1.5.1 全称量词与存在量词(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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以下为本文档部分文字说明:

1.5.1全称量词与存在量词1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.通过本节内容的学习,学生能使用常用逻辑用语表达数学对象,进行数学推理,培养学生逻辑推理的核心素养.(一)教材梳理填空1.全称

量词与全称量词命题定义短语“______”“_________”在逻辑中通常叫做全称量词全称量词符号表示____定义含有____量词的命题,叫做全称量词命题一般形式对M中________x,p(x)成立全称量词命题符

号表示________,p(x)所有的任意一个∀全称任意一个∀x∈M[思考]怎样判断一个命题是全称量词命题?提示:判断一个命题是否为全称量词命题,一是看该命题是否含有全称量词;二是看该命题是否为省去全称量词的命题,如果是,我们可以

把全称量词补充出来看是否讲得通.2.存在量词与存在量词命题定义短语“________”“__________”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词符号表示___定义含有____量词的命题,叫做存在量词命题一般形式____M中的元素x,p

(x)成立存在量词命题符号表示________,p(x)存在一个至少有一个∃存在存在∃x∈M[思考]全称量词命题与存在量词命题有什么区别?提示:(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,

无一例外,强调“整体、全部”.(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.(二)基本知能小试1.判断正误(1)“一切”“每一个”“任意一个”是全称量词.()(2)有些全称量词

命题的全称量词可以省略.()(3)“有些”“有一个”“对某些”“有的”是存在量词.()(4)存在量词命题中的存在量词可以省略.()答案:(1)√(2)√(3)√(4)×2.下列命题中是全称量词命题的是()A.圆有内接四边形B.3>2C.3<2D.若三角形的三

边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形解析:A中命题即为所有的圆都有内接四边形,是全称量词命题.B、C、D均不为全称命题.故选A.答案:A3.给出下列命题:①存在实数x>1,使x2>1;②全等的三角形必相似;③有些相似三角形全等;④

至少有一个实数a,使ax2-ax+1=0的根为负数.其中存在量词命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①③④为存在量词命题,②为全称量词命题,故选C.答案:C4.下列命题中,正确的有________(填序号).①∃x∈R,x≤0;②至少有一个整数,

它既不是合数也不是质数;③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数.解析:①正确;②正确,例如数1满足条件;③正确,例如x=π.综上可得:①②③都正确.答案:①②③题型一全称量词命题与存在量词命题的判断[学透用活](1)全称量

词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词为“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.(3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存

在量词为“有些”“有一个”“有的”“存在一个”等.(4)一个存在量词命题可以包含多个变量.如∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2.[典例1]判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题.(1)所有不等式的解集A,都

满足A⊆R;(2)∃x∈R,y∈R,使(x+y)(x-y)>0;(3)存在x∈R,2x+1是整数;(4)自然数的平方是正数;(5)所有四边形的内角和都是360°吗?[解]“自然数的平方是正数”的实质是“

任意一个自然数的平方都是正数”,所以(1)(4)是全称量词命题.(2)(3)中含有存在量词,所以(2)(3)是存在量词命题.(5)是疑问句,不是命题.[方法技巧]判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[提醒]全称量词命题可以省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省

略.[变式训练]判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,并用量词符号“∀”、“∃”表示.(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立;(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x,y

,使得3x-2y=10成立;(4)所有的有理数x都能使13x2+12x+1是有理数.解:(1)全称量词命题,∀x∈R,x2+x+1>0.(2)全称量词命题,∀a,b∈R,ax+b=0恰有一个解.(3)存在量词命题,∃x,y∈Z,3x-2y=10.(4)全称量词命题,∀x∈Q,13x2

+12x+1是有理数.题型二全称量词命题与存在量词命题真假的判断[学透用活]1.判断全称量词命题真假的思维过程2.判断存在量词命题真假的思维过程[典例2]判断下列命题的真假.(1)∃x∈Z,x3<1;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)在平面直角坐标系中,任意有序

实数对(x,y)都对应一点P;(4)∀x∈N,x2>0.[解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,所以“∃x∈Z,x3<1”是真命题.(2)真命题,如梯形.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.(4)因为0∈N,

02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题.[方法技巧]判断全称量词命题和存在量词命题的真假时,一定要结合生活中的实例,通过运用相关的数学知识进行判断.有些命题没有直接给出量词,需要自己“破译”,找出其中隐含的量词,才可以判断其是全称量词命题还是存在量词命题,进而再判断其

真假.[变式训练]1.(多选)下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是()A.每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤bC.存在一个菱形不是平行四边形D.存在一个实数x使不等式x2-3x+7<0成立解析:对于A,是全称量词命题,是假命题

,故A错误;对于B,是全称量词命题,是真命题,故B错误;对于C,是存在量词命题,是假命题,故C正确;对于D,是存在量词命题,是假命题,故D正确.故选C、D.答案:CD2.判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1>12;(2)∃α,β∈R

,(α-β)2=(α+β)2;(3)存在一个数既是偶数又是负数;(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.解:(1)真命题,因为x2≥0,所以x2+1≥1>12恒成立.(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-

4等,既是偶数又是负数.(4)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为2,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.题型三利用全称量词命题和存在量词命题求参数的值或取值范围[学透用活][典例3]已知命题p:∀x∈x12≤x≤1,

1x-a≥0是真命题,求实数a的取值范围.[解]∵1x-a≥0,∴a≤1x.由题意知a≤1xmin,又x∈x|12≤x≤1,∴1≤1x≤2,∴a≤1.故实数a的取值范围为{a|a≤1}.[方法技巧]求

解含有量词命题中参数范围的策略已知含量词命题的真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等

式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.[变式训练][变条件]本例命题p不变,命题q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0,p与q都是真命题,求实数a的取值范围.解:由∀x∈x12≤x≤1,1x-a≥0,解得a≤1.由∃x∈R,x2+2x+2-a=0,

知Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1.又p,q都是真命题,所以a≤1,a≥1,所以a=1,故实数a的值为1.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命

题.并用符号“∀”(“∀”表示“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,再判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;(3)勾股定理.解:(1)是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.改写后

命题为:∀x∈R,x2≥0,它是真命题.(2)是存在量词命题.改写后命题为:∃(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命题.如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.(3)是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理.改写后命题为

:∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2,它是真命题.二、创新性——强调创新意识和创新思维2.命题“(a+b)2|1+b|=a+b1+b”是全称量词命题吗?如果是,请给予证明;如果不是,请补充必要的条件,使之成为全称量词命题.解:

存在1+b<0使得“(a+b)2|1+b|=a+b1+b”不成立,故不是全称量词命题,增加“对∀a,b∈R,且满足1+b>0,a+b≥0”,得到的命题是全称量词命题.谢谢观看

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