【文档说明】《19.6 反比例函数的图象、性质、应用》教学设计3-九年级上册数学北京版.doc，共(6)页，396.000 KB，由小喜鸽上传

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一次函数与反比例函数中的面积问题【教材分析】八年级下册与九年级上册中分别研究了一次函数与反比例函数的概念、图象和性质．中考经常考查和一次函数与反比例函数图象密切结合的面积问题，这是落实学生关于一次函数与反比例函数图象和性质学习

的重要模型，是培养学生数形结合、合理转化、运用基础知识分析问题和解决问题能力的很好载体．【学情分析】本节课之前，学生已经学习了一次函数、反比例函数的概念、图象及性质，会用待定系数法求上述函数的解析式，会求一次函数与反比例

函数图象的交点坐标，会用坐标表示点到两坐标轴的距离．能解决一次函数与反比例函数中的基本图形（三角形、矩形、梯形）的面积问题．这些为本节课的学习做了铺垫．本班学生思维活跃，具有一定的几何直观、推理能力和数学活动经验．但学生对于需要通过合理添加辅助线实现图形割补,将“

不易直接求得面积的图形”转化为“易直接求得面积的图形（三角形、矩形、梯形）”的问题解决有一定的困难,缺少通过合理添加辅助线实现巧割妙补的经验．【教学目标】知识与技能：1.掌握一次函数与反比例函数中的基本图

形（三角形、矩形和梯形）面积的求法；2.将一次函数与反比例函数中不易求解面积的图形通过合理添加辅助线实现图形割补，把问题转化为基本图形的面积．过程与方法：以作业为引例，通过问题引领，由学生归纳出一次函数与反比例函数中的基本图形（三角形、矩形和梯形）面积的计算方法，进而研究怎样

通过合理添加辅助线实现图形割补,来解决一次函数与反比例函数中不易直接求解的面积问题.情感态度与价值观：在学习一次函数与反比例函数中的面积问题的过程中，使学生体会把新问题转化为旧知识的数学思想方法，培养几何直观的数学素养，激发学生的数学学习兴趣，培养创新能力和探索精神．【教

学重点】一次函数与反比例函数中的面积问题．【教学难点】怎样添加辅助线进行合理割补．【教学方式】问题链引领下的探究式学习．【教学手段】多媒体、实物投影仪、几何画板课件【教学过程的设计与实施】一、回顾作业，提炼方法作业1．一次函数416

33yx的图象与两坐标轴所围成三角形的面积为．问题1：该题中三角形的特点是什么?求解的关键是什么？【学生活动】自己画图解答，并回答．【教师活动】引导学生总结：题中三角形的特点是一条直线与两坐标轴所围成的直角三角形，求直线与坐

标轴所围成的三角形面积，关键是要算出该直线与两坐标轴交点的坐标．xOAyB362yx33yx1作业2.如图，直线362yx与x轴相交于点A,直线33yx与x轴相交于点B,两直线相交于点C，则ABC的面积为．问题2：该题

中三角形的特点是什么?求解的关键是什么？【学生活动】回答．【教师活动】引导学生总结：题中三角形的特点是有一条边落在坐标轴上．求两相交直线与一条坐标轴围成的三角形面积，关键是要算出这两条直线交点的坐标和它们与这

条坐标轴交点的坐标．通过坐标求得坐标轴上的三角形的一边长和该边上的三角形的高．作业3．如图，一次函数122yx的图象上有两点(1,),(3,)AmBn，直线AB与x轴交于点P，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则梯形ACDB的面积为．问题3：该

题中梯形的特点是什么?求解的关键是什么？【学生活动】回答．【教师活动】引导学生总结：题中梯形的特点是有一条直角腰落在坐标轴上．求这样的直角梯形的面积，关键是要算出该直线上的直角梯形的两个顶点A、B的坐标．通过坐标求得梯形的上底、下底和高．另外还可以由两个直角三角形的面积之差得到

．作业4．如图，点P(m,n)是双曲线4yx上一点，经过点P分别向x轴、y轴作垂线段，则矩形OAPB的面积为,连接OP,则OBP的面积为;OAP的面积为．问题4：如上图，点P(m,n)是双曲线(0)kykx上一点，经过点P分别向x轴、y轴作垂线段，则矩形OAPB的面积为

;连接OP,则OBP的面积为;OAP的面积为．【学生活动】回答．【教师活动】引导学生总结：反比例系数k的值与矩形OAPB的面积、OBP的面积与三角形OAP的面积有密切的关系，矩形OAPB的面积为||

||||||xyxyk，OBP的面积与三角形OAP的面积均为111||||||||222xyxyk．关键是要算出过原点的直线与双曲线交点的坐标．【设计意图】总结求基本图形面积的经验，为本节课的展开做铺垫．教师引导：以一次函数和反比例函

数为背景的面积问题是近年来中考考查的重要内容．在上面的基础上,本节课我们研究“一次函数与反比例函数中的面积问题”的解决方法．引出课题：一次函数与反比例函数中的面积问题二、割补转化、巧求面积xOAyBPxOA(1,m)

yB(3,n)xOyCDABP122yx2例1.如图，反比例函数4yx在第一象限的图象上有两点A(1，m)、B(3，n)．求△AOB的面积．分析：因为点A(1，m)，B(3，n)在反比例函数4yx的图

象上，所以44,3mn．即1,4A，43,3B．教师引导：求△AOB的面积，你能想到三角形的面积公式，2S底高,但就我们目前所学的知识，解决三角形的底AB和AB边上的高有很大难度．那我们就要另辟蹊径．问题5：△AOB的面积不易求解，如何添加辅助线把△AOB转化为容易求得

面积的图形呢？要求学生：1.独立思考2分钟（先不用计算结果）2.组内交流3分钟（看哪个小组转化的方法多）预设1：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，设AC、OB交于点H．由反比例系数k的几何意义知，AOCDO

BSS．法1：AOBAOCBODACBDSSSS梯形1416==431233ACBDS梯形（）．（先补后割）法2：由,AOCOCHDOBOCHSSSSAOHCDBHSS梯形得．所以1416=431233AOBAOHABH

ABHCDBHACDBSSSSSS梯形梯形（）．预设2：过点A作直线AKyK轴于点,过点B作直线BDxD轴于点，设直线AKBD与交于点G．法1：AOBOKABODAGBODGKSSSSS矩

形．法2：AOBAOKAGBOKGBSSSS梯形；法3：AOBBODAGBOAGDSSSS梯形．预设3：设直线AB与x轴交于点E，与y轴交于点F,设直线AB的表达式为y＝kx＋b(0)k，xOA(1,4)y43,3B

DKGxOA(1,4)y43,3BEFCDxOA(1,4)yH43,3B3易求直线AB的表达式的表达式为41633yx．当0y时，4x；当0x时，163y．所以4,0E，16

0,3F．法1：AOBAOEBOESSS114816444822333．法2：AOBBOFAOFSSS116116816318232333

;法3：AOBEOFAOFBOESSSS11611614414232323163．预设4：作BDxD轴于点,设一次函数的图象与y轴交于点F，则160,3F．AOBOAFOBDBDOFSSSS

梯形．预设5：作AKyK轴于点,设一次函数的图象与x轴交于点E，则4,0E．AOBAKOBOEAKOESSSS梯形．预设6：直接使用三角形的面积公式进行求解．关键是求线段AB的长与AB边上的高．作OLABL于点．在RtEOF中，由勾股定理的203EF，由面积相等,得1

122OEOFEFOL，165OL；易得2224100(31)439AB，即103AB．所以1110161622353AOBSABOL．难点解决:分离图形A(1,4)y43,3BFLF

A(1,4)y43,3BMxOA(1,4)y43,3BDFExOA(1,4)y43,3BKFExOA(1,4)y43,3BEFLF4【学生活动】学生思考，交流解题方法，并进行展示，体会割补的巧妙与多样性．【教

师活动】引导学生分析题目的条件，寻找解决问题的思路．先由A(1，m)、B(3，n)在反比例函数4yx的图象上，求出点A、B的坐标，进而通过恰当添加辅助线，实现割补转化，巧妙计算，要注意关键点的坐标，最终得到三角形面积的求解

方法．【设计意图】引导学生合理添加辅助线，把不容易算出面积的图形转化为容易直接算出面积的图形．充分发挥几何直观的作用，使学生体会合理转化．通过一题多解，培养学生发散的思维与创新能力．三、小试牛刀、课堂演练练习：(2017东城一模改编)如图，直线122yx与6yx交于A，B两点，直线122yx

与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求AOB的面积;分析：容易求得2,361AB（），（，），4,0C（），0,2D（）．法1：AOBBOCAOCSSS11113(13)28222COCOCOCO

．法2：AOBBODAODSSS11166(62)48222DODODODO．法3：AOBBOCCODDOASSSS11112222COCODODO1114142228222

【学生活动】学生交流解题方法．【教师活动】关注学生解答中出现的问题．【设计意图】巩固巧割妙补的解题技能,培养学生发散思维．四、反思小结、凝炼提升问题6：本节课中你有哪些收获？1．知识与技能：把不容易直接求得面积的图形通过割补转化为容易直接求得面积的图形．2．思想方法角度：数形结合

的思想方法、把问题转化为旧知识的思想方法．3．本节课我们是如何展开学习的？教学流程图：五、布置作业、延续探究A(1,4)yB(3,m)割补转化添加辅助线三角形面积不易直接求解的图形面积的面积坐标表示计算面积容易求解梯形面积矩形面积xOAyCBD51．如图，在直角坐标系xoy中，一次函

数y＝k1x＋b1(0)k的图象与反比例函数22(0)kykx的图象交于A(1，4)、B(3，m)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积（选择两种方法书写）．2．(2017东城一模改编)如图，直线1

22yx与6yx交于A，B两点，直线122yx与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求AOB的面积;（2）将直线122yx平移,使它与x轴交于点E，与y轴交与点F.若△ABE的面积为6，求直线EF的表达式.3．（2017

朝阳一模22）在平面直角坐标系xOy中，直线12yxb与双曲线4yx的一个交点为A（m，2），与y轴交于点B．（1）求m和b的值；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是2，请直接写出点C的坐标．yx-5-4512341234-1-2-3-4-5-1-3-25OxOA

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