查角度平面向量的线性运算5年1考三角形中的线性运算平面向量的坐标运算5年3考求坐标及待定参数共线向量定理5年3考已知共线求参数值平面向量的线性运

算[典例](1)(济南模拟)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB―→＝a，CA―→＝b，a²b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD―→＝()A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2C

D，M，N分别为CD，BC的中点．若AB―→＝λAM―→＋μAN―→，则λ＋μ＝________.[解析](1)∵a²b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，CD＝255，∴BD＝55，AD＝455，∴AD

∶BD＝4∶1.∴AD―→＝45AB―→＝45(CB―→－CA―→)＝45a－45b.(2)法一：由AB―→＝λAM―→＋μAN―→，得AB―→＝λ²12(AD―→＋AC―→)＋μ²12(AC―→＋AB―→)，则μ2－1AB―→＋λ2AD―→＋

λ2＋μ2AC―→＝0，17得μ2－1AB―→＋λ2AD―→＋λ2＋μ2AD―→＋12AB―→＝0，得14λ＋34μ－1AB―→＋λ＋μ2AD―→＝0.因为AB―→，AD―→不共线，所以由平面向量基本定理得

14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得AB＝45AT，则45AT―→＝AB―→＝λAM―→＋μAN―→，即AT―→＝54λAM―→

＋54μAN―→，因为T，M，N三点共线，所以54λ＋54μ＝1.故λ＋μ＝45.[答案](1)D(2)45[方法技巧](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组

基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[即时演练]1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝()18A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C结合图形易得，

a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.2.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE―→＝λAB―→＋μAC―→，则λ＋μ的值为()A.12B．－12C．1D．－1解析：选A法一：由题意得AE―→＝AD―→＋12AB―→＝BC―→

＋AB―→－12AB―→＝AC―→－12AB―→，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A.法二：利用坐标法，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C

(1,1)，E12，1，∴AE―→＝12，1，AB―→＝(1,0)，AC―→＝(1,1)，则12，1＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝12.平面向量的坐标运算[典例

](1)在△ABC中，点P在BC上，且BP―→＝2PC―→，点Q是AC的中点，若PA―→＝(4,3)，PQ―→＝(1,5)，则BC―→等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6

，－21)(2)(绍兴模拟)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN―→＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)[解析](1)由题意，AC―→＝2AQ―→＝2(PQ―→－PA

―→)＝2(－3,2)＝(－6,4)，PC―→＝AC―→－AP―→＝(－6,4)－(－4，－3)＝(－2,7)，∵BP―→＝2PC―→，19∴BC―→＝3PC―→＝(－6,21)．(2)MN―→＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则

MN―→＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以x－5＝－3，y＋6＝6，即x＝2，y＝0.[答案](1)B(2)A[方法技巧]向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法

则．[即时演练]1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－12a＋32bB.12a－32bC.32a－12bD．－32a＋12b解析：选B设c＝λ1a＋λ2b，则(

－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，所以λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c＝12a－32b.2．已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点．若AB―→∥a，则点B的坐标为_

_______．解析：设B(x,2x)，AB―→＝(x－3,2x)．∵AB―→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6)．答案：(－3，－6)共线向量定理及应用平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小

，属低档题.,常见的命题角度有：利用向量共线求参数或点的坐标；利用向量共线解决三点共线问题.角度一：利用向量共线求参数或点的坐标1．若向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()A．2B．320C．4D．6解析：选B∵a∥b，∴2³6－4x＝0，解得x＝3.

2．已知梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC―→＝2AB―→.设点D的坐标为(x，y)，则DC―→＝(4－x，2－y)，AB

―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4)．答案：(2,4)3．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，且(a＋c)∥(

a－b)，则m＝________.解析：因为a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，所以a＋c＝(1＋m，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)．又(a＋c)∥(a－b)，所以(1＋m)(m－5)＋(m＋3)＝0，即m2－3m－2＝0，解得m＝3＋172或m＝3－172.答案：3±

172[方法技巧]1．利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．2．利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共

线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．角度二：利用向量共线解决三点共线问题4．(南阳五校联考)已知向量OA―→＝(1，－3)，OB―→＝(2，－1)，OC―→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三

点不能构成三角形，则k＝________.解析：若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB―→，AC―→共线，∵AB―→＝OB―→－OA―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC―→＝OC―→－OA―

→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，21∴1³(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.答案：15．设两个非零向量a与b不共线，若AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．证明：因为AB―→

＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，所以BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB―→.所以AB―→，BD―→共线．又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．[方法技巧]三点共线问题的求解策略解决点共线或向量共线问题时，要结合向量共线定

理进行，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．1．(全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP―→＝λAB―→＋μAD―→，则λ＋μ的最大值为()A．3B．22C.5D．2解

析：选A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为222＋12＝25，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4

5.因为P在圆C上，所以P1＋255cosθ，2＋255sinθ.又AB―→＝(1,0)，AD―→＝(0,2)，AP―→＝λAB―→＋μAD―→＝(λ，2μ)，22所以1＋255cosθ＝λ，2＋255sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋25

5cosθ＋55sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.2．(2015²全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC―→＝3CD―→，则()A．AD―→＝－13AB―→＋43AC―→B．AD―→＝13AB―

→－43AC―→C．AD―→＝43AB―→＋13AC―→D．AD―→＝43AB―→－13AC―→解析：选AAD―→＝AC―→＋CD―→＝AC―→＋13BC―→＝AC―→＋13(AC―→－AB―→)＝43AC―→－13AB―→＝－13AB―→＋43AC―→.3．(2015²全国卷Ⅰ)已知点A(0

,1)，B(3,2)，向量AC―→＝(－4，－3)，则向量BC―→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)解析：选A法一：设C(x，y)，则AC―→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从

而BC―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．法二：AB―→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC―→＝AC―→－AB―→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．4．(全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2

＋|b|2，则m＝________.解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a²b＝|a|2＋|b|2，∴a²b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.答案：－25．(全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝_____

___.23解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4³3＝0，∴m＝－6.答案：－66．(2015²全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：∵λa＋b与a

＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴λ＝t，1＝2t，解得λ＝12，t＝12.答案：127．(2014²全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO―→＝12(AB―→＋AC―→)，则AB―→与AC―→的夹角为________．解析：由AO―

→＝12(AB―→＋AC―→)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB―→与AC―→的夹角为90°.答案：90°一、选择题1.(长春模拟)如图所示，下列结论正确的是()①PQ―→＝32a＋32b；②PT―→＝32a－b；③PS

―→＝32a－12b；④PR―→＝32a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C①根据向量的加法法则，得PQ―→＝32a＋32b，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT―→＝32a－32b，故②错误；③PS

―→＝PQ―→＋QS―→＝32a＋32b－2b＝32a－12b，故③正确；24④PR―→＝PQ―→＋QR―→＝32a＋32b－b＝32a＋12b，故④错误，故选C.2．(长沙一模)已知向量OA―→＝(k,12)，OB―

→＝(4,5)，OC―→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B.43C.12D.13解析：选AAB―→＝OB―→－OA―→＝(4－k，－7)，AC―→＝OC―→－OA―→＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB―→，AC―→共线，

∴－2³(4－k)＝－7³(－2k)，解得k＝－23.3．(嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA―→＋OB―→＋CO―→＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90

°解析：选A由OA―→＋OB―→＋CO―→＝0得，OA―→＋OB―→＝OC―→，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.4．若OA―→＝a，OB―→＝b，a与b不共线，则∠AOB平

分线上的向量OM―→为()A.a|a|＋b|b|B.a＋b|a＋b|C.|b|a－|a|b|a|＋|b|D．λa|a|＋b|b|，λ由OM―→确定解析：选D以OM为对角线，以OA―→，OB―→方向为邻边作平行四边形OCMD，∵OM平分

∠AOB，∴平行四边形OCMD是菱形．25设OC＝OD＝λ，则OC―→＝λa|a|，OD―→＝λb|b|，∴OM―→＝OC―→＋OD―→＝λa|a|＋b|b|，且λ由OM―→确定．5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且D

C―→＝2BD―→，CE―→＝2EA―→，AF―→＝2FB―→，则AD―→＋BE―→＋CF―→与BC―→()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得AD―→＝AB―→＋BD―→＝AB―→

＋13BC―→，BE―→＝BA―→＋AE―→＝BA―→＋13AC―→，CF―→＝CB―→＋BF―→＝CB―→＋13BA―→，因此AD―→＋BE―→＋CF―→＝CB―→＋13(BC―→＋AC―→－AB―→)＝CB―→＋23BC―→＝－13BC―→，故

AD―→＋BE―→＋CF―→与BC―→反向平行．6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM―→＝xAB―→，AN―→＝yAC―→，则xyx＋y的值为()A．3B.13C．2D.12解析：选B利用三角形的性质，过重心作

平行于底边BC的直线，易得x＝y＝23，则xyx＋y＝13.7．(兰州模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ，若a∥b，则锐角θ＝()A.π6B.π426C.π3D.5π12解析：选B因为a∥b，所以(1－s

inθ)³(1＋sinθ)－1³12＝0，得sin2θ＝12，所以sinθ＝±22，故锐角θ＝π4.8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD―→＝14(AB―→＋AC―→)，A

P―→＝AD―→＋18BC―→，则△APD的面积为()A.34B.32C.3D．23解析：选A法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE―→＝12(AB―→＋AC―→)，又AD―→＝14(AB―→＋AC―→)，所以点D是AE

的中点，AD＝3.取AF―→＝18BC―→，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知AP―→＝AD―→＋18BC―→＝AD―→＋AF―→.而△APD是直角三角形，AF＝12，所以△APD的面积为12³12³3＝34.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立

如图所示的平面直角坐标系．∵等边三角形ABC的边长为4，∴B(－2，－23)，C(2，－23)，由题知AD―→＝14(AB―→＋AC―→)＝14[(－2，－23)＋(2，－23)]＝(0，－3)，AP―→＝AD―→＋18BC―→＝(0，－3)＋18(4,0)＝12，－3，∴△ADP的面

积为S＝12|AD―→|²|DP―→|＝12³3³12＝34.二、填空题9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC―→＝5e1，DC―→＝3e2，则OC―→＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形AB

CD中，因为O是对角线的交点，所以OC―→＝12AC―→＝12(AB―→＋AD―→)＝12(DC―→＋BC―→)＝12(5e1＋3e2)＝52e1＋32e2.27答案：52e1＋32e210．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD

―→＝xAB―→＋yAC―→＋zAS―→，则x＋y＋z＝________.解析：依题意得BD―→＝AD―→－AB―→＝12(AS―→＋AC―→)－AB―→＝－AB―→＋12AC―→＋12AS―→，因此x＋y＋z＝－1＋12＋12＝0.答案：011．(贵阳模拟)已知平面向量a

，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．解析：设a＝(x，y)，∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，∴x2＋y2＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±22.∴a＝

22，22或－22，－22.答案：22，22或－22，－2212.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆

弧DE上变动(如图所示)，若AP―→＝λED―→＋μAF―→，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1，0)，

D(0,1)，F32，12，设P(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，∵AP―→＝λED―→＋μAF―→，∴(cosα，sinα)＝λ(－1,1)＋μ32，12＝－λ＋32μ，λ＋μ2，∴cosα＝－λ＋3

2μ，sinα＝λ＋μ2，∴λ＝14(3sinα－cosα)，μ＝12(cosα＋sinα)，28∴2λ－μ＝sinα－cosα＝2sin(α－45°)，∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，∴－22≤sin(α－

45°)≤22，∴－1≤2sin(α－45°)≤1，∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题13.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE―→＝23AD―→，AB―→＝a，AC―→＝b.(1)用a，b表示向量AD―→，AE―→，AF―→，BE

―→，BF―→；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使AD―→＝12AG―→，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以AG―→＝a＋b，AD―→＝12AG―→＝12(a＋b)，AE―→＝23AD―→＝13(a＋b)，AF―→＝12AC―→＝12b，BE―→

＝AE―→－AB―→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF―→＝AF―→－AB―→＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE―→＝23BF―→，又因为BE―→，BF―→有公共点B，29所以B，E，F三点共线．14

．(郑州模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题

意得2³(3＋4k)－(－5)³(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝5，∴x－－y－＝0，x－2＋y－2＝5，解得

x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．15.如图，在△OAB中，OC―→＝14OA―→，OD―→＝12OB―→，AD与BC交于点M，设OA―→＝a，OB―→＝b.(

1)用a，b表示OM―→；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE―→＝pOA―→，OF―→＝qOB―→，求证：17p＋37q＝1.解：(1)设OM―→＝xa＋yb，由OC―→＝14OA―→，得OM―→＝4xOC―→＋yb，∵C，M，B三点共线，∴4x＋y

＝1.①由OD―→＝12OB―→，得OM―→＝xa＋2yOD―→，∵A，M，D三点共线，∴x＋2y＝1，②联立①②得，x＝17，y＝37.∴OM―→＝17a＋37b.(2)证明：∵OE―→＝pOA―→，OF―→＝qOB―→，30∴OA―→＝1pOE

―→，OB―→＝1qOF―→，∴OM―→＝17²1pOE―→＋37²1qOF―→.∵E，M，F三点共线，∴17p＋37q＝1.1．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足PA―→＋xPB―→＋yPC―→＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为

S，S1，S2，S3，记S1S＝λ1，S2S＝λ2，S3S＝λ3，则λ2²λ3取最大值时，3x＋y的值为()A.12B.32C．1D．2解析：选D由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.∵P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，∴λ1＝12，∴λ2＋λ3＝12，∴λ2λ3≤λ2

＋λ322＝116，当且仅当λ2＝λ3＝14时取等号，∴λ2²λ3取最大值时，P为EF的中点．延长AP交BC于M，则M为BC的中点，∴PA＝PM，∴PA―→＝－PM―→＝－12(PB―→＋PC―→)，又∵PA―→＋xPB―→＋yPC―→＝0，∴x＝y＝12，∴3x＋y＝2.312.如图，在Rt

△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP―→＝12PC―→，点M，N在过点P的直线上，若AM―→＝λAB―→，AN―→＝μAC―→(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为()A．2B.83C．3D.10

3解析：选B∵AM―→＝λAB―→，AN―→＝μAC―→(λ>0，μ>0)，∴MB―→＝MP―→＋PB―→＝(1－λ)AB―→.∵M，P，N三点共线，∴存在实数k，使MP―→＝kMN―→＝k(AN―→－AM―→)＝－kλAB―→＋kμAC―→.∵BP―→＝12PC―

→，∴PB―→＝13CB―→＝13AB―→－13AC―→.∴MP―→＋PB―→＝13－kλAB―→＋kμ－13AC―→＝(1－λ)AB―→，∴13－kλ＝1－λ，①kμ－13＝0，②由②得，k＝13μ代入①得，13－λ3μ＝1－λ，∴μ＝λ3λ－2，∴λ＋2

μ＝λ＋2λ3λ－2.设f(λ)＝λ＋2λ3λ－2，λ>0，∴f′(λ)＝9λ2－12λλ－2，令f′(λ)＝0，得λ＝0或λ＝43.当λ∈0，43时，f′(λ)<0，当λ∈43，＋∞时，f′(λ)>0.∴λ＝43时，f(λ)取极小值，也是最小值，又f

43＝83，∴f(λ)的最小值为83，即λ＋2μ的最小值为83.32高考研究课二平面向量的数量积及应用[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度数量积的运算5年5考求数量积及由数量积求参数向量的模5年2考求模及由模的关系求参数向量夹角及

垂直5年4考由向量垂直求参数，由坐标求向量夹角平面向量的数量积的运算[典例](1)已知等边△ABC的边长为2，若BC―→＝3BE―→，AD―→＝DC―→，则BD―→²AE―→等于()A．－2B．－103C．2D.103(2)已知正

方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE―→²CB―→的值为______；DE―→²DC―→的最大值为________．[解析](1)如图所示，BD―→²AE―→＝(AD―→－AB―→)²(AB―→＋BE―→)＝12AC―→－

AB―→²AB―→＋13AC―→－13AB―→＝12AC―→－AB―→²13AC―→＋23AB―→＝16AC―→2－23AB―→2＝16³4－23³4＝－2.(2)法一：如图，DE―→²C

B―→＝(DA―→＋AE―→)²CB―→＝DA―→²CB―→＋AE―→²CB―→＝DA―→2＝1，DE―→²DC―→＝(DA―→＋AE―→)²DC―→＝DA―→²DC―→＋AE―→²DC―→＝AE―→²DC―→＝|AE―→|²|DC―→|≤|DC

―→|2＝1，故DE―→²DC―→的最大值为1.33法二：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE―→＝(t，－1)，CB―→＝(0，－1)，所以DE―→²CB―→＝(t，－1)²(0，

－1)＝1.因为DC―→＝(1,0)，所以DE―→²DC―→＝(t，－1)²(1,0)＝t≤1，故DE―→²DC―→的最大值为1.法三：由图知，无论E点在哪个位置，DE―→在CB―→方向上的投影都是C

B＝1，∴DE―→²CB―→＝|CB―→|²1＝1.当E运动到B点时，DE―→在DC―→方向上的投影最大，即为DC＝1，∴(DE―→²DC―→)max＝|DC―→|²1＝1.[答案](1)A(2)11[方法技巧]平面向量数量积的2种运算方法方法

运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a²b＝|a|²|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y

1)，b＝(x2，y2)，则a²b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题[即时演练]1．(天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF―→²BC―→的值为()A．－58B.

1834C.14D.118解析：选B如图所示，AF―→＝AD―→＋DF―→.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD―→＝12AB―→，DF―→＝12AC―→＋14AC―→＝34AC―→，所以AF―→＝12AB―→＋34AC―→.又BC―→＝AC―→－AB―→，则AF―→

²BC―→＝12AB―→＋34AC―→²(AC―→－AB―→)＝12AB―→²AC―→－12AB―→2＋34AC―→2－34AC―→²AB―→＝34AC―→2－12AB―→2－14AC―→²AB―→

.又|AB―→|＝|AC―→|＝1，∠BAC＝60°，故AF―→²BC―→＝34－12－14³1³1³12＝18.2．(豫东名校联考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF―→＝3FA―→，若D

E是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FD―→²FE―→的值是________．解析：FD―→²FE―→＝(FA―→＋AD―→)²(FA―→＋AE―→)＝(FA―→＋AD―→)²(FA―→－AD―→)＝FA―→2－AD―→2＝142－1＝－1516.答案：－151

6平面向量数量积的性质平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.常见的命题探究角度有：平面向量的模；平面向量的夹角；平面向量的垂直.35角度一：平面向量的模1．(浙江高考)已知向量a，b满足|a

|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.又|a＋b|＋|a－b|2≤a＋b2＋a－b22＝a2＋b2＝5，∴|a＋b|＋|a－b|

的最大值为25.法二：设a，b的夹角为θ.∵|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝a2＋b2＋a－b2＝5＋4cosθ＋5－4cosθ.令y＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，则y2＝10＋225－16cos2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20

]，∴y∈[4,25]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4，最大值为25.答案：4252．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)²(3b－c)＝0，则|c|的最大值为________．解析：设c＝(x，y)，2a－c＝(2

－x,2－y)，3b－c＝(－3－x,3－y)，则由题意得(2－x)²(－3－x)＋(2－y)²(3－y)＝0，即x＋122＋y－522＝132，表示以－12，52为圆心，262为半径

的圆，所以|c|的最大值为26.答案：26[方法技巧]利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2＝a²a＝|a|2或|a|＝a²a.(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a²b＋b2.(3)若a＝(x，y)，则|

a|＝x2＋y2.[提醒]与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用．角度二：平面向量的夹角3．已知单位向量e1与e2的夹角为60°，则|e1－2e2|＝________.解析：∵单位向量e1与e2的夹角为60°，36∴|

e1|＝|e2|＝1，e1²e2＝|e1|²|e2|²cos60°＝12，∴|e1－2e2|＝e21－4e1e2＋4e22＝1－2＋4＝3.答案：34．(洛阳期末)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a

²(a＋λb)>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－53.当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴1＋λ＝m，2＋λ＝2m，解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb

共线，综上可知，实数λ的取值范围为－53，0∪(0，＋∞)．[方法技巧]向量夹角问题的2个注意点(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a与b夹角为锐角⇔a²b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角⇔

a²b<0且a，b不共线．角度三：平面向量的垂直5．(山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e1－e2e1＋λe2|3e1－e2|²|e1＋λe2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，

解得λ＝33.答案：336．(山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．37解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．又a⊥(ta＋b)，

则a²(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.答案：－5[方法技巧]两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a²b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.平面向量与三角函数的综合[典例](怀化模拟)已知在△ABC中

，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m²n＝sin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA―→²(AB―→－AC―→)＝18，求c.[解](1

)由已知得m²n＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)，∵在△ABC中，A＋B＝π－C,0<C<π，∴sin(A＋B)＝sinC，∴m²n＝sinC，又m²n＝sin2C，∴sin2C＝sinC，cosC＝12，C＝π3.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，

可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.∵CA―→²(AB―→－AC―→)＝18，∴CA―→²CB―→＝18，即abcosC＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3³36，c2＝3

6，∴c＝6.[方法技巧]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立38等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他

向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[即时演练]1．(云南检测)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a²b在区间0，π2上是增函数，则实数t的取值范围是____

____．解析：由f(x)＝a²b＝tsinx＋x，得f′(x)＝tcosx＋1，因为函数f(x)在区间0，π2上是增函数，所以f′(x)≥0在区间0，π2上恒成立，即tcosx＋1≥0恒成立，即t≥－1cosx在0，π2上恒成立，所以t≥－1co

sxmaxx∈0，π2，所以t≥－1.答案：[－1，＋∞)2．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝π6，求向量a，c的夹角；(2)当x∈π2，9π8时，求函数f(x)＝2a²

b＋1的最小值．解：(1)当x＝π6时，cos〈a，c〉＝a²c|a||c|＝－cosxcos2x＋sin2x²－2＋02＝－cosx＝－cosπ6＝－32.又∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝5π6，即向量

a，c的夹角为5π6.(2)f(x)＝2a²b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4.39∵x∈π2，

9π8，∴2x－π4∈3π4，2π，故sin2x－π4∈－1，22，∴当2x－π4＝3π2，即x＝7π8时，f(x)取得最小值为－2.3．(临沂模拟)已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角

α；(2)若|m－n|＝2，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m²n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝12，可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z.(2)若|m－n|＝2，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2c

osα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝34，即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2³916＝－18.1．(全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A

BC内一点，则PA―→²(PB―→＋PC―→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1解析：选B40如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

则A(0，3)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA―→＝(－x,3－y)，PB―→＝(－1－x，－y)，PC―→＝(1－x，－y)，所以PA―→²(PB―→＋PC―→)＝(－x，3－y)²(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝

0，y＝32时，PA―→²(PB―→＋PC―→)取得最小值，为－32.2．(全国卷Ⅲ)已知向量BA―→＝12，32，BC―→＝32，12，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选

A因为BA―→＝12，32，BC―→＝32，12，所以BA―→²BC―→＝34＋34＝32.又因为BA―→²BC―→＝|BA―→||BC―→|cos∠ABC＝1³1³cos∠ABC＝32，所以cos∠ABC＝32.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.3

．(全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8解析：选D法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)²b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解

得m＝8.法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)²b＝0，即a²b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.414．(2015²全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则

(2a＋b)²a＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a²b＝－3，从而(2a＋b)²a＝2a2＋a²b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝

(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)²a＝(1,0)²(1，－1)＝1.5．(全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_

_______.解析：法一：易知|a＋2b|＝|a|2＋4a²b＋4|b|2＝4＋4³2³1³12＋4＝23.法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a

＋2b|＝|OC―→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.答案：236．(全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.解析：∵a⊥b，∴a²b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴

x＝－23.答案：－237．(2013²全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE―→²BD―→＝________.解析：选向量的基底为AB―→，AD―→，则BD―→＝AD―→－AB―→，AE―→＝AD―→＋12AB―→，所以A

E―→²BD―→＝AD―→＋12BD―→²(AD―→－AB―→)＝AD―→2－12AD―→²AB―→－12AB―→2＝2.答案：2一、选择题1．(江西八校联考)已知两个非零向量a，b满足a²(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝()42A．30°B

．60°C．120°D．150°解析：选B由题知a2＝a²b，而cos〈a，b〉＝a²b|a|²|b|＝|a|22|a|2＝12，所以〈a，b〉＝60°.2.如图，在圆C中，点A，B在圆上，则AB―→²AC―→的值()A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只

与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值解析：选C如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则AB―→²AC―→＝|AB―→||AC―→|²cos∠CAB＝12|AB―→|2.∴AB―→²AC―→的值只与弦AB的长度有关．3．已知圆O：x2＋y2＝4上

的三点A，B，C，且OA―→＝BC―→，则AC―→²BA―→＝()A．6B．－23C．－6D．23解析：选C如图，∵OA―→＝BC―→，∴四边形OACB为平行四边形，则|OA―→|＝|OB―→|＝|OC―→|＝|BC―→|＝2.∴四边形O

ACB为菱形，且∠AOB＝120°，则AC―→²BA―→＝OB―→²(OA―→－OB―→)＝OB―→²OA―→－|OB―→|2＝2³2³－12－4＝－6.4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA―→²AC―→的值为()A．－32

B．－23C.23D.3243解析：选A在△ABC中，由余弦定理得cosA＝AC2＋AB2－BC22³AC³AB＝22＋32－1022³2³3＝14，所以BA―→²AC―→＝|BA―→||AC―→|cos(π－A)＝－|BA―→||AC―→|²cosA＝－3³2³14＝－

32.5．(浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝OA―→²OB―→，I2＝OB―→²OC―→，I3＝OC―→²OD―→，则()A．I1<I2<I3B．I1<I3<I2C．I3<I1<I2D．I2<

I1<I3解析：选C法一：如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO<AF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝OA

―→²OB―→－OB―→²OC―→＝OB―→²(OA―→－OC―→)＝OB―→²CA―→＝|OB―→|²|CA―→|cos∠AOB<0，∴I1<I2，同理得，I2>I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB<BG＝GD<OD，而OA<AF＝FC<OC，∴|OA―→

|²|OB―→|<|OC―→|²|OD―→|，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA―→²OB―→>OC―→²OD―→，即I1>I3，∴I3<I1<I2.法二：如图，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,2)，C(2，0)．设D(m，n)，由AD＝2和CD＝3，得

m2＋n－2＝4，m－2＋n2＝9，从而有n－m＝54>0，∴n>m.从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC为锐角．从而∠AOB为钝角．故I1<0，I3<0，I2>0.又OA<OC，OB<OD，故可设OD―→＝－λ1OB―→(λ1>1)，OC

―→＝－λ2OA―→(λ2>1)，从而I3＝OC―→²OD―→＝λ1λ2OA―→²OB―→＝λ1λ2I1，又λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I3<I1，∴I3<I1<I2.446．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝

30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若AE―→²BF―→＝－9，则λ的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B依题意得AE―→＝AB―→＋BE―→＝12BC―→－BA―→，BF―→＝BC―→＋1λBA―→，因此AE―→²BF―→＝12BC―→

－BA―→²BC―→＋1λBA―→＝12BC―→2－1λBA―→2＋12λ－1BC―→²BA―→，于是有12－1λ³62＋12λ－1³62³cos60°＝－9，由此解得λ＝3.7．(石家庄模拟)已知向量a，b

，c共面，且均为单位向量，a²b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[1，2]C．[2，3]D．[2－1,1]解析：选A因为a²b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋2a²b＋b2＝2，所以

|a＋b|＝2，所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a²b－2(a＋b)²c＝3－2(a＋b)²c.当c与(a＋b)同向时，(a＋b)²c最大，|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)²c＝|a＋b||c|²cos

0＝2，|a＋b－c|2＝3－22，所以|a＋b－c|min＝2－1.当c与(a＋b)反向时，(a＋b)²c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)²c＝|a＋b||c|cosπ＝－2，|a＋b－c|2＝3＋22，所以|a＋b

－c|max＝2＋1.所以|a＋b－c|的取值范围为[2－1，2＋1]．8．(银川调研)已知AB―→⊥AC―→，|AB―→|＝1t，|AC―→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP―→＝AB―→|AB―→|＋4AC―→|AC―→|，则PB―→²PC―→的最大值等于()A．13B．1

5C．19D．21解析：选A建立如图所示的平面直角坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB―→＝1t，0，AC―→＝(0，t)，AP―→＝AB―→|AB―→|＋4AC―→|AC―→|＝t1t，0＋4t(0，t)＝(1,4)，s∴P(1,4)，PB―→²PC―→＝

1t－1，－4²(－1，t－4)＝17－1t＋4t≤17－21t²4t＝4513，当且仅当t＝12时，取“＝”．故PB―→²PC―→的最大值为13.二、填空题9．已知向量a＝(1，x)，b＝(1，x－1)，若(a－

2b)⊥a，则|a－2b|＝________.解析：∵a－2b＝(－1,2－x)，且(a－2b)⊥a，∴(a－2b)²a＝－1＋x(2－x)＝－x2＋2x－1＝0，∴x＝1，∴a－2b＝(－1,1)，∴|a－2b|＝2.答案：210．已知向量α，β是平面内两个互相

垂直的单位向量，若(5α－2γ)²(12β－2γ)＝0，则|γ|的最大值是________．解析：因为α²β＝0，|α|＝|β|＝1，所以(5α－2γ)²(12β－2γ)＝60α²β－10α²γ－24β²γ＋4γ2＝0，即2|γ|2＝5α²γ＋12β²γ＝(5α＋12β)²γ，当γ与5α＋12β

共线时，|γ|最大，所以4|γ|2＝(5α＋12β)2＝25|α|2＋120α²β＋144|β|2＝25＋144＝169，所以|γ|＝132.答案：13211．已知O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过点O作OD⊥AB于点D，E为线段OD的中点，则OE―

→²EA―→的值为________．解析：如图，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，OD⊥AB，E为线段OD的中点，则OD―→²AD―→＝0，所以OE―→²EA―→＝OD―→2²(－AE―→)＝－12²OD―→²AO―→＋AD―→2＝－OD―→²AO―→＋OD―→²AD―→

4＝OA―→²OD―→4＝|OA―→||OD―→|²cos∠AOD4＝|OD―→|24.在△AOB中，由余弦定理可得AB＝7，因为46S△AOB＝12²AB²OD＝12OA²OB²sin120°，即12³7³OD＝12³1³2³32，所以OD＝217，所以OE―→²EA―

→＝328.答案：32812.如图，在梯形ABCD中，|DA―→|＝2，∠CDA＝π3，DA―→＝2CB―→，E为AB的中点，DP―→＝λDC―→(0≤λ≤1)．若|DC―→|＝t(t为大于零的常数)，当|PE―→|取得最小值时，实数λ＝________.解析：∵DP―→＝λDC―→，∴

PC―→＝(1－λ)DC―→，∴PE―→＝PC―→＋CB―→＋BE―→＝(1－λ)DC―→＋12DA―→＋14DA―→－12DC―→＝12－λDC―→＋34DA―→，∵DC―→²DA―→＝2tcosπ3＝t，DC―→2＝t2，DA―→2＝4，∴PE―→2＝12－λ2t2＋9

4＋3212－λt＝12－λt＋342＋2716，∴当12－λt＝－34，即λ＝12＋34t时，PE―→2取得最小值2716.∴|PE―→|的最小值为334，此时λ＝12＋34t.答案：12＋34t三、解答题13．已知a＝(3，－1)，a²

b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.(1)若a⊥c，求实数x的值；(2)若|b|＝5，求|c|的最小值．解：(1)∵a＝(3，－1)，∴|a|＝10，又a²b＝－5，c＝xa＋(1－x)b，且a⊥c，∴a²c＝a²(xa＋(1－x)b)＝0，即x|a|2＋(1－x)a²

b＝10x－5(1－x)＝0，解得x＝13.(2)由c＝xa＋(1－x)b，得|c|2＝[xa＋(1－x)b]2＝x2|a|2＋2x(1－x)a²b＋(1－x)2|b|2＝10x2－10x(1－x)＋5(

1－x)2＝5(5x2－4x＋1)47＝25x－252＋1.∴当x＝25时，|c|2min＝1，则|c|的最小值为1.14．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m²n＝1，求cos2π3－x的值；(2)

记f(x)＝m²n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解：m²n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.(1)∵m²n＝1，∴si

nx2＋π6＝12，cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)co

sB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝12，B＝π3.∴0<A<2π3.∴π6<A2＋π6<π2，12<sinA2＋π6

<1.又∵f(x)＝m²n＝sinx2＋π6＋12，∴f(A)＝sinA2＋π6＋12，48故1<f(A)<32.故函数f(A)的取值范围是1，32.1．已知圆O的半径为1

，A，B是圆上的两点，且∠AOB＝π3，MN是圆O的任意一条直径，若点C满足12OC―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→(λ∈R)，则CM―→²CN―→的最小值为________．解析：由题意可得CM―→²CN―→＝(CO―→＋OM―→)²(

CO―→＋ON―→)＝CO―→2＋CO―→²(OM―→＋ON―→)＋OM―→²ON―→，∵MN是圆O的任意一条直径，∴OM―→＋ON―→＝0，OM―→²ON―→＝－1，∴CM―→²CN―→＝CO―→2＋0－1＝CO―→2－1.要求C

M―→²CN―→的最小值问题就是求CO―→2的最小值，∵12OC―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→(λ∈R)，∴点C在直线AB上，则当C在AB中点时，OC⊥AB，OC最小为等边三角形AOB的高线，为3

2，此时CO―→2＝34，故CM―→²CN―→的最小值为CO―→2－1＝－14.答案：－142.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|OC―→|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．(1)若x＝3

π4，设点D为线段OA上的动点，求|OC―→＋OD―→|的最小值；(2)若x∈0，π2，向量m＝BC―→，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m²n的最小值及对应的x值．解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，当x＝3π4时，可得C－22，

22，49所以OC―→＋OD―→＝－22＋t，22，所以|OC―→＋OD―→|2＝t－222＋12(0≤t≤1)，所以当t＝22时，|OC―→＋OD―→|2取得最小值为12，故|OC―→＋OD―→|最小值为22.(2)由题意得C(c

osx，sinx)，m＝BC―→＝(cosx＋1，sinx)，则m²n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－2sin2x＋π4.因为x∈0，π2，所以π4≤2x＋π4≤5π4.所以当2x＋π4＝π2，即x＝

π8时，m²n＝1－2sin2x＋π4取得最小值1－2，所以m²n的最小值为1－2，此时x＝π8.