【文档说明】北师大版高考数学一轮总复习二倍角的三角函数课件.ppt，共(67)页，1.712 MB，由小橙橙上传

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第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章第六节正弦定理和余弦定理高考目标导航课前自主导学课堂典例讲练3课后强化作业4高考目标导航考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.命题分析高考

对本部分内容的考查主要涉及解三角形、三角形形状的判定、三角函数的求值以及三角恒等式的证明等问题．对正、余弦定理的考查主要以选择题、填空题形式出现，解答题则与三角变换相结合，直接在三角形中以处理边角关系的形式出现．预测2015年高考将以正弦定理、余弦定理

的直接应用为主要考查目标，难度以中等难度题为主，在复习中应该加以重视.课前自主导学知识梳理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝______________b2＝_____

_________c2＝______________定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝_____，b＝____，c＝______；②sinA＝a2R，sinB＝______，sinC＝______③a:b:c＝__________；④a＋b＋csinA＋si

nB＋sinC＝______.cosA＝______________；cosB＝______________；cosC＝______________.定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角

，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．③已知两边和其中一边的对角，解三角形.2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一

解一解无解3.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b

，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边

的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解[答案]1.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2RsinA2RsinB2R

sinCb2R·c2RsinABCasinAb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab基础自测1.(教材改编题)△ABC的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝42，B＝45°，则△ABC的面积为(

)A．43B．5C．2D．62[答案]C[解析]S△ABC＝12acsinB＝12×1×42×sin45°＝2.2．(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1[答案]B[解析]本题考查了正弦定理解三角

形，由asinA＝bsinB知313＝5sinB，即sinB＝59，选B.3．(2014·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°[答案]C[解析]由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，∵0<A

<π，∴A＝60°.4．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确[答案]B[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC.又

∵acosA＝bcosB＝ccosC，∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故选B.5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.[答案]2[解析]本题考查了余弦定理的应用由b2＝a

2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，可得b＝2.6．△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.[答案]23[解析]由cosC＝13，得sinC＝22

3，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×b×223＝43.∴b＝23.课堂典例讲练在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和c.[思路分析]已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出边c后，

再求出角C与角A.利用正弦定理和余弦定理解三角形[规范解答]解法1：∵B＝45°<90°，且b<a，∴问题有两解．由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，∴A＝60°或A＝120°.(1)当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝bsinCsinB＝2sin

75°sin45°＝6＋22.(2)当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15

°，c＝6－22.解法2：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即(2)2＝(3)2＋c2－23ccos45°，整理得c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.又cosA＝b2＋c2－a22bc，①当a＝3，b＝2，c＝6－22时，由①可得cosA＝－12，故A＝12

0°；当a＝3，b＝2，c＝6＋22时，由①可得cosA＝12，故A＝60°.故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.[方法总结]已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根

据正弦定理和大边对大角定理或余弦定理进行判断．已知在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求三角形中的最大角及角C的正弦值．[解析]∵a>c>b，∴角A为最大角，由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°，∴sinA

＝32，再根据正弦定理，有asinA＝csinC，∴sinC＝casinA＝57×32＝5314.利用正、余弦定理判断三角形形状在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形

D．不能确定[思路分析]所给条件为角的关系，可利用正弦定理转化为边的关系，再利用余弦定理进行判断．[规范解答]由正弦定理知asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R

.∵sin2A＋sin2B<sin2C，∴a24R2＋b24R2<c24R2，∴a2＋b2<c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab<0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．[答案]C[方法总结]判断三角形的形状的基本思想是：利用正、

余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变形得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形

、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角

三角形D．等腰直角三角形[答案]C[解析]由正弦定理得sin2AtanB＝sin2BtanA，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.又因为A，B∈(0，π)，所以A＝B或A＋B＝90°.与三角形面积

有关的问题(2013·新课标Ⅱ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝bcosC＋csinB.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[思路分析](1)由正弦定理转化为运用两角和差的正弦可以求出∠B；(2)由余弦定理结合面积公式求出面积的

最值．[规范解答](1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的

面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.[方法总结]正弦定理和余弦定理

并不是孤立的，解题要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．在△ABC中，内角A、B、C的对边分

别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝73，则△ABC的面积为()A.74B.54C.72D.52[答案]A[解析]因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac.又b2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝3，t

anB＝73，故得sinB＝74，cosB＝34，ac＝2.所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×74＝74.正、余弦定理的综合应用在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2＋c2－a2＋bc＝

0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求bc的最大值；(3)求asin(30°－C)b－c的值．[思路分析](1)由b2＋c2－a2＋bc＝0的结构形式，可联想余弦定理，求出cosA，进而求出A的值．(2)由a＝3及b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于b，c的关

系式，利用不等式即可求出bc的最大值．(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的．[规范解答](1)∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴A＝120°.(2)由a＝3，得b2＋c2＝3

－bc.又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，∴3－bc≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，即当且仅当c＝b＝1时，bc取得最大值为1.(3)由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csin

C＝2R，∴asin(30°－C)b－c＝2RsinAsin(30°－C)2RsinB－2RsinC＝sinAsin(30°－C)sinB－sinC＝3212cosC－32sinCsin(60°－C)

－sinC＝34cosC－34sinC32cosC－32sinC＝12.[方法总结](1)一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，余弦定理有时与不等式联系求最值问题．

(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角的A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，求边b，c的长．[解析](1)解

法1：由(2b－c)cosA－acosC＝0，及正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0.∵0<B<π，∴sinB≠0

，∴cosA＝12.∵0<A<π，∴A＝π3.解法2：由(2b－c)cosA－acosC＝0，及余弦定理得(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0，整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵0<A<π，∴A＝π3.

(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝334，即12bcsinπ3＝334，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝3，A＝π3，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝3.易错警示局限表面，忽视隐含条件设△ABC的内角A、B、C的对边长分

别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.[错解]由cos(A－C)＋cosB＝32，将B＝π－(A＋C)代入cos(A－C)＋cosB＝32，得，cos(A－C)－cos(A＋C)＝32.利用两角和与差的余弦公

式展开得sinAsinC＝34.又由b2＝ac，利用正弦定理进行边角互化，得sin2B＝sinAsinC，进而得sinB＝32.故B＝π3或2π3.[错因分析]事实上，当B＝2π3时，由cosB＝－cos(A＋C)＝－12，进而得cos(A－C)＝cos(

A＋C)＋32＝2>1，矛盾，应舍去．也可利用若b2＝ac，则b≤a或b≤c，从而舍去B＝2π3.[正确解答]由cos(A－C)＋cosB＝32及B＝π－(A＋C)，得cos(A－C)－cos(A＋C)＝32，cosAc

osC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝32，sinAsinC＝34.由b2＝ac及正弦定理，得sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝34，sinB＝32或sinB＝－32(舍去)，于是B＝π3或B＝2π3.又由b2＝

ac知b≤a或b≤c，所以B＝π3.[误区警示]解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，即正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等．本题隐含条件b≤a或b≤c，极其隐蔽．本小题考生得分易，但得满分难.名师点睛一条规律在

三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角

，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种

途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学在人生中，有些人让我们学会了感恩，学会了珍惜，学会了分辨，学会了坚强，学会了思考，学会了看淡，有时候总需要在生命中等一等，时间会让你明白一切！然而，这一切都是

最好的安排！感恩一路走来遇到的每一个人。时间渐渐磨去了年少轻狂，也渐渐沉淀了冷暖自知。十年前，连多愁善感都要渲染得惊天动地,十年后，越痛越不动声色，越苦，越保持沉默.成长就是将你的一切都变成心静如水，将一切情绪调整到静音模式！

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高考·高考一轮总复习·北师大版·数学百度文库，放心使用，安全文档第四章第六节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学在人生中，有些人让我们学会了感恩，学会了珍惜，学会了分辨，学会了坚强，学会了思考，学会了看淡，

有时候总需要在生命中等一等，时间会让你明白一切！然而，这一切都是最好的安排！感恩一路走来遇到的每一个人。