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01.12.20221第3章控制系统的数学描述与建模01.12.20222系统数学模型的重要性–系统仿真分析必须已知数学模型–系统设计必须已知数学模型–本课程数学模型是基础系统数学模型的获取–建模方法：

从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型–辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型数学模型很重要！01.12.20223在线性系统理论中，常用数学模型为：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这

些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。01.12.202243.1系统的分类3.2系统的微分方程模型描述3.3连续系统的频域模型描述传递函数模型零级点模型部分分式模型3.4连续系统的状态空间描述3.5系统

的转换与连接3.4.1串联3.4.2并联3.4.3反馈3.4.4闭环等价变形01.12.202253.1系统数学模型的分类系统模型非线性线性连续离散混合单变量多变量定常时变01.12.20226微分方程模型控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制

系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。3.2系统的微分方程模型01.12.202271.如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。2.通过拉氏变换及其反变换，可得线性定常系统的解析解，

这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。01.12.20228传递函数模型微分方程模型状态空间模型之间的关系01.1

2.2022911101110()()mmmmnnnnbsbsbsbYsUsasasasaLL1010d()d()()ddd()d()()ddnnnmmmytytaaaytttututbbbuttt

LL可直接写为1.微分方程模型传递函数模型01.12.20221012231121010,,1[()]nnnnnnnnxxxxxxxaxaxaaxbut(2)则有，，&&L&&L100d()d()()()ddnnnytyta

aaytbutttL2.已知微分方程模型1(1)2(2)3(1)()()(),,()nnxytxytxytxyt(1)令，，L怎样写为状态空间模型？01.12.2022111200112010000100000+()1nnnnnnnxxxxbxxutaaaaaa

aaa(3)令，整理可得，MLLL&MMMML01.12.202212线性定常系统的传递函数是零初始条件下系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，是

描述系统的频域模型01110111......)()()(asasasabsbsbsbsUsYsGnnnnmmmm3.3连续系统的频域模型3.3.1线性定常系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下：01.12.202213对线性定常系统，式中s的系数

均为常数，且a1不等于零，此时系统在MATLAB中可方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，分别用num和den表示。num=[bm,bm-1,…,b1,b0]den=[an,an-1,…,a1,a0]G=tf

(num,den)注意：mun和den的书写均是按s的降幂进行排列的。01.12.202214零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。3.3.2零极点增益模型))

...()(())...()(()(2121nmpspspszszszsKsGK为系统增益，zi为零点，pj为极点01.12.202215在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：z=

[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。具体形式为：[z,p,k]=tf2zp(num,den)01.12.202216控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本

控制单元的和的形式。函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。[b,a]=re

sidue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。3.3.3部分分式展开01.12.202217例：传递函数描述1）》num=[1224020];den=[24622];2）借助多项式乘法函数conv来处理：22642202412)(23423

sssssssG)523()1()66)(2(4)(23322sssssssssG》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));》den=conv([1,0],conv(

[1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));01.12.2022183）由传递函数得到零极点增益模型：》num=[1,11,30,0];》den=[1,9,45,87,50];[z,p,k]=tf2zp(num,den))43

)(43)(2)(1()5)(6()(jsjsssssssGz=0-6-5p=-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000k=1结果表达式：01.12.2022194）

由传递函数得到部分分式展开形式：》num=[2,0,9,1];》den=[1,1,4,4];》[r,p,k]=residue(num,den)12225.0225.02)(sisiisisGp=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1

.0000k=2r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000结果表达式：01.12.202220传递函数频域模型的转化关系图部分分式展开tf2zp()零极点模型01.12.202221状态

方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。3.4状态空间描述DuCxyBuAxx

在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。01.12.202222例：》A=[16910;31268;47911;5121314];》B=[46;24;22;10];》C=[0021;8022];》D=zeros(2,2);》G=ss(A,B

,C,D)xyuxx2208120001224264141312511974861231096101.12.202223a=x1x2x3x4x116910x231268x347911x45121

314b=u1u2x146x224x322x410c=x1x2x3x4y10021y28022d=u1u2y100y200Continuous-timemodel.01.12.202224在一些场合下

需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。模型转换的函数包括：3.5模型的转换与连接3.5.1模型的转换residue传递函数模型部分分式模型01.12.202

225tf2ss状态空间模型传递函数模型ss2tf状态空间模型零极点增益模型zp2ssss2zp传递函数模型零极点增益模型zp2tftf2zp01.12.202226用法举例：1）已知系统状态空间模型为：》A=[01;-1-

2];B=[0;1];》C=[1,3];D=[1];》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)％iu用来指定第i个输入，当只有一个输入时可忽略。》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)z=-4.561

6p=-1k=1-0.4384-101.12.2022272）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：》num=[00-2;0-1-5;120];den=[16116];》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)61162)(61165)(61162)()()(23231232123

111ssssssGsssssGssssusysG01.12.2022283）系统的零极点增益模型：求系统的传递函数模型和状态空间模型。)5)(2)(1()3(6)(sssssG》z=[-3];p=[-1,-2

,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。01.12.2022294）已知部分分式：如何求出其传递函数表达式。1222

5.0225.02)(sisiisisG》r=[-0.25i,0.25i,-2];》p=[2i,-2i,-1];k=2;》[num,den]=residue(r,p,k)注意：余式r一定要与极点相对应！01.12.202230传递函数模型转化关系图部分分式展开状态空间

模型tf2zp()零极点模型zp2tf()01.12.2022311、并联：parallelparallel函数按并联方式连接两个系统，它适合于连续和离散时间系统3.5.2模型的连接格式：[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)

％并联连接两个状态空间系统。system1system2u1u2u2y1yy01.12.202232[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)inp1和inp2分别指

定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,…,un依次编号为1,2,…,n；out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表

示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。01.12.202233若inp1=[13],inp2=[21]则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。

[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)将并联连接的传递函数进行相加。01.12.2022342）

1312111312111211131211131211131211101010110100100001010263122441uuuxxxyyuuuxxxxxx

232221232221222

1232221232221232221101011101010100010001161123011uuuxxxyyuuuxxxxxx求部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，y11与y21连接。01.12.202235a1=[144;221;36

2];b1=[010;100;001];c1=[001;011];d1=[010;101];a2=[1-10;3-21;16-1];b2=[100;010;001];c2=[010;101];d2=[110;101];[a,b,c,d]

=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,[13],[23],1,1)%input1=[13]%input2=[23]%output1=1%output2=101.12.20

2236格式：[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)％串联连接两个状态空间系统。2、串联：seriesseries函数按串联方式连接两个系统，它适合于连续和离散时间系统system1system21

u2u1yy01.12.202237[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)％out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连接。[num,den]=series(num1,d

en1,num2,den2)％将串联连接的传递函数进行相乘。01.12.2022383、反馈：feedback将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。格式：[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)system1syste

m21u2u2y1y01.12.202239[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到系统

1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign=-1。[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)部分反馈连

接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入，系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成闭环系统。01.12.202240[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)

可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。01.12.2022414、闭环：cloop（单位反馈）cloop函数通过将系统输出反馈到系统输入形成闭环系统，开环系统的输入和输出仍为闭环系统的输入和输出。适用于连续和离散系统格式：syst

em1u1y01.12.202242[ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,sign)％将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。当sign=1时采用正反馈；当sign=-1时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。01.12

.202243[ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)％将指定输出outputs反馈到指定输入inputs，构成闭环系统状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈时应在inputs中采用负值。[numc,denc]=cloop(num,den,sign)％

表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。01.12.202244举例应用：1）系统1为：系统2为：求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。11111131102110uxyuxx

2222241103110xyuxx01.12.202245clccleara1=[01;-1-2];b1=[0;1];c1=[13];d1=[1];a2=[01;-1

-3];b2=[0;1];c2=[14];d2=[0];[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=feedback

(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,+1)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)[a,b,c,d]=cloop(a1,b1,c1,d1)01.12.202246本章小结对于

控制系统，有不同的分类，在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统系统的描述有不同的方法：微分方程；传递函数；零极点增益模式；部分分式展开；状态空间模型等。系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种

模型之间转换的命令。模型之间可以进行连接，要求掌握常用的模型连接命令：串联、并联、反馈及闭环。