【文档说明】全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用课件文.pptx，共(58)页，2.513 MB，由小橙橙上传

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第二讲导数的简单应用第三章导数及其应用考点帮·必备知识通关考点1导数与函数的单调性考点2导数与函数的极值、最值考法3生活中的优化问题考法帮·解题能力提升考法1利用导数研究函数的单调性考法2利用导数研究函数

的极值和最值考法3导函数图象的应用考法4利用导数解最优化问题高分帮·“双一流”名校冲刺数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题提能力·数学探索考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.导数与函数的单

调性掌握2020全国Ⅱ,T21探索创新考法1★★★数学运算逻辑推理2.导数与函数的极值、最值掌握2019全国Ⅲ,T20探索创新考法2★★★数学运算逻辑推理直观想象2017浙江,T7探索创新考法33.生活中的优化问题掌握2020江苏,T17生产、生活实践考法4★

★☆数学建模数学抽象逻辑推理数学运算考情解读命题分析预测从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.主要以导数为工具考查求函数的单调区间,讨论函数的单调性,已知函数单调性求参数取值范围,利用函数单调性求极值、最值,已知函数极值、最值求参数值(或取值范围)等.考查形式

为选择题、填空题、解答题,难度中等偏上.预计2022年高考命题变化不大,但需注意函数形式创新及与其他知识的综合.考点帮·必备知识通关考点1导数与函数的单调性考点2导数与函数的极值、最值考法3生活中的优化问题考点1导数与函数的单调性1.已知函数y=f(𝑥)在区间(𝑎,b)内可导,(1)若f'(�

�)>0,则f(𝑥)在区间(𝑎,b)内是单调递增函数;(2)若f'(𝑥)<0,则f(𝑥)在区间(𝑎,b)内是单调递减函数;(3)若恒有f'(𝑥)=0,则f(𝑥)在区间(𝑎,b)内是常数函数.2.用充分必

要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)f'(𝑥)>0(<0)是f(𝑥)在区间(𝑎,b)内单调递增(减)的充分不必要条件.(2)f'(𝑥)≥0(≤0)是f(𝑥)在区间(𝑎,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.(3)若f'(𝑥)在区间(𝑎

,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f'(𝑥)≥0(≤0)是f(𝑥)在区间(𝑎,b)内单调递增(减)的充要条件.考点2导数与函数的极值、最值1.函数的极值条件f'(𝑥0)=0𝑥0附近的左侧f'(𝑥)>0,右侧f'(𝑥)<0𝑥0附近的左侧f'(𝑥)<0,右侧f'

(𝑥)>0图象极值f(𝑥0)为极大值f(𝑥0)为极小值极值点𝑥0为极大值点𝑥0为极小值点极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.考点2导数与函数的极值、最值易错警示(1)极值点不是点,若函数f(𝑥)在𝑥1处取得极大值,则𝑥1为极大值点,极大值为f(

𝑥1).(2)极大值与极小值没有必然关系,极小值可能比极大值还大.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)f'(𝑥0)=0是𝑥0为可导函数f(𝑥)的极值点的必要不充分条件.例如,f(𝑥)=𝑥3,f'(

0)=0,但𝑥=0不是极值点.考点2导数与函数的极值、最值2.函数的最值若在区间[𝑎,b]上函数f(𝑥)的图象是一条连续不断的曲线,则在[𝑎,b]上f(𝑥)必有最大值与最小值.辨析比较函数极值与最值的区别与联系极值最值区别(

1)极值是个“局部”概念,只能在定义域内部取得;(2)在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个都没有.(1)最值是个“整体”概念,可以在区间的端点处取得;(2)最值最多有一个.联系(1)极值有可能成为最值,最值只要不在区间端点处取得,必定是极值;(2)在区间[𝑎,b]上图象是一条连

续曲线的函数f(𝑥)若有唯一的极值,则这个极值就是最值.考点3生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为:注意在求实际问题的最大值、最

小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.考法1利用导数研究函数的单调性考法2利用导数研究函数的极值和最值考法3导函数图象的应用考法4利用导数解最优化问题考法帮·解题能力提升考法1利用导数研

究函数的单调性命题角度1讨论函数单调性或求单调区间示例1已知函数f(𝑥)=e𝑥-𝑎𝑥-1(𝑎∈R)(e=2.71828…是自然对数的底数).(1)求f(𝑥)的单调区间;(2)讨论g(𝑥)=f(𝑥)·(𝑥-12)在区间[0,1]内的零点个数.考法1利用导数研究

函数的单调性思维导引（1）给什么得什么由f(𝑥)=e𝑥-𝑎𝑥-1求导得f'(𝑥)=e𝑥-𝑎.求什么想什么求f(𝑥)的单调区间,需确定f'(𝑥)在相应区间上的符号.差什么找什么由e𝑥-�

�>0得e𝑥>𝑎,由于eln𝑎不一定有意义,需要考虑“𝑎>0”是否成立,故需要对“𝑎>0”是否成立进行讨论,即(i)𝑎≤0,(ii)𝑎>0.考法1利用导数研究函数的单调性求什么想什么差什么找什么

（2）考法1利用导数研究函数的单调性解析(1)由题意可得f'(𝑥)=e𝑥-𝑎.当𝑎≤0时,f'(𝑥)>0恒成立,所以f(𝑥)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当𝑎>0时,由f'(𝑥)>0,得𝑥>ln𝑎,由f'(𝑥

)<0,得𝑥<ln𝑎,所以f(𝑥)的单调递减区间为(-∞,ln𝑎),单调递增区间为(ln𝑎,+∞).……..(对𝑎分类讨论)(2)由g(𝑥)=0得f(𝑥)=0或𝑥=12.先考虑f(𝑥)在区间[0,1]内的零点个数.当𝑎≤1时,f(𝑥)在(0,+∞)上单调递增

且f(0)=0,此时f(𝑥)有一个零点;考法1利用导数研究函数的单调性当𝑎≥e时,f(𝑥)在(-∞,1)上单调递减且f(0)=0,此时f(𝑥)有一个零点;当1<𝑎<e时,f(𝑥)在(0,ln𝑎)上单调递减,在(ln𝑎,1)上单调递增,因为f(0)=0,f(1

)=e-𝑎-1,所以当𝑎>e-1时,f(𝑥)有一个零点,当1<𝑎≤e-1时,f(𝑥)有两个零点.由f(12)=0得𝑎=2(e-1).…………(此时f(𝑥)的两个零点分别是0,12,与已知的一个零点12合并后,得出g(𝑥)有两个零点)所以当𝑎≤1或𝑎>e

-1或𝑎=2(e-1)时,g(𝑥)有两个零点;当1<𝑎≤e-1且𝑎≠2(e-1)时,g(𝑥)有三个零点.考法1利用导数研究函数的单调性方法技巧利用导数研究函数单调性的方法方法一:(1)确定函数f(𝑥)的定义域;(2)求导数f'(𝑥);(3)由f'

(𝑥)>0(或<0)解出相应的𝑥的取值范围,对应的区间为f(𝑥)的单调递增(减)区间.方法二:(1)确定函数f(𝑥)的定义域;(2)求导数f'(𝑥),并求方程f'(𝑥)=0的根;(3)利用f'(𝑥)=0的根将函数的定义域分成若干

个子区间,在这些子区间上讨论f'(𝑥)的正负,由符号确定f(𝑥)在子区间上的单调性.考法1利用导数研究函数的单调性说明确定单调区间端点值的三个依据:(1)导函数等于0的点;(2)函数不连续的点;(3)函数不可导的点.易错警示(1

)求函数的单调区间,要在函数的定义域内讨论;(2)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间;(3)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数f'(𝑥)在某一区间内的符号是否有影响,若有影响,则必须分类讨论.考法1利用导数研究函数的单调性命题角度2已知函数的单调性求参

数示例2[2016全国卷Ⅰ,12,5分][文]若函数f(𝑥)=𝑥-13sin2𝑥+𝑎sin𝑥在(-∞,+∞)上单调递增,则𝑎的取值范围是A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]思维导引考法1利用导数

研究函数的单调性解析依题意得f'(𝑥)=1-23cos2𝑥+𝑎cos𝑥≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即-43cos2𝑥+𝑎cos𝑥+53≥0在(-∞,+∞)上恒成立.…(这里“=”一定不能省略)设t=cos𝑥(-1≤t≤1),

g(t)=-43t2+𝑎t+53,则g(0)=53,所以g(t)≥0在[-1,1]上恒成立等价于ቊ𝑔(−1)≥0,𝑔(1)≥0,解得-13≤𝑎≤13,所以𝑎的取值范围是[-13,13].答案C考法1利用导数研究函数的单调性已知函数的单调性

求参数的取值范围的常见类型和解题技巧已知可导函数f(𝑥)在区间D上单调递增(或递减).转化为f'(𝑥)≥0(或f'(𝑥)≤0)对𝑥∈D恒成立问题,要注意“=”能否取到.已知可导函数f(𝑥)在某一区间上存在单调区间.实际上就是f'(𝑥)>0(或f'(𝑥)<0)在该区间上存在解

集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.已知f(𝑥)在区间I上的单调性,区间I中含有参数.先求出f(𝑥)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.已知f(𝑥)在区间D上不单调.转化为f'(𝑥)=

0在区间D上有解求解.也可先求出f(𝑥)在区间D上单调时参数的取值范围,然后运用补集思想得解.考法2利用导数研究函数的极值和最值命题角度1求函数的极值或最值示例3已知函数f(𝑥)=ln𝑥+𝑥+1,g(𝑥)=𝑥2+2𝑥.(1)求函数y=f(𝑥)-g(𝑥)的极值;(2

)若m为整数,对任意的𝑥>0都有f(𝑥)-mg(𝑥)≤0成立,求实数m的最小值.思维导引考法2利用导数研究函数的极值和最值解析(1)令φ(𝑥)=f(𝑥)-g(𝑥)=ln𝑥+𝑥+1-𝑥2-2𝑥=ln𝑥-𝑥2-𝑥+1(𝑥>0),则φ'(𝑥)=1𝑥-2𝑥-1=−2𝑥

2−𝑥+1𝑥(𝑥>0).令φ'(𝑥)>0,解得0<𝑥<12,令φ'(𝑥)<0,解得𝑥>12,所以函数φ(𝑥)的单调递增区间是(0,12),单调递减区间是(12,+∞),故函数φ(𝑥)的极大值是φ(12)=14-ln2,函数φ(𝑥)无极小值.(2)设h(𝑥)=f

(𝑥)-mg(𝑥),则h‘(𝑥)=1𝑥-2m𝑥+1-2m=−2𝑚𝑥2+(1−2𝑚)𝑥+1𝑥=−(2𝑚𝑥−1)(𝑥+1)𝑥(𝑥>0).…….(利用十字相乘法,将分子转化为两个因式的积)考法2利用导数研究函数的极值

和最值当m≤0时,…(导函数符号不确定,需对分子中的二次项系数分类讨论)因为𝑥>0,所以2m𝑥-1<0,𝑥+1>0,所以h'(𝑥)>0,故h(𝑥)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=-3m+2>0,故m≤0不满足题意,舍去.……(通过代入

特殊值,舍去不合题意的值)当m>0时,令h'(𝑥)>0,得0<𝑥<12𝑚,令h'(𝑥)<0,得𝑥>12𝑚,故h(𝑥)在(0,12𝑚)上单调递增,在(12𝑚,+∞)上单调递减,考法2利

用导数研究函数的极值和最值所以h(𝑥)m𝑎𝑥=h(12𝑚)=ln12𝑚-m·(12𝑚)2+(1-2m)·12𝑚+1=14𝑚-ln(2m).……….(由函数单调性确定函数的最大值)令t(m)=14𝑚-

ln(2m)(m>0),显然t(m)在(0,+∞)上单调递减,且t(12)=12>0,t(1)=14-ln2=14(1-ln16)<0,故当m≥1时,t(m)<0,满足题意,故整数m的最小值为1.考法2利用导数研究函数的极值和最值方法技巧1.求可导函数f(𝑥)的极值的步骤(1)

确定函数的定义域,求导数f'(𝑥);(2)求方程f'(𝑥)=0的根;(3)检验f'(𝑥)在方程f'(𝑥)=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:𝑥𝑥<𝑥0𝑥0𝑥>𝑥0f'(𝑥)f'(𝑥)>0f'(𝑥)=0f'(𝑥)<0f(𝑥)增极大值f(𝑥0)减𝑥𝑥<�

�0𝑥0𝑥>𝑥0f'(𝑥)f'(𝑥)<0f'(𝑥)=0f'(𝑥)>0f(𝑥)减极小值f(𝑥0)增考法2利用导数研究函数的极值和最值注意对于求解析式中含有参数的函数的极值问题,一般要对方程f'(𝑥)=0的根的情况进行讨

论.分两个层次讨论:第一层,讨论方程在定义域内是否有根;第二层,在有根的条件下,再讨论根的大小.考法2利用导数研究函数的极值和最值2.求函数f(𝑥)在[𝑎,b]上的最值的方法(1)若函数f(𝑥)在区间[𝑎,b]上单调递增(递减),

则f(𝑎)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值;(2)若函数在区间(𝑎,b)内有极值,则要先求出函数在(𝑎,b)内的极值,再与f(𝑎),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f(𝑥)在区间(𝑎,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(

或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.考法2利用导数研究函数的极值和最值命题角度2已知函数的极值、最值求参数示例4[2016山东,20,13分][文]设f(𝑥)=𝑥ln𝑥-𝑎𝑥2+(2

𝑎-1)𝑥,𝑎∈R.(1)令g(𝑥)=f'(𝑥),求g(𝑥)的单调区间;(2)已知f(𝑥)在𝑥=1处取得极大值,求实数𝑎的取值范围.考法2利用导数研究函数的极值和最值给什么想什么求什么想什么g

(𝑥)的单调区间⇐g'(𝑥)的正负性.差什么找什么注意f(𝑥)和g(𝑥)的定义域均为(0,+∞).于是只需确定1-2𝑎𝑥的正负性,需分𝑎≤0和𝑎>0进行讨论.（1）考法2利用导数研究函数的极值和最值（2）给什么想什么f(𝑥)在𝑥=1处取得极大值⇔f'(1)=0,且f(𝑥)

在𝑥=1的左边(附近)单调递增(即f'(𝑥)>0),在𝑥=1的右边(附近)单调递减(即f'(𝑥)<0).差什么找什么考法2利用导数研究函数的极值和最值解析(1)由f'(𝑥)=ln𝑥-2𝑎𝑥+2𝑎,可得g(𝑥)=ln𝑥-2𝑎𝑥+2𝑎,𝑥∈(0,+∞

).则g'(𝑥)=1𝑥-2𝑎=1−2𝑎𝑥𝑥.当𝑎≤0时,𝑥∈(0,+∞)时,g'(𝑥)>0,函数g(𝑥)单调递增;当𝑎>0时,𝑥∈(0,12𝑎)时,g'(𝑥)>0,函数g(

𝑥)单调递增,𝑥∈(12𝑎,+∞)时,g'(𝑥)<0,函数g(𝑥)单调递减.所以当𝑎≤0时,g(𝑥)的单调递增区间为(0,+∞),当𝑎>0时,g(𝑥)的单调递增区间为(0,12𝑎),单调

递减区间为(12𝑎,+∞).考法2利用导数研究函数的极值和最值(2)由(1)知,f'(1)=0.①当𝑎≤0时,f'(𝑥)单调递增,所以当𝑥∈(0,1)时,f'(𝑥)<0,f(𝑥)单调递减;

当𝑥∈(1,+∞)时,f'(𝑥)>0,f(𝑥)单调递增.所以f(𝑥)在𝑥=1处取得极小值,不符合题意.②当12𝑎>1时,0<𝑎<12,由(1)知f'(𝑥)在(0,12𝑎)上单调递增,可得当𝑥∈(0,1)时,f'(𝑥)<f'(1)=0,𝑥∈(1,12𝑎)时,f'(

𝑥)>f'(1)=0.所以f(𝑥)在(0,1)上单调递减,在(1,12𝑎)上单调递增,所以f(𝑥)在𝑥=1处取得极小值,不符合题意.考法2利用导数研究函数的极值和最值③当12𝑎=1时,𝑎=12,f'(𝑥)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当𝑥∈(0,+

∞)时,f'(𝑥)≤f'(1)=0,f(𝑥)单调递减,不符合题意.④当0<12𝑎<1时,𝑎>12,f'(𝑥)在(12𝑎,+∞)上单调递减,当𝑥∈(12𝑎,1)时,f'(𝑥)>f'(1)=0,f(𝑥)单调

递增,当𝑥∈(1,+∞)时,f'(𝑥)<f'(1)=0,f(𝑥)单调递减,所以f(𝑥)在𝑥=1处取得极大值,符合题意.综上可知,实数𝑎的取值范围为(12,+∞).考法2利用导数研究函数的极值和最值方法技巧1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领2.若函数y=f(

𝑥)在区间(𝑎,b)上存在极值点,则函数y=f'(𝑥)在区间(𝑎,b)内存在变号零点.列式根据极值点处导数为0或极值列方程(组),利用待定系数法求解.验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证.考

法3导函数图象的应用示例5[2017浙江,7,4分]函数y=f(𝑥)的导函数y=f'(𝑥)的图象如图3-2-2所示,则函数y=f(𝑥)的图象可能是图3-2-2ABCD考法3导函数图象的应用解析根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因

此函数f(𝑥)在这些零点处取得极值,排除A,B;记导函数f'(𝑥)的零点从左到右分别为𝑥1,𝑥2,𝑥3,又在(-∞,𝑥1)上f'(𝑥)<0,在(𝑥1,𝑥2)上f'(𝑥)>0,所以函数f(𝑥)在(-∞,𝑥1)上单调递减,排除C.答案D考法3导函数图象的应用方法

技巧导函数图象的应用策略(1)由y=f'(𝑥)的图象与𝑥轴的交点,可得函数y=f(𝑥)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(𝑥)的图象可以看出y=f'(𝑥)的值的正负,从而可得函数y=f(𝑥)的单调性.考法4利用导数解最优化问题示例6[2020江苏,17,14分]某地准备在山

谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图3-2-3所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离𝑎(米)之间满足关系式h1=140𝑎2;右侧曲线BO上任一点F到MN图3-2-3

考法4利用导数解最优化问题的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).

桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?考法4利用导数解最优化问题解析(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,

A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当b=O'B=40时,h2=BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160.由140O'A2=160,得O'A=80.所以AB=O'A+O'B=80+40=120.(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系𝑥

Oy(如图3-2-4所示).设F(𝑥,y2),𝑥∈(0,40),则y2=-1800𝑥3+6𝑥,图3-2-4考法4利用导数解最优化问题EF=160-y2=160+1800𝑥3-6𝑥.因为CE=80,所以O'C=80-𝑥.设D(𝑥-

80,y1),则y1=140(80-𝑥)2,所以CD=160-y1=160-140(80-𝑥)2=-140𝑥2+4𝑥.记桥墩CD和EF的总造价为f(𝑥)(万元),则f(𝑥)=k(160+1800�

�3-6𝑥)+32k(-140𝑥2+4𝑥)=k(1800𝑥3-380𝑥2+160)(0<𝑥<40).f'(𝑥)=k(3800𝑥2-340𝑥)=3𝑘800𝑥(𝑥-20),令f'(𝑥)=0,得𝑥=20.考法4利用导数解最优化问题当𝑥变化时,f'(𝑥),f(𝑥)的变

化情况如下表:所以当𝑥=20时,f(𝑥)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.𝑥(0,20)20(20,40)f'(𝑥)-0+f(𝑥)↘极小值↗考法4

利用导数解最优化问题方法技巧利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤注意在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最值.高分帮·“双一流”名校冲刺提能力·数学探索数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'

(𝑥)共存的不等式问题数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题类型1只含f'(𝑥)类示例7若函数f(𝑥)的定义域为R,且满足f(2)=2,f'(𝑥)>1,则不等式f(𝑥)-𝑥>0的解集为.解析令g(𝑥)=f(𝑥)-𝑥,则g'(𝑥)=f'(𝑥)-1.由题

意知g'(𝑥)>0,∴g(𝑥)为增函数.∵g(2)=f(2)-2=0,∴g(𝑥)>0即f(𝑥)-𝑥>0的解集为(2,+∞).数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题方法技巧(1)对于不等式f'(𝑥)+g'(𝑥)

>0(或<0),构造函数F(𝑥)=f(𝑥)+g(𝑥).(2)对于不等式f'(𝑥)-g'(𝑥)>0(或<0),构造函数F(𝑥)=f(𝑥)-g(𝑥).(3)对于不等式f'(𝑥)>k(或<k)(k

≠0),构造函数F(𝑥)=f(𝑥)-k𝑥或F(𝑥)=f(𝑥)-k𝑥+b.(4)对于不等式f'(𝑥)g(𝑥)+f(𝑥)g'(𝑥)>0(或<0),构造函数F(𝑥)=f(𝑥)g(𝑥).(5)对于不

等式f'(𝑥)g(𝑥)-f(𝑥)g'(𝑥)>0(或<0),构造函数F(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)(g(𝑥)≠0).数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题类型2含

f(𝑥)±f'(𝑥)类示例8f(𝑥)为定义在R上的可导函数,且f'(𝑥)>f(𝑥),对任意正实数𝑎,下列式子一定成立的是A.f(𝑎)<e𝑎f(0)B.f(𝑎)>e𝑎f(0)C.f(𝑎)<𝑓(0

)e𝑎D.f(𝑎)>𝑓(0)e𝑎数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题解析令g(𝑥)=𝑓(𝑥)e𝑥,则g'(𝑥)=𝑓′(𝑥)e𝑥−𝑓(𝑥)e𝑥(e𝑥)2=𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)e𝑥>0.∴g(𝑥)在R上为增函数,又𝑎>0,

∴g(𝑎)>g(0),即𝑓(𝑎)e𝑎>𝑓(0)e0.故f(𝑎)>e𝑎f(0).答案B数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题方法技巧(1)若知f'(𝑥)+f(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=e𝑥f(𝑥);一

般地,若知f'(𝑥)+nf(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=en𝑥·f(𝑥).(2)若知f'(𝑥)-f(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=𝑓(𝑥)e𝑥;一般地,若知f'(𝑥)-nf(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=𝑓(𝑥)e𝑛𝑥.数学探索运用构造法求解f(𝑥)

与f'(𝑥)共存的不等式问题类型3含𝑥f'(𝑥)±f(𝑥)类示例9[新课标全国Ⅱ,5分]设函数f'(𝑥)是奇函数f(𝑥)(𝑥∈R)的导函数,f(-1)=0,当𝑥>0时,𝑥f'(𝑥)-f(𝑥

)<0,则使得f(𝑥)>0成立的𝑥的取值范围是A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题解析令F(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥,因为f(𝑥)为奇函数,所

以F(𝑥)为偶函数,由于F'(𝑥)=𝑥𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑥2,当𝑥>0时,𝑥f'(𝑥)-f(𝑥)<0,所以F(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥在(0,+∞)上单调递减,根据图象的对称性,F(𝑥)=𝑓

(𝑥)𝑥在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=0,f(1)=0,数形结合可知,使得f(𝑥)>0成立的𝑥的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).答案A数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题方法技巧(1)若知𝑥f'(𝑥)+

f(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=𝑥f(𝑥);一般地,若知𝑥f'(𝑥)+nf(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=𝑥nf(𝑥).(2)若知𝑥f'(𝑥)-f(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥;一般地,若知𝑥f'(𝑥)-n

f(𝑥)的符号,则构造函数g(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥𝑛.数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题类型4含f(𝑥)±f‘(𝑥)tan𝑥类示例10[2020成都市高三测试]已知f(𝑥)是定义在(-π2,π2)上的奇函数,其导函数为

f'(𝑥),f(π8)=2,且当𝑥∈(0,π2)时,f'(𝑥)sin2𝑥+2f(𝑥)cos2𝑥>0.则不等式f(𝑥)sin2𝑥<1的解集为.思维导引先由条件构造函数F(𝑥)=f(𝑥)sin2𝑥,

求出其导函数,然后由f(𝑥)为奇函数推出函数F(𝑥)为偶函数,从而由条件得到函数F(𝑥)的单调性,进而将不等式进行转化,去掉符号“F”求解.数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题解析设F(𝑥)=f(𝑥)sin2𝑥,𝑥∈(-π2,π2),

则F'(𝑥)=f'(𝑥)sin2𝑥+2f(𝑥)cos2𝑥.因为f(𝑥)是定义在(-π2,π2)上的奇函数,所以F(-𝑥)=f(-𝑥)sin(-2𝑥)=F(𝑥),所以F(𝑥)是定义在(-π2,π2)上的偶函数.因为当𝑥∈(0,π2)时,f'(𝑥)sin2𝑥+2f(𝑥)

cos2𝑥>0,所以F'(𝑥)>0,所以F(𝑥)在(0,π2)上单调递增,又F(𝑥)是(-π2,π2)上的偶函数,所以F(𝑥)在(-π2,0)上单调递减.因为F(π8)=f(π8)sinπ4=1,所以不等式f(𝑥)sin2𝑥<1等价于F(𝑥)<F(π8)

,所以|𝑥|<π8,解得𝑥∈(-π8,π8).数学探索运用构造法求解f(𝑥)与f'(𝑥)共存的不等式问题方法技巧在(0,π2)上,[sin𝑥·f(𝑥)]'=cos𝑥·f(𝑥)+sin𝑥·f'(𝑥),其符号与f(𝑥)+f'(𝑥)t𝑎n𝑥相同,[𝑓(𝑥)s

in𝑥]'=𝑓′(𝑥)·sin𝑥−𝑓(𝑥)·cos𝑥sin2𝑥,其符号与f'(𝑥)t𝑎n𝑥-f(𝑥)符号相同,在含有f(𝑥)±f'(𝑥)t𝑎n𝑥的问题中,可以考虑构造函数g(𝑥)=f(𝑥)sin

𝑥,h(𝑥)=𝑓(𝑥)sin𝑥等.