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3.2.2 奇偶性(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】3.2.2 奇偶性(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(49)页,1.255 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

3.2.2奇偶性3.2.2奇偶性1.先由具体函数形成对奇偶函数的感性认识,然后抽象归纳出奇偶函数的定义,了解函数的奇偶性的概念,会用定义判断函数的奇偶性.2.掌握偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原

点对称的特征.3.了解函数具有奇偶性时,其定义域具有的特点.4.通过利用图象抽象出函数奇偶性和这一性质的应用,培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养.(一)教材梳理填空偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x

∈I,都有______,且__________,那么函数f(x)叫做偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有______,且____________,那么函数f(x)叫做奇函数图象特点关于___

_对称关于____对称定义域特征关于____对称奇偶性如果函数是奇函数或是偶函数,那么称函数f(x)具有________-x∈If(-x)=f(x)-x∈If(-x)=-f(x)y轴原点原点奇偶性[思考]对于函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(x)为偶函数,需满足什么条件?

(2)若f(x)为奇函数,需满足什么条件?提示:(1)b=0;(2)a=c=0.(二)基本知能小试1.判断正误(1)f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.()(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(

x),则函数y=f(x)一定是奇函数.()(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.()(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×2.下列函数是偶函数的是()A.y=xB.y=3x2C.y=x-1D.y=|x|(

x∈[0,1])解析:选项A、C中的函数是奇函数,选项B中的函数是偶函数,选项D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数.答案:B3.函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于()A.-1B.0C.1D.无法确定解析:∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1.答案:

C4.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)=________.解析:当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)+1=x+1=-f(x),所以f(x)=-x-1.答案:-

x-1题型一函数奇偶性的判断[探究发现](1)为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称?提示:由函数奇偶性的定义知,若x在定义域内,则-x一定也在定义域内(若-x不在定义域内,则f(-x)无意义),因此,具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.(2)是否存在函数既是奇函数又是偶函数?提示:

若f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),f(x)=-f(x)=0,这样的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的非空数集.[学透用活][典例1]判断下列函数的奇偶性:(1)

f(x)=2-|x|;(2)f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=xx-1;(4)f(x)=x+1,x>0,-x+1,x<0.[解](1)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),∴f(x)为偶函数.(2)∵函数f(x)的定

义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点

对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.[方法技巧]函数奇偶

性的判断方法(1)定义法:(2)图象法:(3)性质法:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.[提醒]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(

-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.[变式训练]1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x5;(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;(3)f(x)=2x2+2xx+1.解:(1)函数f(x)的定义域

为R.又f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)函数f(x)的定义域是R.因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(

-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.2.已知函数f(x)=x2+2x+3,x<0,0,x=0,-x2+2x-3,x>0,试判断函数f(x)的奇偶性.解:函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.当x<0时,-x>0,f(-

x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-(x2+2x+3)=-f(x);当x=0时,-x=0,f(-x)=f(0)=0=-f(x);当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3

=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.题型二利用函数的奇偶性求参数[学透用活][典例2](1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=___

_____.(2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=________.[解析](1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=13.又函数f(x)=13x2+bx+b+

1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.(2)由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0,得a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.[答案](1)130(2)0[方法技巧]利用奇偶性求参数

的常见类型(1)定义域含参数:奇偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法

求解.[变式训练]1.设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=________.解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即(-x+1)(-x+a)-x=-(x+1)(x+a)x.显然x≠0,整理得x2-(a+

1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.答案:-12.已知函数f(x)=-x2+x,x>0,ax2+x,x<0是奇函数,则a=________.解析:因为f(x)为奇函数,所以f

(-1)+f(1)=0,即(a-1)+(-1+1)=0,故a=1.答案:1题型三利用函数的奇偶性求解析式[学透用活][典例3]若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式.[解]当x<0时,-x>0,f

(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3.即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.故f(x)=x2-2x+3,x>0,0,x=

0,-x2-2x-3,x<0.[方法技巧]利用函数奇偶性求函数解析式的3步骤(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;(3)利用f(x)的奇偶性写出-f

(x)或f(-x),从而解出f(x).[变式训练]1.[变设问]本例条件不变,求f(-2)的值.解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(22-2×2+3)=-3.2.[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求当x<0时

,f(x)的解析式.解:当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(-x),所以f(x)=x2+2x+3,即当x<0时,f(x)=x

2+2x+3.3.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=2x+x2,求函数f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

由f(x)+g(x)=2x+x2.①用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②(①+②)÷2,得f(x)=x2.(①-②)÷2,得g(x)=2x.题型四函数单调性与奇偶性的应用[探究发现](1)奇偶函

数图象的特点是什么?提示:奇函数的图象关于原点对称,且定义域包括实数0时图象过原点;偶函数的图象关于y轴呈轴对称.(2)在关于原点对称的区间上,奇偶函数单调性的关系是怎样的?提示:在对称的区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反.[学透用活][典例4]

(1)若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则()A.f-32<f(-1)<f(2)B.f(2)<f-32<f(-1)C.f(2)<f(-1)<f-32D.f(-1)<f

-32<f(2)[解析](1)∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2).又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<-32<-1.∴f(2)=f(-2)<f-32<

f(-1),故选B.[答案](1)B(2)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是5,那么f(-x)在区间[-5,-2]上有()A.最小值5B.最小值-5C.最大值-5D.最大值5[解析](2)因为奇函数的图象关于原点对

称,且奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是5,所以f(x)在区间[-5,-2]上有最大值-5,所以f(-x)=-f(x)在区间[-5,-2]上有最小值5.[答案](2)A(3)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值

范围是________.[解析](3)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上是减函数.所以不等式f(1-m)<f(m)等价于1-m>m,-3≤m≤3,-3≤1-m≤3,解

得-2≤m<12.[答案](3)-2,12[方法技巧]函数的奇偶性与单调性综合问题的解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.(

2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函数的奇偶性与单调性,列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响.[变式训练]1.[比较

大小]设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是________.解析:因为f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又当x≥0时,f(x)是增函数,所以f(2)<f(3)<f(

π),即f(-2)<f(-3)<f(π).答案:f(-2)<f(-3)<f(π)2.[解不等式]已知定义在(-1,1)上的函数f(x)=xx2+1.(1)试判断f(x)的奇偶性及在(-1,1)上的单调性;(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.解:

(1)因为f(x)=xx2+1,所以任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),所以f(-x)=-xx2+1=-xx2+1=-f(x).故f(x)=xx2+1为奇函数.任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,所以f(x2)-f(x1)=x2x22+1-x1x

21+1=x2(x21+1)-x1(x22+1)(x21+1)(x22+1)=(x2-x1)(1-x1x2)(x21+1)(x22+1).因为x2-x1>0,1-x1x2>0且x21+1>0,x22+1>0,所以f(x2)>f(x1),故f(x)=xx2+1在(-1,1)上为增函数.(2)因为定

义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数,由f(t-1)+f(2t)<0,得f(t-1)<-f(2t)=f(-2t).所以有-1<t-1<1,-1<-2t<1,t-1<-2t,即0<t<2,-12<t<12,t

<13.解得0<t<13.故不等式f(t-1)+f(2t)<0的解集为t|0<t<13.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(

x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.解:(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:假设f(x)是

奇函数,则由f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无解,所以f(x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a2+

3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).二、创新性——强调创新意识和创新思维2.阅读下面材料,尝

试类比探究函数y=x2-1x2的图象,写出图象特征,并根据你得到的结论,作出函数的图象.阅读材料:我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,

也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子.对于函数y=1x,我们可以通过表达式来研究它的图象和性质,如:(1)在函数y=1x中,x≠0,可以推测出,函数的图象不经过y轴,即图象与y轴不相交;由y≠

0,可以推测出,函数的图象不经过x轴,即图象与x轴不相交.(2)在函数y=1x中,当x>0时,y>0,当x<0时,y<0,可以推测出,函数的图象只能在第一、三象限.(3)在函数y=1x中,若x∈(0,+∞),则y>0,且当x

逐渐增大时y逐渐减小,可以推测出,函数的图象越向右越靠近x轴;若x∈(-∞,0),则y<0,且当x逐渐减小时y逐渐增大,可以推测出,函数的图象越向左越靠近x轴.(4)由函数y=1x可知f(-x)=-f(x),即y

=1x是奇函数,可以推测出,函数的图象关于原点对称.结合以上性质,逐步推测出函数y=1x的图象,如图所示,在这样的研究中,我们既用到了从特殊到一般的思想,又用到了分类讨论的思想,既进行了静态(特殊点)

的研究,又进行了动态(趋势性)的思考,让我们享受数学研究的过程,传播数学研究的成果.解:(1)在y=x2-1x2中,x≠0,可以推测出函数的图象不经过y轴,即与y轴不相交.(2)令y=0,即x2-1x2=0,解得x=±1,可以推测出,函数的图象与x轴相交,交点坐标为(1,0)和(-

1,0).(3)在y=x2-1x2中,当0<x<1时,1x2>1>x2,则y<0,当x>1时,1x2<1<x2,则y>0,可以推测出函数在区间(0,1)上的图象在x轴的下方,在区间(1,+∞)上的图象在x轴上的上方.(4)在y=x2-1x2中,若x∈(0,+∞),则当x逐渐增大时1x2逐渐减小,

x2-1x2逐渐增大,即y逐渐增大,所以函数在(0,+∞)上单调递增,可以推测出函数在区间(0,+∞)上的图象向右的趋势是单调递增的.(5)由函数y=x2-1x2可知f(-x)=f(x),即该函数为偶函数,可以推测出,函数的图象关于y轴对称.综上,可以推测出函

数y=x2-1x2的图象,如图所示.谢谢观看

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