【文档说明】5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(34)页，1.124 MB，由飞向未来上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-43.html

以下为本文档部分文字说明：

5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式第二课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝___________________α，β∈R两角和的余弦C(α＋β)co

s(α＋β)＝___________________α，β∈R两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝___________________α，β∈Rcosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinα

sinβsinαcosβ＋cosαsinβ名称简记符号公式使用条件两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝___________________α，β∈R两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝___

___________α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝______________α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1sinαcosβ－cosαsinβtan

α＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ(二)基本知能小试1．判断正误(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．

()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(5)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－

tanαtanβ都成立．()(6)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．c

os50°cos10°－sin50°sin10°的值为()A．0B．12C.32D．cos40°答案：B3．设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝()A.15B．－15C．5D．－5解析：易知tanθ＝32.所以tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝32－11＋

32＝15.答案：A4．若cosα＝－35，α是第二象限的角，则sinα＋π4＝________.解析：∵cosα＝－35，α是第二象限的角，∴sinα＝1－cos2α＝45，∴sin

α＋π4＝22sinα＋22cosα＝22×45－22×－35＝210.答案：210题型一给角求值[学透用活]1．两角和与差的正弦公式的一般使用方法(1)正用：把sin(α±β)从左向右展开．

(2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用．(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．2．两角和与差的正切公式的常用变形(1)tanα＋t

anβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；(3)1±tanαtanβ＝tanα∓tanβtan(α∓β)；(4)tanαtanβ

＝1－tanα＋tanβtan(α＋β)；(5)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．[典例1]求下列各式的值．(1)sin7π18cos2π9－sinπ9sin2π9；(2)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(

x－18°)；(3)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°.[解](1)原式＝sin7π18cos2π9－sinπ2－7π18sin2π9＝sin7π18cos2π9－cos7π18sin2π9＝sin7π

18－2π9＝sinπ6＝12.(2)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos[90°－(63°－x)]sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(x－18°)－cos(x＋27°)sin(x－18°)＝sin[(x＋27°)－(x－18°)]＝sin45°

＝22.(3)因为tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°tan28°，所以tan17°＋tan28°＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＝1－tan17°

tan28°，所以原式＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.[方法技巧]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的

变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．[提醒]在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否

符合公式特点，其次注意角是否满足要求．[变式训练]1．cos70°sin50°－cos200°sin40°的值为()A．－32B．－12C.12D．32解析：∵cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin70°，sin40°＝cos50°，∴原式＝cos70°sin50°

－(－sin70°)cos50°＝sin(50°＋70°)＝sin120°＝32.答案：D2．若θ是第二象限角且sinθ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.解析：∵θ是第二象限角且sin

θ＝513，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cosθ－32sinθ＝12×－1213－32×513＝－12＋5326.答案：－12＋53263．化简求值：(1)s

in50°－sin20°cos30°cos20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；(3)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°.解：(1)原式＝sin(

20°＋30°)－sin20°cos30°cos20°＝sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°cos20°＝cos20°sin30°cos20°＝sin30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－

3cosα＝12sinα＋32cosα＋32cosα－12sinα－3cosα＝0.(3)原式＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－3tan70°·tan50°＝－3(1－tan70°tan50°)－3tan70°tan50°＝－3.题型二给

值(式)求值问题[典例2]已知α，β是锐角，且sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sinβ的值．[解]∵α是锐角，且sinα＝437，∴cosα＝1－sin2α＝1－4372＝17.∵α，β是锐角，

且cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1－－11142＝5314，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝5314×17－－1114×437＝32.[方

法技巧]给值(式)求值的策略(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注

意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan45°，1＝sin90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．[方法技巧]给值(式)求值的策略(3)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，

然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(4)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．[变式训练]1．已知tan(α－β)＝23

，tanπ6－β＝12，则tanα－π6＝()A.14B．78C.18D．74答案：C解析：∵tan(α－β)＝23，tanπ6－β＝12，∴tanα－π6＝tan(α－β)－π6－β＝tan(α－β)－tanπ6－β1＋tan(α－β)tanπ6－β＝23－121＋

23×12＝18.2．若sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值．解：∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π

2<π4－β<0.又∵sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，∴cos3π4＋α＝－1213，sinπ4－β＝－45，∴cos(α＋β)＝sinπ2＋(α＋β)＝sin3π4＋α－π4－β＝sin3π4＋αcosπ4－β－cos3π4＋αsinπ4－β＝513×

35－－1213×－45＝－3365.题型三给值求角问题[学透用活][典例3]已知α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210，求α.[解]∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴

α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈－π2，0，sinβ＝－210，∴cosβ＝7210.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sin

β＝45×7210＋35×－210＝22.又∵α∈0，π2，∴α＝π4.[方法技巧]根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的

哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cosθ，若θ∈－π2，π2，则通常求sinθ，否则容易导致增解．[变式

训练]1．已知A，B都是锐角，且tanA＝13，sinB＝55，则A＋B＝________.解析：∵B为锐角，sinB＝55，∴cosB＝255，tanB＝12.∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝13＋121－13×12

＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4.答案：π42．已知sinα＝55，sinβ＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．解：∵α和β均为钝角，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，cosβ＝－1－sin2β＝－31010.∴cos(α＋β

)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255×－31010－55×1010＝22.由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝7π4.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知π<α<α＋β<

2π，且满足cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β的值．有甲，乙两位同学的解题过程如下：甲同学：∵cosα＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π<α<α＋β<2π，∴sinα＝－513，sin(α＋β)

＝－7226，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝22，∵π<α<α＋β<2π，∴0<β<π，∴β＝3π4或π4.乙同学：∵cosα＝－1213，c

os(α＋β)＝17226，且π<α<α＋β<2π，∴sinα＝－513，sin(α＋β)＝－7226，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－22，∵π<α<α＋β<2π，∴0<β<π，∴β＝3π4.试分析两位同学在求

解过程中谁错？错在何处？提示：甲同学解题错误，乙同学解题正确．甲错误的原因是甲忽视了角β的取值范围，没有对求出的角作出正确的取舍，导致产生增解．二、应用性——强调学以致用2．[好题共享——选自苏教版新教材]如图，两座建

筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.[析题建模]作AE⊥CD于点E，有BD＝AE.设AE为x，只需建立关于x的方程即可．解：如图，作AE⊥CD于点E.因为AB∥CD，AB＝9m，CD＝15m，

所以DE＝9m，EC＝6m.设AE＝x，∠CAE＝α.因为∠CAD＝45°，所以∠DAE＝45°－α.在Rt△AEC和Rt△AED中，有tanα＝6x，tan(45°－α)＝9x.因为tan(45°－α)＝1－tanα1＋tanα，所以9x＝1－6x1＋6x.化简，得x2－15x－54＝0，

解得x＝18，x＝－3(舍去)．答：两座建筑物之间的距离BD等于18m.三、创新性——强调创新意识和创新思维3.[好题共享——选自苏教版新教材]如图，在△ABC中，∠B为直角，DE⊥AB于点E，AC⊥DC，已知BC＝1.(

1)若∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，试求△ADE各边的长度，由此推出75°的三角函数值．(2)设∠BAC＝α，∠DAC＝β(α，β，α＋β均为锐角)，试由图推出求sin(α＋β)的公式．解：(1)由C向DE作垂线，垂足为F，则CF＝BE，∠CAB＝∠FCA＝30°，∴∠FCD＝6

0°，∠DAE＝75°.根据题意得AC＝2BC＝2＝CD，AD＝22，AB＝3，∴BE＝CF＝12CD＝1，AE＝3－1，DE＝AD2－AE2＝8－(3－1)2＝3＋1，∴sin75°＝DEAD＝3＋122＝6＋24，cos75°

＝AEAD＝6－24.tan75°＝DEAE＝3＋13－1＝2＋3.(2)由C向DE作垂线，垂足为F，则CF＝BE，∠CAB＝∠FCA，ACAD＝cosβ.则AC＝1sinα，DCAC＝tanβ，AD＝1sinαcosβ，∴CD＝AC·tanβ＝tanβsinα，DF＝cosα·DC＝cosα·

tanβsinα，∴DE＝BC＋DF＝1＋cosα·tanβsinα，∴sin(α＋β)＝sin∠DAE＝DEAD＝1＋cosαtanβsinα÷1sinαcosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.谢谢观看