5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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以下为本文档部分文字说明:

5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式第二课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α-β)cos(α-β)=___________________α,β

∈R两角和的余弦C(α+β)cos(α+β)=___________________α,β∈R两角和的正弦S(α+β)sin(α+β)=___________________α,β∈Rcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ名称简

记符号公式使用条件两角差的正弦S(α-β)sin(α-β)=___________________α,β∈R两角和的正切T(α+β)tan(α+β)=______________α,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α-

β)tan(α-β)=______________α,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠-1sinαcosβ-cosαsinβtanα+tanβ1-tanαtanβtanα-tanβ1+tanαtanβ(二)

基本知能小试1.判断正误(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sinα-sinβ成立.()(3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ都不成立

.()(4)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.()(5)对任意α,β∈R,tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ都成立.()(6)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tan

αtanβ等价于tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ).()答案:(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2.cos50°cos10°-sin50°sin10°的值为()A.0B.12C.32D.cos4

0°答案:B3.设角θ的终边过点(2,3),则tanθ-π4=()A.15B.-15C.5D.-5解析:易知tanθ=32.所以tanθ-π4=tanθ-11+tanθ=32-11+32=15.答案:A4.若

cosα=-35,α是第二象限的角,则sinα+π4=________.解析:∵cosα=-35,α是第二象限的角,∴sinα=1-cos2α=45,∴sinα+π4=22sinα+22cosα=22×45-22×

-35=210.答案:210题型一给角求值[学透用活]1.两角和与差的正弦公式的一般使用方法(1)正用:把sin(α±β)从左向右展开.(2)逆用:公式的右边化简成左边的形式,当结构不具备条件时,要用相关公式调节后再逆用.(3)变形应用:它涉及

两个方面,一是公式本身的变形;二是角的变形,也称为角的拆分变换,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β).2.两角和与差的正切公式的常用变形(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);(2)tanα-

tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ);(3)1±tanαtanβ=tanα∓tanβtan(α∓β);(4)tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(α+β);(5)tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+

β)=tan(α+β).[典例1]求下列各式的值.(1)sin7π18cos2π9-sinπ9sin2π9;(2)sin(x+27°)cos(18°-x)-sin(63°-x)sin(x-18°);(3)tan17°+t

an28°+tan17°tan28°.[解](1)原式=sin7π18cos2π9-sinπ2-7π18sin2π9=sin7π18cos2π9-cos7π18sin2π9=sin7π18-2π9=sinπ6=12.(2)原式=sin(x+27°)co

s(18°-x)-cos[90°-(63°-x)]sin(x-18°)=sin(x+27°)cos(x-18°)-cos(x+27°)sin(x-18°)=sin[(x+27°)-(x-18°)]=si

n45°=22.(3)因为tan(17°+28°)=tan17°+tan28°1-tan17°tan28°,所以tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1

-tan17°tan28°,所以原式=1-tan17°tan28°+tan17°tan28°=1.[方法技巧]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般

途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.[提醒]在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时,首先要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要求.[变式训练]1.cos70°sin50°-co

s200°sin40°的值为()A.-32B.-12C.12D.32解析:∵cos200°=cos(180°+20°)=-cos20°=-sin70°,sin40°=cos50°,∴原式=cos70°sin50°-(-sin70°)cos5

0°=sin(50°+70°)=sin120°=32.答案:D2.若θ是第二象限角且sinθ=513,则cos(θ+60°)=________.解析:∵θ是第二象限角且sinθ=513,∴cosθ=-1-sin2θ=-1213,∴cos(θ+60°)=12cosθ-3

2sinθ=12×-1213-32×513=-12+5326.答案:-12+53263.化简求值:(1)sin50°-sin20°cos30°cos20°;(2)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°);(3)ta

n70°+tan50°-3tan70°tan50°.解:(1)原式=sin(20°+30°)-sin20°cos30°cos20°=sin20°cos30°+cos20°sin30°-sin20°cos30°cos20°

=cos20°sin30°cos20°=sin30°=12.(2)设α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-3cosα=12sinα+32cosα+32cosα-12sinα-3cosα=0.

(3)原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan70°·tan50°=-3(1-tan70°tan50°)-3tan70°tan50°=-3.题型二给值(式)求值问题[典例2]已知α,β是锐角,且sinα=437,cos(α+β)=-1114,求sinβ的值.[解]∵

α是锐角,且sinα=437,∴cosα=1-sin2α=1-4372=17.∵α,β是锐角,且cos(α+β)=-1114,∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=1--11142=5314,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=

sin(α+β)cosα-cos(α+β)·sinα=5314×17--1114×437=32.[方法技巧]给值(式)求值的策略(1)直接法:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或

差的形式.(2)常值代换:用某些三角函数代替某些常数,使之代换后能运用相关的公式,我们把这种代换称为常值代换,其中特别要注意的是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=tan45°,1=sin

90°等.1,3,33,12,22等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用.[方法技巧]给值(式)求值的策略(3)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”

变成“已知角”.(4)整体意识:若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.[变式训练]1.已知tan(α-β)=23,tanπ6-β=12,则tanα-π6=()A.14B.78C.18D.74答案:C解析:∵tan(

α-β)=23,tanπ6-β=12,∴tanα-π6=tan(α-β)-π6-β=tan(α-β)-tanπ6-β1+tan(α-β)tanπ6-β=23-121+23×12=18.2.若sin3π4+α=513,cosπ4-β=35,且0<α<π

4<β<3π4,求cos(α+β)的值.解:∵0<α<π4<β<3π4,∴3π4<3π4+α<π,-π2<π4-β<0.又∵sin3π4+α=513,cosπ4-β=35,∴cos3π4+α=-1213,sinπ4-β=-4

5,∴cos(α+β)=sinπ2+(α+β)=sin3π4+α-π4-β=sin3π4+αcosπ4-β-cos3π4+αsinπ4-β=513×35--1213×-45=-3365.题型三给值求角问题[学透用活][典例3]已知α

∈0,π2,β∈-π2,0,且cos(α-β)=35,sinβ=-210,求α.[解]∵α∈0,π2,β∈-π2,0,∴α-β∈(0,π).∵cos(α-β)=35,∴sin(α-β)=45.∵β∈

-π2,0,sinβ=-210,∴cosβ=7210.∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=45×7210+35×-210=22.又∵α∈0,π2,∴α=π4.[方法技巧]根据

三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定,一般地,若θ∈(0,π),则通常求cosθ,若θ∈

-π2,π2,则通常求sinθ,否则容易导致增解.[变式训练]1.已知A,B都是锐角,且tanA=13,sinB=55,则A+B=________.解析:∵B为锐角,sinB=55,∴cosB=255,tanB=12.∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAt

anB=13+121-13×12=1.∵0<A+B<π,∴A+B=π4.答案:π42.已知sinα=55,sinβ=1010,且α和β均为钝角,求α+β的值.解:∵α和β均为钝角,∴cosα=-1-sin2α=-255,cosβ=-1-sin2β=-310

10.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-255×-31010-55×1010=22.由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,∴α+β=7π4.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.已知π<α

<α+β<2π,且满足cosα=-1213,cos(α+β)=17226,求β的值.有甲,乙两位同学的解题过程如下:甲同学:∵cosα=-1213,cos(α+β)=17226,且π<α<α+β<2π,∴sinα=-513,sin(α+β)=-72

26,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=22,∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π,∴β=3π4或π4.乙同学:∵cosα=-1213,cos(α+β)=17226,且π<α<α+β<2π,∴sinα=-513,sin(α+β)

=-7226,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-22,∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π,∴β=3π4.试分析两位同学在求解过程中谁错?错在何处?提示:甲同学解题错误,乙同学解题正确.甲错误

的原因是甲忽视了角β的取值范围,没有对求出的角作出正确的取舍,导致产生增解.二、应用性——强调学以致用2.[好题共享——选自苏教版新教材]如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A处看建

筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.[析题建模]作AE⊥CD于点E,有BD=AE.设AE为x,只需建立关于x的方程即可.解:如图,作AE⊥CD于点E.因为AB∥CD,AB=9m

,CD=15m,所以DE=9m,EC=6m.设AE=x,∠CAE=α.因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=6x,tan(45°-α)=9x.因为tan(45

°-α)=1-tanα1+tanα,所以9x=1-6x1+6x.化简,得x2-15x-54=0,解得x=18,x=-3(舍去).答:两座建筑物之间的距离BD等于18m.三、创新性——强调创新意识和创新思维3.[好题共享——选自苏教版新教材]如图,在△AB

C中,∠B为直角,DE⊥AB于点E,AC⊥DC,已知BC=1.(1)若∠BAC=30°,∠DAC=45°,试求△ADE各边的长度,由此推出75°的三角函数值.(2)设∠BAC=α,∠DAC=β(α,β,α+β均为锐角),试由图推出求sin(α+β)的公式.解:(1)由C向DE作垂

线,垂足为F,则CF=BE,∠CAB=∠FCA=30°,∴∠FCD=60°,∠DAE=75°.根据题意得AC=2BC=2=CD,AD=22,AB=3,∴BE=CF=12CD=1,AE=3-1,DE=AD2-AE2=8

-(3-1)2=3+1,∴sin75°=DEAD=3+122=6+24,cos75°=AEAD=6-24.tan75°=DEAE=3+13-1=2+3.(2)由C向DE作垂线,垂足为F,则CF=BE,∠CAB=∠FCA,ACAD=cosβ.则AC

=1sinα,DCAC=tanβ,AD=1sinαcosβ,∴CD=AC·tanβ=tanβsinα,DF=cosα·DC=cosα·tanβsinα,∴DE=BC+DF=1+cosα·tanβsinα,∴sin(α+β)=sin∠DAE=DEAD=1+cosαtanβsinα÷

1sinαcosβ=sinαcosβ+cosαsinβ.谢谢观看

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