【文档说明】第四章复杂电力系统潮流的计算机算法教材课件.ppt，共(103)页，2.868 MB，由小橙橙上传

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基本要求：着重介绍运用电子计算机计算电力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和暂态运行的基础。运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模型，确定解算方法，制定框图和编制程序，本章着重前两步。第四章复杂电力系统潮流的计算机算法本章主要

内容1电力网络方程2功率方程及其迭代法3牛顿-拉夫逊法潮流计算4P-Q分解法潮流计算§4.1电力网络方程•电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数学方程式组。如节点电压方程、回路电流方程，割集电压方程。相应有：•（

1）节点导纳矩阵•（2）节点阻抗矩阵•（3）回路阻抗矩阵简单复习一、节点电压法在具有n个节点的电路(模型)中，可以选其中一个节点作为参考点（参考节点可以认为选择，但常以接地点为参考点，其电位为0，编号为“0”），其余(n-1)个节点的电位，称为节点电压。

节点电压的符号用Un1或Una等表示。以节点电压作为未知量，根据KCL，列出对应于独立节点的节点电流方程，然后联立求出各节点电压，再求出其它各支路电压或电流的方法称为节点电压法。如图所示电路各支路电压可表示为:节点电压法u10=un1u12=un1-un2u23=un2-un3u20=u

n2u30=un3二、结点方程下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。2S6436521S5410iiiiiiiiiii对电路的三个独立结点列出KCL方程：列出用结点电压表示的电阻VCR方程：代入KCL方程中，经过整理后得到：

2S6436521S5410iiiiiiiiiii写成一般形式为其中G11、G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部电导的总和。此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2+G5+G6,G33=G3+G4+G6。Gij(ij)称为节点i和j的互电导

,是节点i和j间电导总和的负值。此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4,G23=G32=-G6。iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路，其

节点方程的一般形式为：从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。4.1.1节点电压方程和节点导纳矩阵的形成一、节点电压方程负荷用阻抗表

示（以母线电压作为待求量、节点电压）12E23E1电力系统等值网络～～132电力系统结线图电压源变为电流源以零电位作为参考，根据基尔霍夫电流定律I2y1212I13y10y13y23y20y30101

213202123303132......111213......222123.....33132()()()()0()()IUyUUyUUyIUyUUyUUyUyUUyUUy1013121321202123233132303132....11231

2...111122133....2123...211222233...123...311322333()()0()IyyyUyUyUYUYUYUIyUyyyUyUYUYUYUyUyUyyyUYUYUYU

111012132220212333303233YyyyYyyyYyyy其中122112233223133113YYyYYyYYy互导纳自导纳nnnnnnnnnnIUYU

YUYIUYUYUYIUYUYUY22112222212111212111n个独立节点的网络，n个节点方程

nnnnnnnnIIIUUUYYYYYYYYY2121212222111211n个独立节点的网络，n个节点方程IYUn个独立节点的网络，n个节点方程Y节点导纳矩阵Yii节点i的自导纳Yij节点i、j间的互导纳几点说明1、IB：节

点注入电流的列向量，和节点注入功率类似，节点注入电流=节点电源电流和节点负荷电流之和，电源电流流入网络，其方向为正，负荷电流流出网络，其方向为负。2、UB是节点电压的列向量，各节点电压是指各该节点与某一个被选定的参考节点之间的电压差。通常以大地为参考节点，编号为“0”。3、YB是一个nxn

阶几点导纳矩阵，其阶数n等于网络几点中除参考节点外的节点数。二、节点导纳矩阵自导纳和互导纳的定义：对于（1），在第i个节点上施加一个单位电压，令其他的节点全部接地。（1）（2）对于（2），在第i个节点上施加一个单位电压，令其他的节点全部接地。分别得到：Y矩阵元素的

物理意义：(0,)0jiiiiUjiiiiijjIYUYyy节点i:加单位电压1Ui其余节点j:全部接地0Uj节点i注入网络电流Yii≠0自导纳Y矩阵元素的物理意义互导纳(0,)jjjjiiUjiijjiijifiIYUYYy

节点i:加单位电压1Ui其余节点j:全部接地0Uj由地流向节点j的电流（节点j的注入电流）按定义形成的节点导纳矩阵12y123－y10y13y23y203I1I2I2U＋3U1Uy30132222(0)UUIYU221222322

0IUyUyUy22122320Yyyy131122(0)UUIYU1212IUy1212Yy12y123－y10y13y23y203I1I2I2U＋3U1Uy30因此，我们得到以下几点更

为实用的结论：(1)节点i的自导纳Yii在数值上就等于与该节点直接相连的所有支路导纳的总和。(2)节点j，i之间的互导纳Yji在数值上就等于连接节点j和i之间支路导纳的负值，显然，经过简单的运算发现，Yji=Yij(3)另外，

若节点J和i之间没有电路的连接，也不考虑两电路之间的互感，则Yji=Yij=0.节点导纳矩阵Y的特点1.直观易得2.稀疏矩阵：稀疏度=零元素/总元素其各行非零非对角元素个数等于与该行相应节点所连接的不接地支路个数。3.在没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元为非对角元之和的负值。4.在

一般情况下，节点导纳矩阵的对角元往往大于非对角元的负值。5.对称矩阵阶数：等于除参考节点外的节点数n对角元：等于该节点所连导纳的总和非对角元Yij：等于连接节点i、j支路导纳的负值4.1.2节点导纳矩阵的修改修改节

点导纳矩阵的原因：YB的形成与电网的结构和参数有关，它随电网的结构和参数变化而变化。（如两个节点间的支路断开，电网结构发生变化，该支路对应的互导纳变为零），因此我们要考虑结构、参数发生变化以后的节点导纳矩阵的形成。断开支路y10和y2

3后的节点导纳矩阵A图对应的节点导纳矩阵为：按定义重新形成B图的节点导纳矩阵为：但这种方法在网络节点数很多时，或这说，在当节点导纳矩阵的阶数n很高时，利用定义重新形成导纳矩阵的方法显然非常麻烦，但不难。利用C图等效图来同样可以形成节点导纳矩阵：我们发现这

样一个特点：断开一条支路只影响该支路两端节点的自导纳和这两个节点间的互导纳，并不影响其他节点。因此只需修改与参数变化支路相连的两个节点的自导纳和互导纳，对原来的矩阵做适当的修改，即可形成新的导纳矩阵YB‘显然，该方法更加简单

。修改节点导纳矩阵的典型方法5、从原有的网络当中节点i处增加一个对地导纳支路，支路导纳为yi06、在原网络i和j之间增加变比为k*的变压器7、例题1、简单电力网络中各元件的支路导纳标么值参数如图1所示，试计算该网络的Y11、Y12和Y22。解：变压器支路导纳：节点导纳矩阵的Y11

、Y12和Y22：2、如图所示各支路参数为标么值，试写出该电路的节点导纳矩阵。解：例3：系统等值网络如右图示，各元件的标么参数标于图中。求该系统的节点导纳矩阵。Z12=j0.4Z13=j0.5Z34=j0.2Z24=j0.4Y20=j0.8Y40=j0.8124Z12Z34Z24Y20Y403Z

134.2功率方程及其迭代法4.2.1节点功率方程在实际的电力系统中，通常已知的既不是节点电压，也不是节点电流，而是各节点的功率，所以我们只需要将电流用功率表示，就得到了用功率表示的功率方程。节点电流：推出节点电压方程为：推出功率方程为：将功率方程分别用直角坐标和极

坐标表示。1、直角坐标表示带入上述功率方程，得：将功率方程的实部，虚部分开表示：2、极坐标表示首先，将电压用极坐标表示：带入功率方程，得：将功率方程的实部，虚部分开表示：（）jiij特点：功率方程是母线电压Ui，Uj和相对相角的非线性函数，较复杂。4.2.

2变量、节点的分类一、变量的分类由上页功率方程的表达式知，在一个节点中，有六个变量，分别是：那么，n个节点的电力系统一共有2n个功率方程，6n个变量。把上述6个变量做一个分类：1、扰动变量（不可控变量）负荷消耗的有功，无功，即P

Li，QLi无法控制，取决于用户，无约束。2、控制变量电源发出的有功，无功，即PGi，QGi是可以控制的变量。3、状态变量状态变量决定系统的状态，受控制变量控制，如母线（节点）电压和相位角。二、节点的分类根据各个节点的已知变量的不同，将节点分成三类：PQ节

点、PV节点、平衡节点。(1)PQ节点给定节点注入功率Pi,Qi，即，求Ui,i。相应于电力系统中的情况有：一个负荷节点；给定有功、无功功率发电的发电厂母线（或发固定功率的发电机节点）；另外，变电所也都是这类节点（无电源，看做发电功率为0）。因此，电力系统中绝大多数节点属于这一类型，所以，

数量最多。(2)PV节点给定节点注入的有功功率Pi，即给定PGi和PLi，另外还给定QLi和Ui，待求QGi（或Qi）和相位角。这类节点的电压幅值一般保持在某一稳定水平，因此必须要有足够可调的无功容量，用以维持给定的电压幅值，因而又称为电

压控制节点。一般选择有一定无功储备的发电厂和安装有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。特点：数量少，可以没有。(3)平衡节点给定节点的电压Ui和相位角，另外节点的PLs，QLs也是给定的，待求节点注入功率Ps和Qs（即PGs和Q

Gs）。特点：●平衡节点的电压和相位大小是给定的，通常以它的相角为基准值，即取其电压相角为0，所以最后的计算结果中所有的相位值都要以平衡节点的电压相位为基准。●平衡节点一般只设一个，且必须要有一个。●这种节点用来平衡全电网的功率，既可以向系统提供缺损的功率，又可以吸收系

统多余的功率。一般选用容量足够大的发电厂（通常是承担系统调频任务的发电厂）三、节点的编号例题：已知两母线系统如图所示，图中参数以标么值表示。已知：试写出：（1）节点的①、②节点类型；（2）网络的节点导纳矩阵；解：（1）节点①是平衡节点，节点

②是PV节点。（2）节点导纳矩阵四、约束条件实际电力系统运行要求：–电能质量约束条件：UiminUiUimax–电压相角约束条件|ij|=|i-j|ijmax,稳定运行的一个重要条件。–有功、无功约束条件PiminPiPimaxQimin

QiQimax4.2.3牛顿-拉夫逊迭代法一、基本原理由此可见，每进行一次迭代修正，修正量都会发生细小的变化。现假设有一非线性方程组nnnnnyxxxfyxxxfyxxxf）））非线性方程组：,,,(,,,(,,,(

2122121211，则有：，，，与精确解相差。设近似解，，，其近似解为nnxxxxxx21)0()0(2)0(1nnnnnnnnyxxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxf

）））)0(2)0(21)0(12)0(2)0(21)0(121)0(2)0(21)0(11,,,(,,,(,,,(在x（0）的附近按泰勒级数展开并忽略二阶及以上的高次项inniiininniyxxfxxfxxfxxxfxxxxxx

f0202101)0()0(2)0(1)0(2)0(21)0(1,,,(,,,(））由此可得：nnnnnnnnnnnnnnyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxf

0202101)0()0(2)0(120220221012)0()0(2)0(1210120211011)0()0(2)0(11,,,(,,,(,,,(）））于是由原来的非线性方程组得出线性方程组（也叫修正方程组）为：

nnnnnnnnnnnnxxxxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy21002010202201201021011)0()0(2)0(1)0()0(2)0(122)0()0(2)0(111,,,(,,,(,,,(）））的矩阵形式为：线性方程或修正方程组xJf第K次迭代后的雅克

比矩阵为：二、计算步骤由此可知，初值选择适当迭代收敛，选择不当将不收敛。选择不当选择恰当4.3牛顿-拉夫逊潮流计算由上节内容可知，牛顿型潮流计算的核心问题是修正方程式的建立和求解，在修正方程的建立过程中，需要对各类节点的编号做一个约定（在上一节中已讲到关于节点编号，这里在重复一下）：一、节点的编

号二、潮流节点实际功率方程的个数从理论上讲，假设一个n个节点的电力网络，除去一个平衡节点外，还剩下n-1各节点，所以功率方程的总数为2(n-1)个【包括有功和无功方程】。网络中状态变量的个数也是2(n-1)个。但现在根据上述编号约定原则，得出：☞PQ节点个数为m-1个，那么PQ节点对应的有功和无功

方程共有2(m-1)个。☞PV节点个数为n-m个，那么PV节点对应的有功功率方程共有n-m个。（因PV节点没有给定节点注入的Qi，所以无功方程不得而知，就不能用来作为方程组来求解）☞平衡节点时不参加迭代计算的。因此，实际上，可以确定的功率方程总数为：2(m-1)+n-

m=n+m-2因此，状态变量总数也为：n+m-2三、修正方程1、用直角坐标表示的修正方程前面其实已经讲到用直角坐标系表示的功率方程，如下所示：injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe

1)(injjijjijijijjijiQeBfGefBeGf1)(222iiiUfe但由于系统中还有PV节点的电压大小是给定的，所以还有其中，ei，fi分别为迭代过程中求得的节点电压实部

和虚部；Pi为PQ节点和PV节点注入的有功功率；Qi为PQ节点注入的无功功率；Ui为PV节点的电压大小。用直角坐标表示的修正方程

nnppnnnnnpnpnnnnnnnnnpnpnnnnpnpnpppppppppnpnppppppppnnppnnppnnppppnnpp

nnppefefefefSRSRSRSRNHNHNHNHSRSRSRSRNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHUPUPQPQP22112211221122112211222222222

1212222222221211111111111111112121111222211PQ节点PV节点相应的有：1()niisiijjijjiijjijjjPPeGeBffGfBe1()niisiijjijjiijjijj

jQQfGeBfeGfBe2222()iisiiUUef这里△Pi，△Qi，△Ui2分别成为节点注入的有功，无功不平衡量，节点电压平方的不平衡量。（也就是把近似解带入后得到的偏差）另外，在上式中，

凡是下标带s的都表示该值是一个已知量，为区别未知的量，用s标注。雅克比矩阵各元素jiijjiijePNfPHjiijjiijeQLfQJjiijjiijeUSfUR22雅克比各元素具体值（证明过程

略）（1）当i≠j时，即雅克比矩阵的非对角元素：220;0iijijiijijiijijiijijiijijiijiijjiijijiijiijjiiijijjjPHBeGffPNGeBfeQJBfGeNfQLGfBeHeUURSfe

（2）当i=j时，即雅克比矩阵的对角元素：111122()()()()2;2niiiiiiiiiijjijjjiniiiiiiiiiijjijjjiniiiiiiijiijjijjjiniiiiiiiiiijjij

jjiiiiiiiiiiiPHBeGfGfBefPNGeBfGeBfeQJBfGeGeBffQLGfBeGfBeeUURfSefe用直角坐标系表示时雅克比矩阵的特点•当i≠j时，Jij=-Nij，H

ij=Lij•但当i≠j时，Hij≠Hji，Nij≠Nji，Jij≠Jji，Lij≠Lji，因此雅克比矩阵并不是一个对称矩阵，这一点务必与节点导纳矩阵要区分开来。•当i≠j时，Rij=0，Sij=0，又因为电网中有很多节点之间并没有

直接的连接，互导纳Yij=Gij+jBij=0，与之对应的很多非对角元素都为0，所以雅克比矩阵是一个稀疏矩阵。2、用极坐标表示的修正方程前面已经介绍了用极坐标表示的功率方程，如下：1(cossin)(443)n

iijijijijijjPUUGBa1(sincos)(443)niijijijijijjQUUGBb用极坐标表示的修正方程前面已经讲到，从理论上来讲，功率方程的个数一共有2(n-1)个，状态变量（未知量）的个数也是2(n-1)个

，所以方程写成了如上形式。但实际上，PV节点的节点功率方程只有n-m个，而不是2(n-m)个，（因为Qi是没有给定的），所以PV节点对应的不平衡量△Qn是不存在的，所以有n-m行是空着的。另外，对于PV节点，节点电压Ui是给定的，并且保持在某一稳定值，因此对应

的电压偏差就为0，即在未知量列向量中，PV节点对应的电压偏差量为0（有n-m个），对应到雅克比矩阵中，就有n-m列是空着的。综上所述，在雅克比矩阵中，留出了n-m行空行和n-m行列行。有功、无功不平衡量为：1(cossin)(445)niisijijij

ijijjPPUUGBa1(sincos)(445)niisijijijijijjQQUUGBb用极坐标表示的修正方程式为jjiijjiijUUPNPHjjiijjiijUUQLQJ所以修正方程可以简化为：雅克比矩阵的各个元素

})]sincos([{1nkikikikikkijjiijBGUUPH只对k=j项求导，其余项因为不含有，因此求导为0.j==同理可得当i≠j的所有情况：（1）i≠j(sincos)(cossin)ii

jijijijijijjiijijijijijijjPHUUGBQJUUGB(cossin)(sincos)iijjijijijijijjiijjijijijijij

jPNUUUGBUQLUUUGBU（2）当i=j11(sincos)(cossin)niiiijijijijijjijiniiiijijijijijjijiPHUUGBQJUUGB

21212(cossin)2(sincos)niiiiiiiijijijijijjijiniiiiiiiijijijijijjijiPNUUGUUGBUQLUUBUUGBU

用极坐标表示的雅可比矩阵的特点：（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数，在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩阵各元素的值；（2）雅可比矩阵各非对角元素均与Yij＝Gij＋jBij有

关，当Yij＝0，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进行分块，每块矩阵元素均为2×2阶子阵，分块矩阵与节点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；（3）非对称矩阵。四、牛拉潮流计算的基本步骤五、PV节点向PQ节点的转化原因

：优先考虑节点注入功率的约束。4.4P-Q分解法潮流计算P-Q分解法潮流计算，也叫P-Q解耦潮流计算，其计算是派生于以极坐标表示时的牛拉法。二者主要的区别在于修正方程式和计算步骤。牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫

逊法的雅可比矩阵在每一次迭代过程中都会发生变化，需要重新形成和求解修正方程，当电力网络很胖大，节点数较多时，将会导致计算机工作量很大，计算时间很长，这就是牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。P-Q分解法利用了电力系统的特点，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以

改进和提高计算速度先将修正方程式4-44重新排列

2211212221222221121111121121212121222122222112111112112121UUUULLJJJJLLJJJJNNHHHHNNHHHHNNHHHHNNHHHHQQPPPPnpnpnpnnnnn

pnnpppnppppnpnpnp简写成为：UULJNHQP可将上式中的N、J略去，得到。UULHQP

00从而，P-Q解耦法的修正方程为：UULQHP又因为Rij<<Xij，导致Gij<<Bij，所以：所以可将H、L简化为：2112211;2ijijijijijijnniiijijijijiiijjjinniiijijiiiijijiiijjjiHUUB

LUUBHUUBUUBUBLUUBUBUUBUB为什么呢？另外，对无功注入功率（4-43b）也可以进行简化22;iiiiiiiiiiiiHQUBLQUB2iiiiBUQ得到：又因为在认为是在R<<X的

情况下，与节点无功功率对应的导纳通常远远小于节点的自导纳，即所以：22;iiiiiiiiiiHUBLUB这样雅克比矩阵中两个子矩阵H、L的元素具有相同的表示式，但是他们的阶数不同，前者为n-1阶，后者为m-1阶

。展开得到：在考虑到UULQHP代入：并且等号两边同时前乘以逆矩阵，整理得出P-Q分解法修正方程：nnnnnnnnnnUUUBBBBBBBBBUPUPUP

22112122221112112211mmmmmmmmmUUUBBB

BBBBBBUQUQUQ212122221112112211简化为：UBUPUBUQ说明：这两个矩阵不仅阶数不同，而且矩阵元素值也不相同。P-Q分解法的特点：•以一个n-1阶和一个m-1阶系数矩阵B’、B”代替原有的n+m-2阶系数矩阵J

，提高了计算速度，降低了对存储容量的要求；•修正方程的系数矩阵B’和B”为对称常数矩阵，且在迭代过程中保持不变；•P-Q分解法具有线性收敛特性，与牛顿-拉夫逊法相比，当收敛到同样的精度时需要的迭代次数较多，但所用的时间少；•P-Q分

解法一般只适用于110KV及以上电网的计算。因为35KV及以下电压等级的线路r/x比值很大，不满足上述简化条件，可能出现迭代计算不收敛的情况。所以若不满足R<<X，则不能用P-Q解耦法计算潮流。P-Q分解法潮流计算的步骤：本章完毕谢谢同学们的支持