【文档说明】《三大几何变换》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(11)页，1.815 MB，由小喜鸽上传

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1平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法．【例1】已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FGDE于点H．⑴求证：FGDE．⑵求证：2FDEGFG≥．典题精练思路导航知识互联网题型一：平移变换三大几何变换2HGFEDCBAPABCDEF

GH【解析】延长GC到点P，使得GPDF，连接EP、DP．⑴∵DFGP∥，GPDF∴四边形DFGP为平行四边形∴FGDP，FGDP∥又∵FGDE，∴DPDE∴ADECDP∠∠在ADE△和CDP△中DAEDCPDADCADECDP

∠∠∠∠∴ADECDP△≌△∴DEDPFG⑵由⑴知道DEP△为等腰直角三角形∴22EPDEFG在EGP△中，2EGDFEGGPPEFG≥当EGFD∥时，取到等号．【例2】在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．⑴如图1，CE=AB，BD=AE，过

点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出EBDC的值；⑵如图2，CE=kAB，BD=kAE，12EBDC，求k的值．图2DECBA图1GFDECBA3DCBAC'HABCDE

FA'GOOGA'FEDCBA【解析】(1)22EBDC.(2)过点C作CF∥EB且CF=EB，连接DF交EB于点G,连接BF.∴四边形EBFC是平行四边形.∴CE∥BF且CE=BF.∴∠ABF=∠A=9

0°.∵BF=CE=kAB.∴BFkAB.∵BD=kAE，∴BDkAE.∴BFBDABAE.∴DBF∽EAB.∴DFkBE,∠GDB=∠AEB.∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.∵12CFEB

DCDC.∴3DFDFEBCF.∴k=3.【例3】⑴如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，O⊙的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与O⊙相切于点A′（EFA△′与O⊙除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G

，则AG′的长是．⑵将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若45ADDB，，则BC的长是______________．【解析】⑴过F点作FHCD于H．则四边形AFHD是矩形，∴8AFDHFHAD，，设AFx，则根据对称性可知DHCGAFGCx′′∴8242

HGxFGx，，典题精练题型二：轴对称变换GFDECBA421HEDCBANC'FEB'DCBAABCDB'EFC'MN在RtFHG△中，90FHG，∴222FHHGFG，即22288242

xx，解得73x，∴1943AGx′．⑵将半圆还原，点D关于BC的对称点为E，作CHAB于H．根据“翻折”的性质可知12，则CDCEAC∵CHAB，则27AHHDHB，，BC2=BH·AB∴37BCBHAB．

【例4】把正方形沿着EF折叠使点B落在AD上，BC交CD于点N，已知正方形的边长为1，求DBN△的周长．【解析】在BC上取点M，使BMAB，连接BM．∵ADBC∥，∴CBBABB∠∠由翻折得

对称性可知MBBCBB∠∠∴ABBMBB∠∠在ABB△和MBB△中ABMBABBMBBBBBB∠∠∴ABBMBB△≌△∴90BABBMB∠∠，ABMB在RtBNM△和RtBNC△中BMBCBNBN

∴RtRtBNMBNC△≌△5∴MNCN∴DBN△的周长为2DBABDNCN．【例5】在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．⑴当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两

直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑵当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交A

B，BC于E、F两点，若14AOAC，求OEOF的值．【解析】（1）①猜想：222AECFEF.②成立.证明：连结OB.∵AB=BC,∠ABC=90°,O点为AC的中点，∴12OBACOC,∠BOC=90°,∠

ABO=∠BCO=45°.∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC.又∵∠EBO=∠FCO，∴△OEB≌△OFC（ASA）.∴BE=CF.COBAOE图1FBAOCEFABCEF图2图3典题精练题型三：旋转变换CBAOEF6又∵BA=BC,∴AE=BF.在RtΔEBF中，∵∠EBF=90

°,222BFBEEF.222AECFEF.（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N.∵∠B=90°,∴∠MON=90°.∵∠EOF=90°,∴∠EOM=∠FON.∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△O

NF.∴OMOEONOF∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN∴OMAOONOC.∵14AOAC，∴13OEOF.【例6】ABC△和DBE△是绕点B旋转的两个相似三角形，其中ABC与DBE、A与D为对应角．⑴

如图1，若ABC△和DBE△分别是以ABC与DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；⑵若ABC△和DBE△为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理

由；⑶若ABC△和DBE△为如图3的两个三角形，且ACB，BDE，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含、的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．3030ABCDE图3ABCDE图2图1EDCBA【解析】⑴线段AD

与线段CE的关系是,ADECADEC．⑵如图2，连接AD、EC并延长，设交点为点F．∵ABC△∽DBE△，∴ABBCBDBE，∴ABBDBCBE．∵90ABCDBE°，∴1390°，239

0°．∴12．∴ABDCBE△∽△．∴ADABCEBC．7654321F3030ABCDE图2AOBCEFMN7在RtACB△中，30,tanABACBACBBC°，∵3tan303°，

∴33ADCE．又∵90,30,DBEDEB°°∴460°，∴56120°．∵ABDCBE△∽△，∴5307CEB°，∴7530,61205°°，∴7690°，∴90DFE°．即ADCE．⑶在绕点B旋转的过程中，直线AD与

EC夹角度数不改变，180AFE度．8题型一平移变换巩固练习【练习1】如图，已知ABC△，ADBE∥，若480CBEDAC∠∠，则C∠的度数为______．CDEBAFABEDCNCDEBA【解析】60.通过作平行线平移角，使角与角之间联系起来．【练习2】如

下图，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且60AOC，求证：1ACBD．ODCBAB'OBDC【解析】考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CBAB∥且CBAB=，则四边形ABBC是平行四边形，从而ACBB

．（教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），在BBD△中可得BBBDBD，即ACBDBD．由于1CDABCB，60BCDAOC，所以BCD△是等边三角形，故1BD，所以1ACBD．题型二

轴对称变换巩固练习【练习3】如图矩形纸片ABCD，5cmAB，10cmBC，CD上有一点E，2cmED，AD上有一点P，3cmPD，过P作复习巩固FQEPDCBAA9DECBAF2F1DECBAPFAD交BC于

F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是________cm．【解析】134.解法：过Q作QM⊥DC，设QP=x，∴QE=x，∵DE=2，∴2MEx∴在Rt△QME中，22(2)9xx，∴134PQx题型三旋转变换巩

固练习【练习4】已知正方形ABCD中，点E在边DC上，2DE，1EC（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．【解析】1或5．题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是

“直线BC上的点”，所以有两种情况如图所示：顺时针旋转得到1F点，则11FC，逆时针旋转得到2F点，则22FBDE，225FCFBBC．【练习5】在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为80，和06，．将矩形OABC绕点O顺时针旋转度，得到四边形OABC

，使得边AB与y轴交于点D，此时边OA、BC分别与BC边所在的直线相交于点P、Q．⑴如图1，当点D与点B重合时，求点D的坐标；⑵在⑴的条件下，求PQOD的值；⑶如图2，若点D与点B不重

合，则PQOD的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由．（北京东城期末）（图1）ABCOxyA'B'(D)C'PQDB'QPC'A'yxOCBA（图2）10【解析】⑴∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转度，得到四

边形OABC，且A、C的坐标分别为80，和06，，∴8OAOA，6ABABOC．∴228610OB．∴点D的坐标为010，．⑵∵10OB，6CO，∴4BC．∵3tan4CPABPOCCOAO，且6CO

，∴92CP．同理3CQ．∴152PQ，∴34PQOD．（或：∵3tan4CQCPPOCCDCO．∴34PQCQCPODCDCO．）⑶如图2所示，作CE∥OA交OP于点E，∵CE∥OA，且PE∥CQ

，∴四边形PECQ是平行四边形．∴PQCE．∵CEODABAO，，∴9090CEOEODODAEOD°，°．∴CEOODA．又∵90EOCDAO°，∴CEOODA△∽△．∴34PQCECOODODOA．

∴PQOD的值不会发生改变．【测试1】在四边形ABCD中，ABCD∥，2DB∠∠，AD和CD的长度分别为a和b，那么AB的长为________．【解析】自C点作CEAD∥交AB于E，课后测（图1）ABCOxyA'B'(D)C'PQ（图2）EDB'QPC'A'yxOCBA图4baDCBA1

1则四边形AECD是平行四边形，AECDb，ECADa．又2AECDBBECB∠∠∠∠∠．所以ECBB∠∠，ECB△是等腰三角形．EBECa，所以ABAEEBab．【测试2】如图，已知AB

C△中，30CABB，2AB，点D在BC边上，把ABC△沿AD翻折使AB与AC重合，得ABD△，则ABC△与ABD△重叠部分的面积为（）A．332B．312C．33D．336【解析】A【测试3】如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点

A旋转，在旋转过程中，当BEDF时，BAE的大小可以是________．【解析】15或165EABCDab图12DCB'BAABCDEF