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计算机图形学教学52三维变换课件三维几何变换的代数表示10001'34333231'24232221'14131211zyxazayaxazazayaxayazayaxax),,(),,(:'''zyxzyx；变换后的点：记变换前的点三维几何变换的矩

阵表达式1144434241343332312423222114131211'''zyxaaaaaaaaaaaaaaaa

zyx•引入齐次坐标后可表示为：平移变换（1）11'''zyxtzztyytxx平移变换（2）

110001000100011'''zyxtttzyxzyx记为：PTP'其中参数zyxttt,,是平移距离•三维平移变换矩阵：平移变换（3）•点的平移•图形的平移缩放变换（1）相对于原点进行的缩放变换矩阵

11'''zszysyxsxzyx110000000000001'''zyxssszyxzyx记为：PSP'缩放变换（2）•相对于任意点的缩放),

,(fffzyx设缩放参考点为：则分解为：平移、关于坐标原点的缩放以及逆平移变换缩放变换（3）•即：PTPfffzyx),,(')1('),,('')2(PSPzyxsss''),,(''')3(PTPfffzyxPTSTPfffzyxfffzyxssszyx),,

(),,(),,('''),,(),,(),,(fffzyxfffzyxssszyxTSTT因此，变换矩阵缩放变换（4）1000)1(00)1(00)1(00fzzfyyfxxzssy

ssxss旋转变换（1）•由旋转轴和旋转角度确定•二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转11000010000cossin00sincos1'''zyxzyx

记为：PRPz)('XYZ以X为轴的旋转变换（1）可视作[x,y,z]坐标系变换为[y,z,x]坐标系,变换矩阵为：110000cossin00sincos00

0011'''zyxzyx以X为轴的旋转变换（2）记为：PRPx)('100010cossin00sincos0000'''zyxzyxzzyxyzyxxYZX以Y为轴的旋转变换（

1）可视作[x,y,z]坐标系变换为[z,x,y]坐标系，变换矩阵为：110000cos0sin00100sin0cos1'''zy

xzyx以Y为轴的旋转变换（2）记为：PRPy)('注：相反角度的旋转实现其逆变换100010cos0sin000'0sin0cos''zyxzyxzzyyyzyxxZXY绕任

意轴的旋转变换（1）•旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现：–经复合变换使旋转轴与坐标轴重合–绕指定轴进行旋转变换–还原坐标系假设给定旋转轴),,;,,(:22211121zyxzyxPP和旋转角YZXP1P2绕任意轴的旋转变换（2）（1）平移使P1与坐标原点重合

10001000100011111zyxT不妨设P1P2为方向矢量，P2点为(a,b,c)cbaXYZOP1P2X´Y´Z´XYZX´Y´Z´O绕任意轴的旋转变换(3)（2）绕X轴旋转使指定旋转轴落在XZ面上cbaXYZX´Y´Z´OcbaXYZX´Y´Z´OcbaXYZX

´Y´Z´OcbaXYZX´Y´Z´OcbaXYZX´Y´Z´OcbaXYZX´Y´Z´O22100000000001cbddcdbdbdcRx其中cbaXYZX´Y´Z´O2222sincoscbbcbc此时P2点为(a,0,d

)P2),0,(da绕任意轴的旋转变换（4）（3）绕Y轴旋转使指定旋转轴与Z轴重合XYZX´Y´Z´Oadsincos100000001000daadRyXYZX´Y´Z´O绕任意轴的旋转变换（5）（4）绕Z轴即指定旋转

轴旋转指定角度)(2zRT绕任意轴的旋转变换（6）（5）坐标系还原上述变换的复合实现绕任意轴的旋转：11111)()(TRRRRRTRxyzyx对称变换（1）•是关于某个对称轴或对称平面进行的–关于某个轴进行的反

射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换–例如：关于Z轴的对称变换矩阵为：1000010000100001T考虑：关于任意轴的对称变换对称变换（2）–当反射平面是坐标平面时，等同于进行左、

右手坐标系的互换，相应变换矩阵是把第三维坐标值取反–例如：关于xy平面的反射变换矩阵为：1000010000100001T对称变换（3）关于任意平面的反射可以分解为•平移、旋转（使得指定的反射平面与某坐标平面重合）•关于坐标平面的反射•逆变换错切变换

•依赖轴：对应坐标保持不变•方向轴：对应坐标关于依赖轴坐标呈线性变化•变换表达式分别是：zcyzyyayxxY'''为依赖轴：zzbzyyazxxz'''为依赖轴：zcxzybxyxx

X'''为依赖轴：建模变换（1）•实现两个不同坐标系之间的转换•新坐标系定义方式如右图所示：XYZ原点坐标是),,(000zyx，三个坐标轴的单位向量分别是),,(),,,(),,,(3'2'1'3'2'1'3'2'1'zzzyyyxx

x建模变换（2）可由线性代数方法得到建模变换公式：（即：新坐标系的坐标轴在旧坐标系下的表示矩阵的逆矩阵）1000'''0'3'2'10'3'2'10'3'2'1zzzzyyyyxxxxT当坐标系使

用不同的缩放时，还需定义缩放补偿。建模变换的合成方法（3）•可由以下变换复合得到同样结果：1.平移：使两坐标系原点重合2.绕X轴旋转：使Z’轴落在XOZ面上；3.绕Y轴旋转：使Z’轴与Z轴重叠；4.绕Z轴旋转：使X’轴与X轴重叠；注意：TTTABBA)(小结•单个坐标系下的几何变换–平移–

缩放–旋转–反射–错切•建模变换作业6：•利用变换复合方法推导建模变换矩阵。