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第八章无穷级数后页首页前页第八章无穷级数后页首页前页基本要求、重点难点8.1常数项级数及其审敛法8.2幂级数8.3函数展开成幂级数8.4傅里叶(Fourier)级数8.5演示与实验七第八章无穷级数后页首页前页基本要求掌握级数性质及使用方法。了解常数

项级数及其审敛法。掌握幂级数、傅里叶级数的性质和定理，及其使用方法。第八章无穷级数后页首页前页重点难点重点：无穷个数的问题——级数。级数在各种领域的应用及幂级数。难点：常数项级数收敛性判别、幂级数收敛区间

、和函数的求法。第八章无穷级数后页首页前页8.1常数项级数及其审敛法8.1.1常数项级数的概念定义8.1设给定数列u1,u2，…，un，…，则式子u1+u2+…+un+…称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数。记为un，即其中数项级数上式中第n项un称为一般项或通项。数项级数上

式的前n项之和，记为：sn＝u1+u2+…+un，称为级数的n项部分和。部分和s1,s2,…，sn，…构成一个新的数列｛sn｝称为级数的部分和数列。∑∞n＝1第八章无穷级数后页首页前页定义8.2若当n→∞

时，部分和数列｛sn｝有极限，即sn＝s，则称级数是收敛的，且s称为级数的和，记为：s＝u1+u2+…+un+…，或un＝s。若数列{sn}没有极限，则称级数是发散的。limn→∞∑∞n＝1第八章无穷级数后页首页前页第八章无穷

级数后页首页前页8.1.2级数收敛的性质性质8.1性质8.1在级数的前面去掉或加上有限项不会改变级数的敛散性。第八章无穷级数后页首页前页性质8.1第八章无穷级数后页首页前页8.1.3正项级数及其审敛法定义8.3对于正项级数的敛散性，我们首先不予证明地给出如下判定定理：定理8.1第八章无穷级数

后页首页前页定理8.2(比较审敛法)定理8.3(比较审敛法的极限形式)定理8.1继续点击第八章无穷级数后页首页前页8.1.4任意项级数的审敛性级数：u1+u2+…+un+…。定义8.4定理8.1第八章无穷级数后页首页前页定理8.6(莱布尼茨审敛

法)定义8.5第八章无穷级数后页首页前页8.2幂级数8.2.1幂级数及其收敛域第八章无穷级数后页首页前页定理8.7(阿贝尔定理)定理8.7(阿贝尔定理)第八章无穷级数后页首页前页8.2.2幂级数的运算性质设幂级数anxn和bnxn的收敛半径分别为R1和R

2，且在收敛域内的和函数分别为s1(x)和s2(x)，记R＝min{R1,R2}，则在(－R，R)内有：(1)anxn±bnxn＝(an±bn)xn＝s1(x)±s2(x)；(2)anxnbnxn＝a0b0

+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+…+(a0bn+a1bn－1+…+an－1b1+anb0)xn+…＝s1(x)·s2(x)。∑∞n＝0∑∞n＝0∑∞n＝0∑∞n＝0∑∞n＝0∑∞n＝0∑∞n＝0第八章无穷级数后页首页前页且幂级数在收敛区间内有下列性

质：(1)s1(x)在收敛区间(－R1，R1)内连续；(2)s1(x)在收敛区间(－R1，R1)内可积，且(3)s1(x)在收敛区间(－R1，R1)内可导，且第八章无穷级数后页首页前页8.3函数展开成幂级数8.3.1麦克劳林(Maclaurin)级数直接展开法设函数

f(x)在区间(－R，R)内有任意阶导数，并假定它可以展开成x的幂级数把一个函数f(x)展开为x的幂级数，可按下列步骤进行：f(x)＝a0+a1x+a2x2+…+anxn+…,|x|＜R。第八章无穷级数后页首页前页第八章无穷级数后页首页前页8.3.2间接展开法求f(x)的幂级数展开都需要求出f

(x)的任意阶导数，求出f(n)(0)代入公式，显然比较麻烦。下面介绍利用已知函数展开式以及幂级数的运算法则求函数展开式的方法，这种方法叫做间接法。第八章无穷级数后页首页前页8.4傅里叶(Fourier)级数8.4.1三角级数，三

角函数系的正交性定义8.8第八章无穷级数后页首页前页8.4.2以2π为周期的函数的傅里叶级数展开傅里叶级数：定理8.9收敛定理(狄利克雷(Dirchlet)充分条件)第八章无穷级数后页首页前页注意：由上述例子可以看出：第八章无穷级数后页首页前页8.4.3函

数的周期延拓１２后页第八章无穷级数后页首页前页1.设函数f(x)在［－π,π］上有定义，且满足收敛定理。此时在［－π，π)或(－π，π］外补充定义，把它延拓为以2π为周期的函数F(x)(称为周期延拓)，使在(－π，π)内有F(x)≡f(x

)。将F(x)展开成傅里叶级数，这样得到关于f(x)在［－π,π］上的傅里叶级数，根据收敛定理，设级数在区间的端点x＝±π处收敛于［f(π－0)+f(－π+0)］。１２返回第八章无穷级数后页首页前页2.设f(x)只在［0,

π］上有定义，且满足收敛定理的条件，我们可以作以2π为周期的函数F(x)，使得在(0，π)内，F(x)≡f(x)，然后将F(x)展开成为傅里叶级数，则在(0，π)上，该傅里叶级数就是f(x)在(0，π)上的傅里叶级数，对于区间端点x＝0,x＝π,可根据收敛定理判定其收敛性，由于这

里仅给出半个周期里函数的定义，所以在作周期延拓时，首先需定义［－π,π］上F(x)的值，这里可以用两种延拓方法来定义F(x)：(1)将f(x)延拓成以2π为周期的奇函数(称为奇延拓)第八章无穷级数后页首页前页(2)将f(x)延拓成以2π为周期的偶函数(称为

偶延拓)返回第八章无穷级数后页首页前页8.4.4以2l为周期函数的傅里叶级数设f(x)是2l为周期的函数，且在［－l,l］上满足收敛定理的条件，则作变换令x＝t,即t＝x，令F(t)＝f()t是以2π为周期的函数，且在［－π,π］上满足收敛定理的条件。所以，对于f(x)的傅里叶

展开级数，只要先求出F(t)的傅里叶级数，再将x＝t或t＝x代回即可，即F(t)的傅里叶级数为１ππlπl１ππl前页第八章无穷级数后页首页前页8.5演示与实验七8.5.1实验目的1.学习用Mathematica求级数的和；

2.学习用Mathematica将函数展开成幂级数；3.学习用Mathematica演示函数逼近过程；4.学习用Mathematica演示周期函数的傅里叶级数展开。8.5.2内容与步骤1.用Mathematica求级数的和命令格式：Sum［f(n),{n,n1,n2}］NSum［f(

n),{n,n1,n2}］2.用Mathematica将函数展开成幂级数将f(x)展开成x－x0的n阶泰勒公式，用下面的命令：Series［f(x),{x,x0,n}］用下面命令去掉余项，可得f(x)的近似表示式(多项式函数形式)：Normal［］3.用Mathematica演示函数逼近过程

4.用Mathematica演示周期函数的傅里叶级数展开后页首页前页