【文档说明】计算机图形学7章2B样条分析课件.ppt，共(33)页，330.212 KB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-77493.html

以下为本文档部分文字说明：

计算机图形学7章2B样条分析本次课内容：§7.4三次参数曲线§7.4.1曲线和曲面基础§7.4.2Hermite曲线§7.4.3Bezer曲线§7.4.4B样条曲线第7章三维对象§7.4.3Bezier曲线Hermite曲线:1曲线段拟合需

给定起点、终点的切失，这在实际工作中确定比较困难。2整条曲线连续需要建立多个矢量方程，联立求解；3曲线的凸包性取决于切线矢量；4曲线的扩展性和局部修改性比较差；如果将切矢用位矢代替，问题就会迎刃而解。1971年，法国雷诺汽车公

司Bezier(贝塞尔)以逼近为基础研究曲线、曲面的构造方法，提出了由控制多边形定义曲线的方法，形状的变化完全在设计者的预料之中，著名的Bezier曲线和曲面。1．Bezier曲线的定义在空间给定ｎ＋１个点Ｐ0,Ｐ1,Ｐn，称下

列参数曲线为ｎ次的Bezier曲线。其中，Bi,n是伯恩斯坦多项式，称为基函数，即Q(t)=ΣPiBi,n(t)t∈[0,1]ni=0Bi,n(t)=ti(1-t)n-ii=0,1……,nn!i!(n-i)!Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2，Ｐn各点为Q(t

)的控制顶点，所组成的多边形为Q(t)特征多边形。P0P1P2P32．常用Bezier曲线的矩阵表示1)一次Bezier曲线：n=1,i=0,12)二次Bezier曲线：n=2,i=0,1,2Q(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P21≥t≥0矩阵表示

为:即：Q(t)=(1-t)P0+tP1Bi,n(t)=ti(1-t)n-ii=0,1……,nn!i!(n-i)!矩阵表示为：P0P13)三次Bezier曲线：n=3，i=1，2，3Q(t)=(1-t)³P0+3t(1-t)²P1+3t²(1-t)P2+t³P3

1≥t≥0矩阵表示为：3．Bezier曲线的性质令T表示参数矩阵，Mb表示常数矩阵，Gb表示位置矢量矩阵。即：Q(t)=T·Mb·Gb1）端点位置矢量：把t=0和1代入数学形式中，则有：t=0Q(0)

=P0；t=1Q(1)=Pn2)端点切矢量：对曲线表达式求导，对3次曲线则有：Q'(t)=[3t²2t10]·Mb·Gbt=0Q'(0)=3(P1－P0)；t=1Q'(1)=3(P3－P2)；端点处切线长度等于特征多边形首、末边长的n倍。工程上所使用的曲线次数不大

于3。3)对称性：若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的Bezier曲线形状不变，但方向相反。4)几何不变性：保持顶点相对位置不变，把多边形移动，则新的Bezier曲线形状不变。5)凸包性：Q(t)是多边形各顶点Ｐ1,Ｐ2,Ｐn

的加权平均0≤Bi,n≤1称为权因子。Bezier曲线Q(t)随控制多边形的变化而变化，其位置和形状只与多边形顶点的位置有关，不依赖坐标系选择在几何图形上有两重含义①曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的凸包之中；②多边形将曲线限制在一定的范围之内，使曲线的形状控制更

加方便当n=2:B0,2=t2–2t+1B1,2=–t2+2tB2,2=t2=t2–2t+1–t2+2t+t2=(1-t)2+2t(1-t)+t2=[(1-t)+t)]2采用归纳法证明：4．Bezier曲线的递推性P1P01P11P0P2P

02设P0、、P2为抛物线上三个点，过P0和P2的切线交于P1,过的切线为。P02P02P01P11P0/P1=P1/P2=/P01P01P11P11P02P01P11P02抛物线的三切线定理当P0、P2固定，引入t,上边的比值为：=(1

-t)P0+tP1=(1-t)P1+tP2=(1-t)+tP01P11P02P01P11t从0到1,1、2式表示控制二边形1、2边，为一次Bezier曲线；=(1-t)P0+2t(1-t)P1+tP2P0222当t从0到1时，

表示由3个顶点P0P1P2定义一条二次Bezier曲线，该曲线由（P0P1）和（P1P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。当t从0到1时，由4个顶点P0P1P2P3定义一条三次Bezier曲线，分别由（P0P1P2）

和（P1P2P3）决定的二次Bezier曲线的线性组合。u:1-u00P01P02P03P10P11P12P20P21P对于(n+1)控制点Pi(i=0,1,2…n）的n次曲线，可表示为：由前后n个控制点的两条（n-1)次Be

zier曲线的线性组合。=(1-t)P0+tP1P0nn-1n-1Bezier曲线的递推计算公式：Pik=(1-t)Pi+tPi+1n-1n-1Pik=0k=1,2,..n,i=1,2,….n-k30P5．三次Bezier曲线的拼

接工程上采用分段绘制三次Bezier曲线，将分段的Bezier曲线连接起来，在连接处满足C¹和C²连续。两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t)，其特征多边形顶点分别为：P1、P2、P3、P4和R1、R2、R3、R4。1)C¹连续(三次Be

zier曲线)根据端矢量条件，对Q1(t)曲线则有：Q1'(t)=3(P4－P3)Q2'(t)=3(R2－R1)曲线连接条件：①共点：P4和R1共点。②共线：P3、P4(R1)、R2三点共线。③异侧：P

3和R4处在P4(R1)的两侧。④Q1'(t)为Q2'(t)长度的λ倍P4－P3=λ(R2－R1)2)C²连续若Q1(t)曲线为m次，而Q2(t)曲线为n次，则有：Q"1(t)=m(m-1)(P3-2P2+P1)Q"2(t)=n(n-1)(P3-2P2+P1)若满足连续,则:Q1"

(t)=kQ2"(t)亦即：①P2、P3、P4(R1)、R2、R3四点共面。②在连接处两曲线的曲率相等。5．优缺分析1）特征多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次；2）Bezier曲线不具备局部修改性；3）Bezier曲线

的凸包性较强。1．B样条曲线的数学表达式若给定N=m+n+1个顶点，则第i段n次等距离分割的B样条曲线函数为：7.4.4B样条曲线其中n表示B样条的次数，m为最大段号，t为节点，i为B样条的段号。(分段混合函数)2．B样条曲线的矩阵表示1）

一次B样条曲线:(n=1，l=0，1)特征多边形只有P0P1两个控制点。2）二次B样条曲线:(n=2，l=0，1，2)特征多边形有P0P1P2三个控制点。l=0F0,2=(t-1)2/2l=1F1,2=(-

2t2+2t+1)/2l=2F0,2=t2/2Qi,2(t)=F0,2(t)P0+F1,2(t)P1+F2,2(t)P2=[(t-1)2P0+(-2t2+2t+1)P1+t2P2]/2端点位置矢量：曲线的首

末端点位于首末段的中点。Qi,2(0)=(Pi+Pi-1)/2;Qi,2(1)=(Pi+Pi+1)/2端点的一阶导数矢量：t=0Q'i,2(0)=(P1－P0)/2t=1Q'i,2(1)=(P2－P1)/2曲线的首末端点位于首末段的中点3)三次B样条曲线：(n=

3，l=0，1，2，3)特征多边形只有P0P1P2P3四个控制点。端点位置矢量：把t=0和t=1代入上式可得：端点的一阶导数矢量：对表达式求导：端点的二阶导数矢量，对表达式求二阶导数：把t=0和t=1

代入上式可得：三次B样条曲线几何特点：Q'1,3(0)=P0P2，Q'1,3(0)=P0P2/2起点终点3．样条曲线的性质:1)局部修改性：当改变一个控制点的位置，最多影响四个曲线段。P42)扩展性(或自动连续性)：增加一个控制点，增加一段B样条曲线，原有的B样条曲线不受影响，新增曲线段与原

曲线在连接处具有一阶、二阶导数连续。4．B样条曲线过首末端点的处理方法1)反向延伸：在P1P0的延长线上取一点P-1，使得P-1P0=P0P1PnPn+1=Pn-1Pn。求得：P-1=2P0-P1P4=2P3-P22)重点技术：在首末端点处采用重合点，使得：P-2≡

P-1≡P0Pn+2≡Pn+1≡PnQ-1位于P0P1的三分之一处。5．B样条曲线过型值点反求控制点的方法已知B样条曲线上一组型值点Qi(i=0,1,2,……,n)，求其对应的特征多边形的顶点Pj。从B3样条曲线根据连续条件，可知特征多边形的顶点数为n+2个，即j=-1,0,1,

………..,n,n+1。Qi=(Pj-1+4Pj+Pj+1)/6可得n个连续方程闭曲线1)闭曲线：形成闭曲线时，B3曲线的首末两个端点是相连的，则有：P0=Pn6Q0=Pn+1+4P0+P1Pn+1=P16Qn=Pn-

1+4Pn+P04100…………………1P0Q0141000………0P1Q1014100……0P2Q2………..….……….·:=6:…….…………::141Pn-1Qn-1100………014PnQn矩阵形式：P-1=P10=P-1－P1Pn+1=Pn0=Pn-

1－Pn1)开曲线：形成开曲线时，在曲线的首末端点处，为使曲线通过该处，可采用反向延伸或重点方法。在此采用重点方法，则有：6-600…………………1P0Q0141000……………0P1Q1014100……………0P2Q2………..….……..…..·:=6:……

.…………::………………..141Pn-1Qn-1000…………….0-66PnQn矩阵表示为：6．绘制B样条曲线的步骤1)确定型值点Qi(i=1，2，………，n)；2)根据曲线类型，建立反求特征点的矩阵形式；3)求出多边形的顶点表；4)根据精度要求确定插值点数，绘制样条曲线

；7．优缺分析1)能有效控制其凸包性；2)整体连续性比较好；3)局部修改性比较好；4)反求特征多边形顶点的计算工作量大。内容回顾：1Bezier曲线2B样条曲线作业：1.认真阅读课文内容。2.掌握Bezier和B样条曲线的矩阵形式。3.掌握特征多边形与Bezier和B样条曲线形状和次

数关系。4.理解Bezier和B样条曲线的性质和端点条件。5.理解掌握Bezier曲线拼接的条件。6.熟练掌握3次B样条曲线段端点的作图方法和几何特性。7.理解掌握B样条曲线的局部修改和扩展性质。Bezier曲线