3.1.1 函数的概念(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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以下为本文档部分文字说明:

3.1.1函数的概念第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中

的作用,了解构成函数的三要素,能求简单函数的定义域.(转下页)3.通过对函数概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养.通过对函数的确认及判断是否为同一函数,培养学生逻辑推理的核心素养.通过求简单函数的定义域,

培养学生数学运算的核心素养.知识点一函数的有关概念(一)教材梳理填空1.函数的概念函数的定义一般地,设A,B是_____________,如果对于集合A中的_____________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有___________

___和它对应,那么就称_________为从集合A到集合B的一个函数函数的记法______________定义域x叫做______,x的__________叫做函数的定义域函数值与_______相对应的y值值域函数值的集合___________叫做函数

的值域,显然值域是集合B的子集非空的实数集任意一个数x唯一确定的数yf:A→By=f(x),x∈A自变量取值范围Ax的值{f(x)|x∈A}[思考](1)在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗?(2)如果函数y=f

(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗?提示:(1)确定,一一对应.(2)不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系f(x)=x2或f(x)=|x|均可.2.函数的三要素:定义域、________、值域是函数的三要素,缺一不可.3.

同一个函数:如果两个函数的______相同,并且________完全一致,即相同的自变量对应的函数值相同,那么这两个函数是同一个函数.(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和

值域都分别相同的两个函数,它们不一定是相同的函数,因为函数对应关系不一定相同.如y=x与y=3x的定义域和值域都是R,但它们的对应关系不同,所以是两个不同的函数.对应关系定义域对应关系(二)基本知能小试1.判断正误(1)任何两个集合之间都可以建

立函数关系.()(2)函数的定义域必须是数集,值域可以为其他集合.()(3)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(4)在函数的定义中,集合B是函数的值域.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×2.若f(x)=x2-x+1,则f(3)=________

.解析:f(3)=9-3+1=9-2=7.答案:73.函数f(x)=14-x的定义域是________.解析:由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域是{x|x<4}.答案:{x|x<4}4.给出下列三组函数,其中表示同一函数的是________(填序号).①f(x)=x,g(x

)=x2x;②f(x)=2x+1,g(t)=2t+1;③f(x)=x,g(x)=3x3.解析:①中f(x)=x与g(x)=x2x的定义域不同,不是同一函数;②中f(x)=2x+1,g(t)=2t+1虽然自变量不同,但定义域和对应关系相同

,是同一函数;③中f(x)=x与g(x)=3x3定义域相同对应关系也相同,是同一函数.答案:②③知识点二区间及相关概念(一)教材梳理填空1.区间的概念设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为______;(2

)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为_______;(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为_________,______.[a,b](a,b)[a,b)(a,b

]这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.实数集R可以用区间表示为____________,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.我们可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合,用区间分别表示为______________,____

__________,______________,(-∞,b).(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,b]2.区间的几何表示区间还可以用数轴表示,在数轴表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示

不包括在区间内的端点.(转下页)定义名称区间数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间________{x|a<x<b}开区间______{x|a≤x<b}半开半闭区间______{x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]{x|x≥a}-_________{

x|x>a}-(a,+∞){x|x≤b}-_________{x|x<b}-(-∞,b)[a,b](a,b)[a,b)[a,+∞)(-∞,b](二)基本知能小试1.区间(0,1)等于()A.{0,1}B.{(0,1)}C.{x|0<x<1}D.{x

|0≤x≤1}答案:C2.用区间表示下列数集:(1){x|x≥1}=________;(2){x|2<x≤4}=________;(3){x|x>-1,且x≠2}=________.答案:(1)[1,+∞)(2)(2,4](3)(-1,2)∪(2,+∞)3

.设A=(-6,1],B=(-1,9],则A∩B=________.答案:(-1,1]题型一函数的概念[学透用活][典例1](1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A.

0B.1C.2D.3(2)下列从集合M到集合N的对应关系中,其中y是x的函数的是()A.M={x|x∈Z},N={y|y∈Z},对应关系f:x→y,其中y=x2B.M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R},对应关系

f:x→y,其中y=±2xC.M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2D.M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=2x[解析](1)①中,因为在集合M中当1<x≤2时,在N中无元素与之对应,所以①不

是;②中,对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的数与之对应,所以②是;③中,x=2对应元素y=3∉N,所以③不是;④中,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,所以④不是.因此只有②是,故选B.[答案](1)B[解析](2)对于A,M中的奇数在N中无元素与之对应y,不是x的函数;

对于B,M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应,y不是x的函数;对于C,M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应,y是x的函数;对于D,M中x=0在N中没有元素对应,y不是x的函数,故选C.[答案](2)C[方法技巧]1.判断对应关系是否为

函数的2个条件(1)A,B必须是非空数集.(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.[方法技巧]2.根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条

垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.[变式训练]1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A=R,B=R,x2+y2=1B.A={1,2,3,4}

,B={0,1},对应关系如图:C.A=R,B=R,f:x→y=1x-2D.A=Z,B=Z,f:x→y=2x-1解析:A错误,x2+y2=1可化为y=±1-x2,显然对任意x∈A,y值不唯一.B正确,符合函数的定义.C错误,2∈A,在B中找不到与之

相对应的数.D错误,-1∈A,在B中找不到与之相对应的数.答案:B2.(多选)下列对应为函数的是()A.x→y=13x,x∈{x|0≤x≤6},y∈{y|0≤y≤3}B.x→y=6-x,x∈{x|1<x≤6},y∈{y|0<y≤5}C.t→s=t2+t+1D.x→y=±x,x∈{x

|x>0},y∈{y|y≠0}解析:对于A,符合函数的定义,所以是函数;对于B,当x=6时,y=0不在集合{y|0<y≤5}中,不符合函数的定义,所以不是函数;对于C,符合函数的定义,所以是函数;对于D,对于x>0,都有两个元素y=±x与之对应,不符合函数的定义,

所以不是函数.故选A、C.答案:AC题型二已知函数解析式求定义域[学透用活][典例2]求下列函数的定义域.(1)f(x)=3-12x;(2)f(x)=(x+1)0x+2;(3)f(x)=5-x|x|-3;(4)f(x)=x+1-x2-3x+4.[解](1)函数f(x)=3-12x的定义域为R.(

2)由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1.又x+2>0,即x>-2,所以x>-2且x≠-1.所以函数f(x)=(x+1)0x+2的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.(3)要使函数f(x)有意义,自变量x的取值必须满足5-x≥0,|x|-3≠0,解

得x≤5,且x≠±3,所以函数f(x)=5-x|x|-3的定义域为{x|x≤5且x≠±3}.(4)要使函数f(x)有意义,则x+1≥0,-x2-3x+4>0,即x≥-1,(x+4)(x-1)

<0,解不等式组得-1≤x<1.因此函数f(x)的定义域为[-1,1).[深化探究](1)若函数y=f(x)的定义域是[1,2],则函数f(x+1)定义域是什么?已知f(x)的定义域如何求f(g(x))的定义域?提示:由1≤x+1≤2,得0≤x≤1,由此得函数f(x+1)定义

域是[0,1].已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域,其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A,求x的取值范围.(2)若函数y=f(x+1)的定义域是[1,2],这里的“[1,2]”是指谁的取值范围?函数y=f(x)的定义域是什

么?已知f(g(x))的定义域如何求f(x)的定义域?提示:[1,2]是自变量x的取值范围.函数y=f(x)的定义域是x+1的取值范围[2,3].已知f(g(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B,求g(x)的范围(值域),即为f(x)的定义域.[方

法技巧]求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;(3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合;(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;(5)若

f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.[变式训练]1.函数f(x)=xx-1的定义域为________.解析:要使xx-1有意义,需满足x≥0,x-1≠0,解得x≥0且x≠1,故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}.答案:

{x|x≥0且x≠1}2.函数y=x+26-2x-1的定义域为________.解析:要使函数有意义,需满足x+2≥0,6-2x≥0,6-2x-1≠0,解得-2≤x≤3,且x≠52.答案:-2,52∪52,3题型三求函数的值、值域问题

[学透用活][典例3](1)f(x)=2x2+2,g(x)=1x+2,则f(2)=________;g(f(2))=________;g(a)+g(0)(a≠-2)=________.(2)求下列函数的值域:①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};②y=x2-2x+3,x∈

[0,3);③y=2x+1x-3;④y=2x-x-1.[解析](1)因为f(x)=2x2+2,所以f(2)=2×22+2=10,又因为g(x)=1x+2,所以g(f(2))=g(10)=110+2=112,g

(a)+g(0)=1a+2+12(a≠-2).答案:101121a+2+12(2)①观察法:因为x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.②配方法:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2

,6).③分离常数法:y=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3,显然7x-3≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).④换元法:设t=x-1,则t≥0且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2t-142+15

8,由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为158,+∞.[方法技巧]1.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.[方

法技巧]2.求函数值域常用的4种方法观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域分离常数法此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域换元法即运用新元代换,将所给函数化成值域

易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+cx+d(其中a,b,c,d为常数,且a≠0)型的函数常用换元法[变式训练]1.[变条件]在本例(1)的条件下,若f(b)=10,求b的值.解:因为f(x)=2x2+2,所以f(b)=2b2+

2=10,解得b=±2.2.[变设问]在本例(1)的条件下,判断点(3,20)是否在函数f(x)的图象上.解:因为f(3)=2×32+2=20,所以点(3,20)在函数f(x)的图象上.3.求下列函数的值域:(1)y=2x+1+1;(2)y=1-x21+x2.解:(

1)因为2x+1≥0,所以2x+1+1≥1,即所求函数的值域为[1,+∞).(2)因为y=1-x21+x2=-1+21+x2,又函数的定义域为R,所以x2+1≥1,所以0<21+x2≤2,则y∈(-1,1].所以所求函数的

值域为(-1,1].题型四同一个函数的判断问题[探究发现]在函数的三个要素中,起决定作用的是哪两个要素?两个函数相等必须具备什么条件?提示:起决定作用的是函数的对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确

定;当两个函数的定义域和对应关系相同时,这两个函数就相等.[学透用活][典例4]下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=x+2·x-2与y=x2-4B.y=|x|与y=3x3C.y=x与y=x2D.y=xx与y=x0[解析]A选项:y=x+2·

x-2的定义域为{x|x≥2},y=x2-4的定义域为{x|x≤-2或x≥2},∴两函数不是同一函数.B选项:y=|x|与y=3x3的定义域均为R,y=3x3=x,可知两函数的对应关系不同,∴两函数不是同一函数.C选项:y=x与y=x2

的定义域均为R,y=x2=|x|,可知两函数的对应关系不同,∴两函数不是同一函数.D选项:y=xx与y=x0的定义域均为{x|x≠0},y=xx=1=x0,可知两函数的对应关系相同,∴两函数是同一函数.故选D.[答案]D[方法技巧]判断两函数为同一个函数的方法判断

两函数是否为同一个函数,关键是树立定义域优先的原则.(1)先看定义域,若定义域不同,则不相等;(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.[变式训练]判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数?(1)f(x)=(x+3)(x-

5)x+3,g(x)=x-5;(2)y=1+x·1-x,y=1-x2.解:(1)两函数定义域不同,所以不是同一个函数.(2)y=1+x·1-x的定义域为{x|-1≤x≤1},y=1-x2的定义域为{x|-1≤x≤1},即两者定义域相同.又∵y=1+x·

1-x=1-x2,∴两函数的对应关系也相同.故y=1+x·1-x与y=1-x2是同一函数.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.有一道题“若函数y=kx+7kx2+4kx+3的定义域为一切实数,求k的取值范围”,某位同学给出

了如下解题过程:解:由y=kx+7kx2+4kx+3的定义域为一切实数,可知分母kx2+4kx+3≠0对一切实数x恒成立,∴Δ=(4k)2-4k·3<0,解得0<k<34,∴k的取值范围为0

,34.分析以上的解题过程是否正确,若不正确,请说明理由.提示:错误的原因是没有对k的值进行分类讨论,当k=0时,kx2+4kx+3=3不是二次函数,但是能成立.正解如下:由y=kx+7kx2+4kx+3的定义域为一切实数可得分母kx2+4kx+3≠0对x∈R恒成立.当k=0时,kx

2+4kx+3=3≠0对x∈R恒成立.当k≠0时,Δ=(4k)2-4k·3<0,解得0<k<34.综上可知,当0≤k<34时,函数的定义域为一切实数.二、应用性——强调学以致用2.有一个半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆

上,写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式,并求出其定义域.[析题建模]利用等腰梯形的性质,求出上底与腰长x之间的关系即可表示出周长y与腰长x之间的函数关系式,再根据实际意义求出x的取值范围.解:如图所示,腰长AD=BC=x,作DE⊥AB于点E,连接BD.因为A

B是⊙O的直径,C,D在圆上,所以∠ADB=90°,所以△EDA∽△DBA,即AD2=AE·AB,所以AE=x22R,所以CD=AB-2AE=2R-x2R,所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y=2R+2x+2R-x2

R=-x2R+2x+4R.(转下页)因为四边形ABCD的各边长都为正数,所以AD>0,CD>0,即x>0,2R-x2R>0,解得0<x<2R,所以所求函数的定义域为{x|0<x<2R}.三、创新性——强调创新意识和创新思维3.若一系列函数的解析式相同,

值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2-3,值域为{-1,5}的“孪生函数”共有()A.7个B.8个C.9个D.10个答案:C解析:由题意知,问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为y=2x2-3,值域为{-1,5},由2x2-3

=-1得,x=±1;由2x2-3=5得,x=±2.则定义域可以为{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{-1,2,-2},{1,-2,2},{1,-

1,2,-2},因此“孪生函数”共有9个.答案:C谢谢观看

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