【文档说明】第三章计算机控制系统设计方法-课件.ppt，共(65)页，1.153 MB，由小橙橙上传

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第三章计算机控制系统设计方法第三章1----1计算机控制系统属于数字控制系统。所以，计算机控制系统控制器的设计属于数字控制器的设计。关于数字控制器的设计，有直接法和模拟法两种，这两种方法各有其特色，本章将分别给予介

绍。第一节连续域——离散化设计一、设计的基本原理和步骤连续域——离散化设计分以下五个步骤完成：第1步：根据系统的性能和要求，选择采样频率。第2步：教材3-2所示，由于保持器会引入延迟，根据系统预定的性能指标，采用连续域的设计方法，设计出数字控制器的等效传递

函数。保持器常采用零阶保持器，其一阶和二阶近似式表示如下：第三章1----2211sTTsesT12)(2112sTsTTsesT（3-1）（3-2）图3-2连续域内等效设计框图第3步：选择适当的离散化方法，将D(s)离散化获得性能尽量等效的脉冲传

递函数D(z)。第4步：针对由D(z)构成的离散闭环控制系统，检验其闭环性能。如图3-3所示。第5步：将D(z)编制成数字算法，在计算机上编程实现。二、前向差分法设模拟控制器传递函数为ssRsCsD1)()()((3-3)转换成微分方程为)()(

trdttdc(3-4)以一阶前向差分近似该微分，并代入（3-4）式，得)()()1(kTrTkTCTkC(3-5)令k+1=n,上式的z变换为)()()1(11zRTzzcz或11)()()(11z

TzTzzRzCzD（3-6）比较式（3-6）和式（3-3）可见，连续传递函数中的s在离散传递函数中的置换公式为1zsT推而广之，即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z)为：1()()|zsTDzDs(3-7)下面讨论s平面

和z平面之间的映射关系。因为平面上的虚轴（轴）是稳定与不稳定区域的分界线，所以应着重研究轴在z平面内的映象。jj由得：Z=1+TS1zsT令代入后可见，s平面上轴映射在z平面上将右移1个单位，所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。jsj前向差分法的特

点总结如下：1、直接代换，具有串联性，变换方便；2、整个s左半平面映射到z平面z=1以左的区域，故D(s)与D(z)不具有相同的稳定性；3、因为D(s)|s=0=D(z)|z=1，故稳态增益维持不变；

4、当采样周期T较小时，等效精度较好。三、后向差分法设模拟控制器传递函数为图3-5前向差分法s平面稳定域在z平面内的映象ssRsCsD1)()()((3-8)转换成微分方程)()(trdttdc(3-9)以一阶后向差分近似

微分，得TTkckTCdttdc)1()()((3-10)代入式（3-9）得)()1()(kTrkCkC对上式进行z变换，经整理为1)()()(zTzzRzCzD(3-11)比较式（3-11）与式（3-8），得s和z的置换公式为Tzzs1(3-12)推广而言，

后向差分的离散化公式为TzzssDzD1|)()((3-13)Tzzs1因为则TsTsz112121当时，可得js2121z四、双线性变换法（Tustin变换法）1、离散化公式图3-7中曲线r(t)以下的积分面积dttrtCt)()(0

可采用个梯形面积之和来近似表示)1()(2)1()(krkrTkCkC(3-15)其中前个梯形面积之和表示为C(k-1)。对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得1121)()()(zzTzRzCzD显然，s平面的虚

轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。图3-6后向差分法s平面稳定域在z平面内的映象图3-7梯形规则数值积分对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得1121)

()()(zzTzRzCzD对比模拟控制器传递函数显然此时的转换关系为ssRsCsD1)()()(211zsTz（3-16）由此可得双线性变换（梯形积分规则或Tustin变换）的离散化公式为211()()|zsTzDzDs

（3-17）2、映射由式（3-16）可得令s=jω，可得|z|=1，相位随ω而变化，此即z平面的单位圆，如图3-8所示。可见，若D(s)稳定，D(z)也一定稳定。1212TszTs图3-8双线性变换法S平面稳定域在z平面内的映象3、频率畸变与预修正令s=jω，z=ejω

dt。这里，ω表示s域的角频率，ωd表示z域的角频率。根据置换公式，可得11211zsTz则22222112TjTjTjTjTjTjddddddeeeeTeeTj2tan2TTjd即（3-18）或2tan2TTd

2arctan2TTd式（3-18）表明，s域的角频率ω与z域的角频率ωd是一个非线性关系，双线性变换产生了频率畸变。当时，有2tan2TTdTdjezjszDsD)()(（3-19）式（3-19）

表明，D(s)在频率ω处的幅值D(z)等于在的幅值，如图3-9所示。2arctan2TTd图3-9双线性变换的频率畸变由图3-9可见，双线性变换将s域0~∞频段均压缩到z域的有限区间0~π，在系统校正装置的设计过程中，当D

(z)用取代D(s)时，如果要保证在某个特征频率ω1处离散后，，则必需进行频率预修正。进行预修正的步骤如下：（1）在特征频率ω1（如转折频率，自然振荡频率等）处，计算s域预修正频率)((11TjeDjD2tan2'11TT（2）将模拟控制器传

递函数修正为)'(1sD（3）将转换成D(z)，令)'/(1sD21|11()()'zsTzsDzkD（4）根据稳态增益相等的原则，按进行增益匹配。总结以上各步骤，也可一步写出预修正双线性变换公式如下：1|0)(|)(zszDsD1111tan

2()()|zsTzDzkDs例3-1已知连续传递函数15.01)(2sssDT=1s时，要求对其进行双线性变换，且在自然振荡频率ωn=1rad/s处离散前后的幅值相等。解：第1步：取自然振荡频率ωn为特

征频率ω1，并计算s域预修正频率ω1′nsradTT/092.12tan2'11第2步：修正原传递函数D(s)为由D(s)可知)'/(1sD'12''111(/)()21Dsss1092.15.0)092.1(12ss192.1546.0192.12ss第3

步：代入进行双线性变换112zzTs1211()(/)|zsTzDzkDs192.1546.0192.12ss第4步：确定的增益根据稳态增益相等的原则：可得10)()(zszDsD2100.192(11)()()|110.8940.652z

sDzkDs解得k=1所以652.0894.0)1(192.0)(22zzzzD4、双线性变换的特点（1）s域左半平面映射到z平面的单位圆内（一一对应）；（2）变换具有串联

性，即针对相互串联的连续环节，可分别对各个环节作双线性变换，然后相乘；（3）D(z)和D(s)具有相同稳定性；（4）频率特性发生畸变；（5）变换后稳态增益不变。五、零极点匹配法1、转换规则令Z=esT，将D(s)离散化为D(z)11()()()miinjjKszD

sspkzezezzDmnnjTPmiTZii)1()()()(11（3-20）式(3-20)表明，在z=esT时，D(s)的零点和极点均一一对应地映射到z平面，若时，则D(z)的分子上应添加(z+1)n-

m因子。为保证变换前后增益不变，需进行增益匹配。D(z)的增益一般可按下式匹配：10)()(zszDsD例3-2已知连续传递函数为21()115Dsss试采用零极点匹配法离散化，设采样周期T=1s。解：先将分解为零极点形式因T=1s，按转换公式1()(0.10.995)(0.1

0.995)Dssjsj(0.10.995)10.4930.759jTzej(0.10.995)20.4930.759jTzej根据公式（3-20），得22(1)()0.9850.81

9kzDzzz由可得10)()(zszDsD0.209k所以2、特点（1）D(z)和D(s)有相同稳定性；（2）D(s)的零、极点均按照Z=esT的关系与平面的零、极点一一对应；（3）稳态增益匹配，一般按关系匹配。六、几种离散化公式的比较以脉冲传递函数对原连续传递函数的保真度作为

衡量标准，表3-1对上述几种离散化方法的主要特点进行了比较。220.209(1)()0.9850.819zDzzz10)()(zszDsD第二章1---30表3-1几种离散化方法的主要特性比较第二节最少拍数字控制系统的设计在离散系统中，通常把一个采样周期称作一拍。最少拍系统

，也称为最小调整时间系统或最快响应系统。一、闭环脉冲传递函数的选择图3-10是一个典型的计算机反馈控制系统。为了讨论问题方便，首先假设被控对象是稳定的。系统的闭环脉冲传递函数为)()(1)()()(zGzDzGzDz由式（3-21）可以导出数字

控制器的脉冲传递函数为)(1)()()(zzGzzD（3-21)（3-22)图3-10典型的计算机控制系统从式（3-22）可以看出，G(z)是零阶保持器和被控对象所固有的，不能改变。现在只需确定满足系统性能指标要求Φ(z)的，就可以求得满足要求的数字

控制器的脉冲传递函数。下面就讨论怎样确定Φ(z)和D(z)。首先，最少拍系统要求稳态偏差e(∞)=0。由图3-10可知，偏差的z变换为)()(1)()()()()()(zRzzRzzRzCzRzE（3-23）根据终值定理，

系统的稳态偏差为)()(1)1(lim)()1(lim)(lim)(1111zRzzzEzteezzt（3-24）设典型输入信号的一般形式为kzzAzR)1()()(1（3

-25）式中,A(z)为z-1的多项式，它不包含(1-z-1)因子，当k=1,2,3时，分别对应单位阶跃、单位速度和单位加速度输入。将式（3-25）代入式（3-24）则有:kzzzAzze)1()()(1)1(lim)(111由于A(z)不含有(1-z-1)因子，所以1-

Ф(z)中必定含有(1-z-1)的至少k次的因式，才能使e(∞)=0，即)()1()(11zFzzp)(kp（(3-26）式中，F(z)是z-1和n次多项式。另一方面21)2()1()0()()(1)(zez

eezRzzE要使误差尽快为零，则上式右端应该是z-1最少多项式，因此应使[1-Ф(z)]中(1-z-1)与分母中的(1-z-1)完全相约，即p=k，于是)()1()(11zFzzk(3-27)不难看出，Φ(z)具有z

-1的最高幂次为k+n，其中n为F(z)的z-1的最高幂次，则可写成)(2211)(nknkzzzz(3-28)式（3-28）表明，闭环系统在单位脉冲作用下，其输出响应将在k+n

个采样周期后变为零，或者说，在典型输入作用下，系统将经过k+n个采样周期达到稳态并实现跟踪。当n=0，即F(z)=1时，系统可经过最短时间（k个采样周期）达到稳态。kzz)1(1)(1(3-29)二、一般对象的最少拍系统的设计下面我们讨论在被控对象的脉

冲传递函数稳定且没有纯滞后的情况下，如何根据不同的典型输入R(z)，确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。1、单位阶跃输入当r(t)=1时，，这时，可选择111)(zzR1,1)(kzA111)1(1)(

zzz(3-30)则数字控制器的脉冲传递函数为（3-31）)1)(()(1)()()(11zzGzzzGzzD系统输出为即111)()()(zzzRzzC210)(zzzC输出序列为C(0)=0,C(1)=1,C(2)=1,…其波形如图3-11

所示，由此可知离散系统的调节时间为1拍。图3-11单位阶跃输入时的输出序列2、单位速度输入当r(t)=t时，211)1()(zTzzR这时A(z)=Tz-1,k=2，可选择21212)1(1)(zzzz(3-32)则数字控制器的脉冲传递函数为2121)1)((2)

(1)()()(zzGzzzzGzzD(3-33)系统输出为31212()()()(2)(1)TZCzzRzzzz系统输出为即C(z)=0+z-1+z-2+…输出序列为C(0)=0,C

(1)=1,C(2)=1，…其波形如图3-11所示，由此可知离散系统的调节时间为1拍。111)()()(zzzRzzC图3-11单位阶跃输入时的输出序列21212)1(1)(zzzz211)1(

)(zTzzR2、单位速度输入当r(t)=t时，，这时A(z)=Tz-1，k=2，可选择（3-32）则数字控制器的脉冲传递函数为（3-33）系统输出为2121)1)((2)(1)()()(zzGzzzz

GzzD31212()()()(2)(1)TZCzzRzzzz即输出序列为323200)(TzTzzC,3)3(,2)2(,0)1(,0)0(TCTCCC其输出序列如图3-12所示。从图3-12可

以看出，单位速度输入时，离散系统的调节时间为2拍。图3-12单位速度输入时的输出序列3、单位加速度输入当时，，这时，可选择则数字控制器的脉冲传递函数为（3-35）系统输出为221)(ttr31112)1()1()(zzzTzR2)1()(112zzTzA3213133)1

(1)(zzzzz（3-34）31321)1)((33)(1)()()(zzGzzzzzGzzD31112321)1()1()33()()()(zzzTz

zzzRzzC即输出序列为423222216292300)(zTzTzTzC,216)4(,29)3(,23)2(,0)1(,0)0(222TCTCTCCC其波形如图3-13所示。由图3-13可能看出，单位加速度输入时，离散系统的调节时间为

3拍。上面的讨论结果汇总于表3-2。表3-2三种典型输入时的最少拍系统例3-3设单位速度反馈线性离散系统如图3-10所示，设被控对象的传递函数，采样周期T=0.1s，试设计单位速度输入时的最少拍系统的

数字控制器D(z)。)11.0(10)(0sssG图3-12单位速度输入时的输出序列解:系统广义被控对象的脉冲传递函数为)(1)(0sGsezzGTs)11.0()1(102ssezTs)11.0(1)1(10

21sszz)1)(1(10)1()1()1(1011011102111zezzezTzzTT将T=0.1s代入上式，经过整理后得)368.01)(1()717.01(368.0)(1111zzzzzG因为是单位速度输

入，所以选择则数字控制器的传递函数D(z)为21212)1(1)(zzzz)717.01)(1()368.01)(5.01(435.5)(1)()()(1111zzzzzzGzzD系统输出为

43221121432)1()2()()()(TzTzTzzTzzzzRzzC其输出序列的波形与图3-12相同，离散系统经过两个采样周期T以后（即k≥2），C(kT)=r(kT)，这就是按单位速度输入设计的最少拍系统。三、特殊情

况下最少拍系统的设计现在研究考虑零点和极点分布时，最少拍数字控制系统如何设计。根据图3-10，由式(3-23)得)(1)()()(zZRZEze（3-36）)()()()(1)()()(zzG

zzzGzzDe（3-37）由式（3-37）可以得出)()()()(zzGzDze（3-38）闭环系统的稳定性是由Φ(z)的极点在z平面的分布决定的，Φ(z)的零点对系统的快速性也

将产生一定的影响。由式（3-38）可以看出，被控对象的零极点对Φ(z)有直接影响，特别是那些单位圆上或单位圆外的零极点更应引起我们的注意。（1）G(z)含单位圆上或单位圆外的极点当被控对象G(z)中含有单位圆上或单位圆外的极

点时，这些极点也将作为Φ(z)的极点，此时系统是不稳定的。为了保证系统的稳定性，有两个办法可以设法消除这些极点。一是让包含与这些极点相对应的零点．通过零极相消，去掉G(z)中的不稳定极点。二是将这些极点作为的零点。(2)含单位圆上或单位圆外的零点当G(z)含有单位圆上或单位因外的零点时，

这些零点也将作为Φ(z)的零点，此时系统的调节时间将增加。若要不增加调节时间，必然要消除这些零点。(3)G(z)含有纯滞后环节如果G(z)中含有纯滞后环节，则G(z)可以表示为)()(zGzzGr(3-39)式中,为G（z）的不含滞后因子的部分。

由式（3-22）及式（3-39）可以得出)(zG)(1)()()(zzGzzzDr(3-40)式中，z’因子表示D(z)具有超前环节，即在上次输入信号到来之前就有对应的输出，这在物理上是无法实现的。

如果让Φ(z)的分子中含有z-1因子，从而抵消掉G(z)中的z-r因子，这样，数字控制器的D(z)中就不会出现超前因子了。通过以上讨论，可以得出如下一些选择闭环脉冲传递函数Φ(z)的限制条件：①数字控制器在物理上应是可实现的有理多项式，即nnmmzazaz

azbzbzbbzD2211221101)()(mn②选择Φ(z)时，应包含G(z)中的滞后因子，G(z)的单位圆上或单位圆外的零点应保留，并作为Φ(z)的零点。③G(z)的单位圆上或单位圆外的极点，应作为Φe(z)

=1-Φ(z)的零点。第三节最少拍无波纹数字控制系统设计一、波纹产生的原因设在图3-10中，G0(s)=10/[s(s+1)]，对于阶跃输入，可设计出最少拍有波纹数字控制器11718.011.0272.0)(zzzD111()

()()(1)11eEzzRzzz即从第一个采样节拍起，偏差巳达到并保持为零了。如果从第一个节拍起控制量u(k)也能保持恒定(常数或零)，则输出就可保持不变。但是11718.011.0272.0)()()(

zzzDzEzU4321109.0152.0212.0295.0272.0zzzz可见控制量实际上并不恒定，而在波动。这样一个波动的控制量作用在保持器的输入端，保持器输出也必然会波动，系统输出中也必然会出现波

纹。二、消除波纹的条件从以上讨论可知，波纹是由于u(k)波动引起的，要消除波纹，必须使u(k)为一恒定值。下面来讨论u(k)为一恒定值的条件。由于)()()(zRzzC)()()(zUzGzC所以)()()()(zRzGzzU（3-41）由上一节的讨论可知，最少拍

系统要求闭环系统的脉冲传递函数Φ(z)=1-(1-z-1)k×F(z)，F(z)为z-1的有限项多项式。这就是说，当Φ(z)为z-1的有限项多项式时，输出C(k)也能在若干拍后达到稳定。同样，由式（3-41）可以看出，如果Φ(z)/G(z)可以表示

成z-1的有限项多项式时，输出c(k)也能在若干拍后达到稳定。所以，系统无波纹的条件是Φ(z)与G(z)之比可以用z-1的有限项多项式表示。由于miiniiniimiizzzpzzpzzzzGz11111111)1()1()()1()1(/)()()(

所以，为了使Φ(z)与G(z)之比为z-1的有限多项式，应该让Φ(z)包含G(z)的全部零点z=zi。则系统就会是无波纹的。例3-5设离散数字控制系统如图3-10所述，采样周期T=1s，G0(s)=10

/[s(s+1)]，试设计单位阶跃输入的最少拍无波纹数字控制器D(z)。解采用零阶保持器时，广义被控对象脉冲传递函数为)368.01)(1()717.01(68.3)(1111zzzzzG在有波纹时可选11)1(1)(zzz考虑无波纹要求，应

使Φ(z)包含G(z)的全部零点。所以应选择11()(10.717)zazz的零点多了一个，必然会使的阶次增加一阶，即)(z)(ze)1)(1()(11bzzze式中(1-z-1)是由输入的形式决定的，(1+bz-1)是由于的零点增加而相应产生的

。因为所以有)(1)(zze)717.01(1)1)(1(1111zazbzz比较等式两边的系数有由此解得所以abba717.01418.0582.0ba)717.01(582.0)(11

zzz)418.01)(1()(11zzze最少拍无波纹数字控制器的D（z）为)418.01()368.01(158.0)()()()(11zzzzGzzDe现在检验一下是否符合无波纹的要求)()()()(zRzGzzU)1)(717.01(68.3)3

68.01)(1)(717.01(582.01111111zzzzzzz1058.0158.0z两拍以后，数字控制器的输出即为零，所以能保证系统无波纹。第四节大林算法美国IBM公司的大林，在1968年提出了一种针对工业生产过程控制中的含有纯滞后

对象的控制算法，具有较好的效果。一、大林算法的基本形式设被控对象具有纯滞后的—阶或二阶惯性环节，它们的传递函数为sesTKsG1)(10LTsesTsTKsG)1)(1()(210LT式中，T1和

T2表示被控对象的时间常数；τ为被控对象的纯滞后时间；K为放大系数。假定τ为T的整数倍，即τ=LT(L=1,2,3…）。大林算法的目标是设计一个数字控制器，使整个闭环系统的传递函数Φ(s)相当于一个带纯滞后的一阶

惯性环节，而且要求期望的闭环系统的纯滞后时间与被控对象的纯滞后时间相等，即sesTsRsCs11)()()(0LT式中，T0为校正后闭环系统的时间常数。由于是在平面上讨论数字控制器的设计，

因此假设离散系统中采用的是零阶保持器，采样周期为T，那么闭环控制系统的脉冲传递函数为0()1()()1TsLTSCzeezZRzsTs10(1)(1)LTsezZsTs0

0/1/)1(1)1(TTTTLezez)(1)()()(zzGzzD)1(/1/)1(/)1(1)()1(000LTTTTLTTzezezGze上式就是按大林算法而导出的数字控制器D(z)

，可见它由被控对象唯一地确定。例3-6设，试用大林算法设计阶跃输入时的数字控制器D(z)。解包括采样保持器在内的广大对象脉冲传递函数为sTssesGs1,)1()(20)368.01)(1()718.0

1(368.0)(1131zzzzzG现构成T0=2s的一阶闭环系统，纯滞后也为2s。5.05.012)(22sesesss20.51320.51110.5(1)0.393()0.5110.607sseeezzzZz

ssezz)(1)()()(zzGzzD)393.0607.01)(718.01()368.01)(1(068.131111zzzzz当输入单位阶跃时，闭环输出

的z变换为11311607.01393.0)()()(zzzzRzzC876543950.0918.0865.0775.0632.0393.0zzzzzz可见，系统输出是以指数形式

变化的。二、振铃现象及消除方法在设计具有纯滞后被控对象的计算机控制系统时应当注意可能会出现振铃现象。继续研究例3-6。其控制量为)718.01)(607.01()368.01(068.1)()()(111zz

zzGzCzU211436.0111.01393.0068.1zzz4321259.0281.0523.0512.0068.1zzzz很明显，数字控制器的输出控制量u(k)以

2T为周期上下大幅度摆动，大林把这种现象称为振铃现象。振铃现象会导致系统执行机构的磨损增加。观察U(z)的表达式，其中包含z=-0.718的极点，该极点会引起交替变号的衰减序列。大林提出了一个消除振铃的方法是在引起振铃的D(z)的极点因子中，令z=1，从而消除振铃。如上例中，只

要将D(z)中1+0.718z-1因子改为了1+0.718即可。修改后的D(z)为31311393.0607.01)368.01)(1(622.0)(zzzzzzD43113164.0164

.0607.01)718.01(229.0)()(1)()()(zzzzzzGzDzGzDz