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计算机图形学教学4课件RepresentationofcircleRyyxx2020)()(Originaldefinitionequivalentdefinitions)offset),((00222yxRyx22xRy]2,0[sincosR

yRxInefficientalgorithms},...,1,0{22RxxRy•在扫描转换时,仅考虑其在第一象限的第二个1/8圆.(x,y)原点(x,-y)(-x,y)(-x,-y)X轴Y轴y=x直线(y,x)(y,-x)(-y,x)(-y,-x)BAEi

ght-WaySymmetryMidpointCircleAlgorithm（1）•原理：0181k：圆弧上的切线斜率满足在上ChoicesfornextpixelChoicesforcurrentpixelP=(xk,yk)MSEMEMSEEPreviouspixel•定义圆函

数：fxyxyr(,)222fxyxyxyxy(,)(,)(,)(,)000位于圆边界内位于圆边界上位于圆边界外)21,1()(kkkyxfMfd特点：引入判别参数：MidpointCircleAlgorithm（2）•算法描述：（假设X方向的步长为1）

),1(E0)1,1(0kkkkkkyxdyxSEd点为：时，下一点应取当；点为：时，下一点应取当?：howtocalculatedkefficiently?MidpointCircleAlgorithm（3）222)5.0()1(ryxdii

k使用增量计算方法改进判别参数的计算效率MidpointCircleAlgorithm（4）ChoicesfornextpixelChoicesforcurrentpixelP=(xk,yk)MSEMEMSEEPreviouspixel3232)5.0()

1()5.0(]1)1[(()5.0,2(2222221kkkkkkkkkkxdxryxryxyxfd)5.0,2(M),1E(0d)1(Ekkkkkyxyx下次中点为，则时

，选点当MidpointCircleAlgorithm（5）ChoicesfornextpixelChoicesforcurrentpixelP=(xk,yk)MSEMEMSEEPreviouspixel)5.1,2(M)1,1E(0d)2(SE

kkkkkyxyxS则下次中点为，时，选点当5)(25)(2)5.0()1(]1)5.0[(]1)1[(()5.1,2(2222221kkkkkkkkkkkkyxdyxryxr

yxyxfdMidpointCircleAlgorithm（6）判别参数d的递推公式如下：初值：0)11(5)(20)1(321kkkkkkkkkkkkdyxyxddyxxdd，＋选，，＋选递推公式：rrfd25.1)5.0,1(ry0x

000，关于计算效率的考虑:eliminatethefraction考虑：点的选择只与判别量的符号相关引入：rprd125.100对应：初值：25.0kkdp25.00kkpd对应于判别式MidpointCircleA

lgorithm（7）•递推公式中其它与d有关的式子可把d直接换成pk。•由于pk的初值为整数，且在运算过程中的增量也是整数，故pk始终是整数，所以pk<-0.25等价于pk<0。

opypyyxxppyxppxpprpkkkkkkkkkkkkkkkk10105)(203211110算法：为决策参数的中点画圆则以结论：MidpointCircleAlgorithm（8）例：Center（0，0），r＝8MidpointCircleAlgorithm（9）迭

代必须满足点的坐标x<ytimexypkPutpixel(x,y)008-7(0,8)118-4(1,8)2281(2,8)337-6(3,7)4473(4,7)5562(5,6)6655•提高计算效率,321kkxd令类似地：310d初值：rd25

20初值：MidpointCircleAlgorithm（10）5)(22kkkyxd则21kkddddd,x=x+1,y=y-1,,x=x+1,y=y0d当0d当22)32(3)1(23211111kkkkkdxxxd

040221212dddddkkkMidpointCircleAlgorithm（11）xdyd1d2x+1d<0d+d1yd1+2d2+2d≥0d+d2y-1d1+2d2+4以上结论可归结为下表,10rd初值：,310drd2520

作业：按上述表格法，画圆心在（5,7），半径为11的圆在第一象限的部分。VoidMidPointCircle(intr,intcolor){intx,y,d;x=0;y=r;d=1-r;delta1=3;delta2=5-2

r;drawpiexl(x,y,color);while(y>x){if(d<0){d+=delta1;delta2+=2;}else{d+=delta2;delta2+=4;y--}delta1+=2;x++;putpiexl(x,y,co

lor);putotherpiexl(x,y,color);}//while}//endMidpointCircleAlgorithm（12）Bresenham画圆算法BresenhamAlgorithm（1）22222

2)1()1()()()1()(RyxLDRyxHDiiiiChoicesfornextpixelChoicesforcurrentpixelP=(xi,yi)MSEMEMLHPreviousp

ixel问题：在P点已确定的前提下，当前需要在点H和点L中选择。思想：用两点到圆弧的距离的远近来判别选哪个点。定义两个候选点到圆弧的距离平方差为：BresenhamAlgorithm（2）)()(LDHDd构造判别参数：(1)在圆弧的两侧D(H)>0

,D(L)<0因此，当d≥0时，选L点当d<0时，选H点ChoicesfornextpixelChoicesforcurrentpixelP=(xi,yi)MSEMEMLHPreviouspixelH，L点的分布只有三种情况：在圆弧的两

侧；同在圆弧的内侧；同在圆弧的外侧。BresenhamAlgorithm（3）(2)同在圆弧外侧D(H)>0,D(L)>0此时，d>0，选L点(3)同在圆弧内侧D(H)<0,D(L)<0此时，d<0，选H点ChoicesfornextpixelChoicesforcur

rentpixelP=(xi,yi)MSEMEMLHPreviouspixel因此，三种情况可统一写为：当d≥0时，选L点；当d<0时，选H点圆的内接正多边形迫近法基础知识（1）--三角函数sincosryrx),(yxprsincoscos

sin)sin(sinsincoscos)cos(基础知识（2）--矩阵表示vducyvbuax表达式：可写成矩阵形式：vudcbayx基础知识（3）--矢量及其运

算abcacbcba),(yxPijjyixPyxP圆的内接正多边形迫近法(1)222ryx定义圆的方程：内接正n边形顶点为niyxpiii,.....,1,0),,(ip1ipi图4-6圆的多边形迫近

iiiiryrxsincos由图可知，pi的幅角为θi，则圆的内接正多边形迫近法(2)•使用增量计算确定多边形顶点：sincos)cos(1iiiiyxrx同理:cossin)sin(1iiiiyxryip1i

pi圆的内接正多边形迫近法(3)上述递推公式可用矩阵形式表示为：iiiiyxyxcossinsincos11其中，α是常数，计算一个顶点只需四次乘法。采用这种方法扫描转换圆弧只需4n次乘法，外加用中点

算法生成长度约为2πR的直线段的计算量。圆的内接正多边形迫近法(4)2nn确定：由夹角顶点数值：则大距离多边形与圆弧之间的最为指定逼近误差值和边数如何确定)(:ndd2cosrrdrrarccos2圆的内接

正多边形迫近法(5)改进的增量计算：求一个顶点只做两次乘法，但需使用两个初始点1cos21iipOpOipO显然：1111cos2iiiiiiyxyxyx亦即：ip1ip1ipOpB