【文档说明】中考数学一轮总复习29《代数综合问题》知识讲解+巩固练习（提高版）（含答案）.doc，共(21)页，1.077 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-24973.html

以下为本文档部分文字说明：

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，

代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念

”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．*审题(读题、断句、找关键)；*先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、

公式)*由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；*观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx

和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】解：

(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴2,11.aak解得2,1.ak(2)将2yx代入y＝kx+1，消去y，得220kxx．∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要

△≥0即可．∵△＝1+8k．∴1+8k≥0，解得k≥18．∴k≥18且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图

象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程0322xx的两根1x，2x（1x＜2x）是抛物线)0(2acbxaxy与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．(1)

求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【答案】解：(1)解方程0322xx，得1x=-3，2x=

1.∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.将A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得.039,0,639cbacbacba解这个

方程组，得.23,1,21cba∴抛物线解析式为23212xxy.(2)由2)1(21232122xxxy，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）

代入,得.03,63bkbk解这个方程组，得.1,3kb∴直线AC的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组.3,1xyx得.2,1yx∴点Q坐标为（-1，2）.(3)作A点

关于x轴的对称点)6,3(/A，连接QA/，QA/与x轴交点M即为所求的点.设直线QA/的函数关系式为y=kx+b.∴.2,63bkbk解这个方程组，得.2,0kb∴直线QA/的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0

.∴点M的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x的二次函数2212myxmx与2222myxmx，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的

图象经过A，B两点；(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方

程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数2212myxmx，由于△＝(-m)2－4×1×221202mm，所以此函数的图象与x轴没有交点．对于关于x的二次函数2

222myxmx，由于△＝2222()413402mmm，所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．故图象经过A，B两点的二次函数为22202myxmx．(2)将A

(-1，0)代入2222myxmx，得22102mm．整理，得220mm．解之，得m＝0，或m＝2．①当m＝0时，21yx．令y＝0，得210x．解这个方程，得11x，21x．此时，B点的坐标是B(1，0)．②当m＝2时，22

3yxx．令y＝0，得2230xx．解这个方程，得x3＝-1，x4＝3．此时，B点的坐标是B(3，0)．(3)当m＝0时，二次函数为21yx，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，函

数值y随x的增大而减小．当m＝2时，二次函数为2223(1)4yxxx，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的

联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例3】【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整

数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设xyOxyO此抛物线在－3≤x≤12之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后

与直线CD有公共点，求n的取值范围．【答案】（1）证明：∵△=(3m+1)2－4×m×3=(3m－1)2.∵(3m－1)2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根．（2）解：令y=0，那么mx2+(3m+1)x+3=0.解得13x，21xm.∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正

整数，∴m=1.∴抛物线的表达式为243yxx.（3）解：∵当x=0时，y=3，∴C（0，3）.∵当y=0时，x1=－3，x2=－1.又∵点A在点B左侧，∴A（－3，0），B（－1，0）.∵点D与点B关于y

轴对称，∴D（1，0）.设直线CD的表达式为y=kx+b.∴03kbb，解得33.kb，∴直线CD的表达式为y=－3x+3.又∵当12x时，211543224y.∴A（－3，0），E（12

，54），∴平移后，点A，E的对应点分别为A'（－3+n，0），E'（12n，54）.当直线y=－3x+3过点A'（－3+n，0）时，∴－3(－3+n)+3=0，∴n=4.当直线y=－3x+3过点E'（12n，54）时，∴153324n，∴n=1312.∴n的取

值范围是1312≤n≤4.类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BO

C的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由

∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出

PABS△关于点P的横坐标x的函数关系式求解．【答案与解析】解：(1)B(1，3)．(2)设抛物线的解析式为(2)yaxx，代入点B(1，3)，得33a．所以232333yxx．(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对

称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为(0)ykxbk，则3,20.kbkb解得3,323.3kb因此直线AB的解析式为32333

yx．当1x时，33y．因此点C的坐标为31,3．(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．设点P的横坐标为x．则PABPADPBDSSS△△△1122PDAEPDBF

1()2PDAEBF1()()2DPBAyyxx21323323323333xxx22333193322228xxx．当12x时，△PAB的面

积的最大值为938，此时13,24．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点

的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为DPyy就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线210yaxbxa过点1,0A，1,1B,与y轴交于点C．（

1）求抛物线210yaxbxa的函数表达式；（2）若点D在抛物线210yaxbxa的对称轴上，当ACD△的周长最小时，求点D的坐标;（3）在抛物线210yaxbxa的对称轴上是否存在点P,使ACP△成为以A

C为直角边的直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【答案与解析】解：（1）∵抛物线210

yaxbxa过点1,0A，1,1B，∴10,11.abab∴1,21.2ab∴抛物线的函数关系式为211122yxx.（2）∵122bx

a，0,1C∴抛物线211122yxx的对称轴为直线12x.设点E为点A关于直线12x的对称点，则点E的坐标为2,0.连接EC交直线12x于点D，此时ACD△的周长最小.设直线EC的函数表达式为ykxm，代入,E

C的坐标，则2m0,1.km解得1,21.km所以，直线EC的函数表达式为112yx.当12x时，34y.∴点D的坐标为13,24.（3）存在.①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点1P.∵AOOC

，1ACAP，∴90AOMCAM.∵0,1C，1,0A，∴1OAOC.∴45CAO.∴45OAMOMA.∴1OAOM.∴点M的坐标为0,1.设直线AM对应的一次函数的表达式为11ykxb，代入,AM的坐标，则1110,1.

kbb解得111,1.kb所以，直线AM的函数表达式为1yx.令12x，则32y.∴点1P的坐标为13,22.②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于

点2P，交x轴于点N.与①同理可得RtCON△是等腰直角三角形，∴1OCON.∴点N的坐标为1,0.∵2CPAC，1APAC，∴21CPAP∥.∴直线2CP的函数表达式为1yx.令12x，则1

2y.∴点2P的坐标为11,22.综上，在对称轴上存在点1P13,22，2P11,22，使ACP△成为以AC为直角边的直角三角形．【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知

识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23yaxbx与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，1tan3OCA，6ABCS△．(1)求点B的坐标；(2

)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标．【答案】解：(1)∵23yaxbx，∴C(0，3)．又∵1tan3OCA，∴A(1，0)．又∵6ABCS△，∴136

2AB，∴AB＝4。∴B(-3，0)．(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入23yaxbx得：03,0933.abab∴a＝-1，b＝-2，∴223yxx．∵2(1)4yx．∴顶点坐标(-1，4)．(3)如图

1和图2．当AC为平行四边形的一边时，1E(-1，0)，E2(27，0)，E3(27，0)．当AC为平行四边形的对角线时，E4(3，0)．5．已知函数y1＝x，y2＝x2+bx+c，α，β为方程120yy的两个根，点

M(t，T)在函数y2的图象上．(1)若13，12，求函数y2的解析式；(2)在(1)的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为3112时，求t的值；(3)若0＜α＜β＜1，当0＜t＜l时

，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．【思路点拨】第(1)问由120yy得2(1)0xbxc的两根为α，β，利用根的定义代入得到b，c的方程组可求出b，c值；第(2)问分别求出A，B两点坐标，利用直线y＝x与x轴夹角为45°得到关于t的方程；第(3)问利用求

差法比较T，α，β的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T，α，β的大小关系．【答案与解析】解(1)∵y1＝x，y2＝x2+bx+c，y1－y2＝0，∴2(1)0xbxc．将13，12分别代入2

(1)0xbxc，得211(1)033bc211(1)022bc．解得16b，16c．∴函数y2的解析式为221166yxx．(2)由已知，y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为11,22，11,3

3．得26AB，设ABM中AB边上的高为h，则312121212ABMSABhh△，即12144h．由直线y1＝x与x轴的夹角为45°可得||2tTh．由21166Ttt，得251166144tt．当251166144tt时

，解得12512tt；当251166144tt时，解得35212t，45212t∴t的值为512，5212，5212．(3)由已知，得2bc，2bc，2Ttbtc．∴()()Tttb

，()()Tttb，22()()bcbc，化简得()(1)0b．∵01，得0，∴10b．有a+b＝1－β＞0，β+b＝1－α＞

0．又0＜t＜1时，∴t+α+b＞0，t+β+b＞0．∴当0＜t≤α时，T＜α≤β；当α＜t≤β时，α＜T≤β；当β＜1时，α＜β＜T．【总结升华】本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图，已知在直角梯形AOB

C中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（）A

．点GB．点EC．点DD．点F2．已知函数y=)3(1)5(31)1(22xxxx，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．33.（2016秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图

所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题4．若a+b-21a-42b=33c-12c-5，则a+

b+c的值为.5．已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，则实数k的取值范围是．6.（和平区校级期中）关于x的方程，2kx2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k的

的取值范围是.三、解答题7．（2016•梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．8.已知关于x

的一元二次方程0312mxmx．（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线31xmy与函数mxy2的图象1C的一个交点的横坐标为2，求关于x的一元二次方程0312mxmx的

解．（3）在（2）的条件下，将抛物线312mxmxy绕原点旋转180，得到图象2C，点P为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别与图象1C、2C交于NM、两点，当线段MN的长度最小时，求点P的坐标．9.抛物线2yaxbxc

，a＞0，c＜0，2360abc．（1）求证：1023ba；（2）抛物线经过点1(,)2Pm，Q(1,)n．①判断mn的符号；②若抛物线与x轴的两个交点分别为点A1(,0)x，点B2(,0)x（点A在点B左侧），请说明116x，2112

x．10.已知：二次函数y=22(2)xnmxmmn．（1）求证：此二次函数与x轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0xnmxmmn有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0xnmxmmn

的另一根为a,当x=2时，关于n的函数1ynxam与222(2)yxnmaxmmn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与1ynxam、222(2)yxnmaxmmn的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.【答案与解析】一、选择题

1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9∴点A的坐标为（9，12）∵点G是BC的中点∴点G的坐标是（18，6）∵9×12=18×6=108∴点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A．2.【答案】D；【解析】函数y=

)3(1)5(31)1(22xxxx的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．3.【答案】B；【解析】①∵抛物线开口朝上，∴a＞0．∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0．当x=0时，y=c+2＞2，∴c＞0

．∴abc＞0，①错误；②∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，②错误；③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，∴a

=c+2＞2，③正确；④∵b=2a，c＞0，∴4a﹣2b+c=c＞0，④正确．故选B．二、填空题4.【答案】20；【解析】整理得：（a-1-21a+1）+（b-2-42b+4）+12（c-3-63c+9）=0

（1a-1）2+（2b-2）2+12（3c-3）2=0，∴1a=1，2b=2，3c=3，∵a≥1，b≥2，c≥3，∴a=2，b=6，c=12，∴a+b+c=20．故答案为：20．5.【答案】3-5-2k＜＜【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y=x2+（k-5）x

+9图象开口向上，与x轴的一个交点的横坐标在1＜x＜2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】k＞0或k＜-2.【解析】设y=2kx2-2x-3k,∵方程2kx2-2x-3k=0d的两根一个大于1，一个小于1，∴当k＞0，抛物线开口向上，

x=1时，y＜0，即2k-2-3k＜0，解得k＞-2，∴k＞0∴当k＜0，抛物线开口向下，x=1时，y＞0，即2k-2-3k＞0，解得k＜-2.∴k＜-2∴k的取值范围为：k＞0或k＜-2.三、解答题7．【答案与解析】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（

k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2

．8．【答案与解析】（1）证明：3412mm124122mmm1362mm432m∵不论m取何值时，032m∴0432m，即0∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）将

2x代入方程0312mxmx，得3m再将3m代入，原方程化为022xx，解得2,021xx．（3）将3m代入得抛物线：xxy22，将抛物线xxy22绕原点旋转180得到的图象2C的解析式为：xxy22．设0,xP，则3,2xxM

，xxxN2,225212322232222xxxxxxMN∴当21x时，MN的长度最小，此时点P的坐标为0,219．【答案与解析】（1）证明：∵2360abc，∴

12362366babccaaaa．∵a＞0，c＜0，∴0ca，0ca．∴1023ba．（2）解：∵抛物线经过点P1(,)2m，点Q(1,)n，∴11,42.abcmabcn①∵2360abc，a＞0，c＜0，∴

223abc，223abc．∴1112111()42424312bcmabcaaaa＜0．2(2)33aanabcaccc＞0．∴0mn．②由a＞0知抛物线2ya

xbxc开口向上．∵0m，0n，∴点P1(,)2m和点Q(1,)n分别位于x轴下方和x轴上方．∵点A，B的坐标分别为A1(,0)x，B2(,0)x（点A在点B左侧），∴由抛物线2yaxbxc的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标2x满足2112x．（如

图所示）∵抛物线的对称轴为直线2bxa，由抛物线的对称性可1222xxba，由（1）知123ba，∴12123xx．∴12221332xx，即116x．10．【答案与解析】（1）证明：令0y，则有22(2)0xnmxmmn△=222(2)4()

nmmmnn∵20n，∴△≥0∴二次函数y=22(2)xnmxmmn与x轴有交点（2）解：解法一：由101mm得，方程22(2)0xnmxmmn可化为2(2)10xnxn

解得：11xxn或∴方程22(2)0xnmxmmn有一个实数根为1解法二：由101mm得，方程22(2)0xnmxmmn可化为2(2)10xnxn当x=1时，方程左边=1+(n-2)+

1-n=0方程右边=0∴左边=右边∴方程22(2)0xnmxmmn有一个实数根为1（3）解：方程22(2)0xnmxmmn的根是：121,1xxn∴1an当x=2时，11yn，22251ynn设点C（,1bb）则点D（2,251bbb

）∵CD=6，∴221(251)62b51(1)6bbbbb或∴31bb或∴C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）