【文档说明】计算机数值方法第四章数值积分与微分课件.pptx，共(126)页，1.846 MB，由小橙橙上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-77475.html

以下为本文档部分文字说明：

计算机数值方法第四章数值积分与微分课件第4章数值积分§1牛顿―柯特斯积分公式§2复合求积公式§3龙贝格积分方法§4高斯求积公式§5数值微分一、引言=badxxffI)()(对于定积分()(),fxFx如果知道的原函数badxxf)()()()(a

FbFxFba−==NewtonLeibniz−则由公式有以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法的一些只给出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等如求不出来的原函数)(,)()()2(xFxFxf求原函数较困

难的表达式结构复杂,)()3(xf但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:=badxxffI)()(对于，若0)(xf则积分值I对应于曲边梯形的面积。−=bafabdxxfba)()()(,

)(af如果我们用两端点“高度”与)(bf这样导出的求积公式)()(2bfafabT+−=这就是我们熟悉的梯形公式的算术平均作为平均高度)(f的近似值，)2()(bafabR+−=如果改用区间中点2bac+=的“高度”)(cf近似地取代平均

高度)(f则又可以导出所谓中矩形公式对定积分()bafxdx，其数值积分公式就是：某种线性组合，作为原定积分的近似值，在区间[a,b]内取n+1个点,,,n01xxx利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的这样的方法称为数值积分，相应的公式称

为数值积分公式。)()(0kbankkxfAdxxf=式中kx称为求积结点；这类数值积分公式通常称为机械求积公式。kA称为求积系数，亦称伴随结点kx的权。定义1.若求积公式=badxxffI)()()()(0fIxfAnnkkk

==()()imPxim对任意次数不超过次的代数多项式都准确成立即只要立次多项式却不能准确成但对,1+m()biaPxdx即：==nkkikxPA0)(mi,,1,0=+bamdxx1=+nkmkkxA01则称该求积公式具有m次的代数精度

二、代数精度梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。要使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于mxxxf,,1)(=都能准确成立，这就要求−+=−=−=++)(11)(211122mmmkkk

kabmxAabxAabAk例：三、插值型的求积公式上取一组节点在积分区间],[babxxxan10且已知函数)(xf在这些节点上的值，作插值函数)(xLn积分数值计算的方法很多,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式具体步骤如下:=bakkdxxl

A)(作为积分=badxxfI)(的近似值，这样构造出来的称为是插值型公式，由于代数多项式)(xLn的原函数是容易求出，因此取=banndxxLI)()(xlk通过插值基函数积分得出kA式中求积系数)(0knkknxfAI==求积公式由插值型的求积公式的余项可推得

由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项dxxnfIIfRbann)()!1()()1(+=−=+式中与变量x有关.==nkkknxfAI0)(的求积公式至少有n次定理1形如代数精度的充分必要条件是，它是插值型求积公式.四、求积公式的收敛性与稳定性00lim()()d

,nbkkankhAfxfxx→=→=11max()iiinhxx−=−其中，则称该求积公式是收敛的。)()(0kbankkxfAdxxf=在求积公式中，若0(),()(0,1,,),|()()|[()].kkkkk

nnnkkkkfxfxfknIfIfAfxf=−==−=−若有误差即则有00,0,()(0,,),|()()|[()()],.kknnnkkkkfxfknIfIfAfxfx=−=−=−若只要就有则称求积公定：式是稳定的义00,1,,),.kn若求积公

式中系数A（则求积公式是稳定的定理00()(0,,),||()()().kknnnkkkkkkfxfknRwfxfxwba==−==−=−因为当时有牛顿－柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值多项式建立的数值求积公式。等份分割为将

积分区间nba],[为步长其中nabh−=各节点为nkkhaxk,,1,0,=+=§1牛顿－柯特斯求积公式一、牛顿－柯特斯求积公式],[)(baCxf设函数为插值多项式及余项分别的Lagrangexf)(==nkkk

nxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn+++=而)()()(xRxLxfnn+=因此对于定积分=badxxffI)()(+=banndxxRxL)]()([有=badxxffI)()(==bankkkdxxlxf0)()(+bandx

xR)(==nkkkxfA0)(+bandxxR)(=bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj−−=0)()()(nnIRfIfI+=即有)()(fIfIn==nkkknxfAfI0)()(=banndxxRIR)()(n

阶牛顿－柯特斯求积公式牛顿－柯特斯公式的余项=bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj−−=0thax+=假设],[bax由],0[nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj−−=0dt

hhjkhjtnkjnj−−=00)()(dtjtknkhnkjnjkn−−−−=00)()!(!)1(等距节点时dtjtknknabnkjnjkn−−−−−=00)()

!(!)1()()()(ˆnkkCabA−===nkkknxfAfI0)()(=−=nkknkxfCab0)()()(所以牛顿-柯特斯公式化为称为Cotes系数n11/21/221/64/61/631/83/83/81/

847/9016/452/1516/457/905………………()nkC列出柯特斯系数表开头的一部分下表4-1二、偶数阶求积公式的代数精度定理当阶数n为偶数时，牛顿－柯特斯公式至少有n+1次代数精度。在牛顿－柯

特斯公式中，n=1,2,4时的公式是最常用、也最重要的三个公式；通常称为低阶公式。三、低阶牛顿－柯特斯公式及其余项1.梯形公式及其余项abhbxaxn−====,,,110则取dtt−−=10)1()1(0C柯特斯系数为21=dtt=10)1(1C21=)(1fI=−=10

)1()()(kkkxfCab)]()([210xfxfab+−=上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为)]()([2)(bfafab+−=)(1fIT=求积公式为梯形公式具有1次代数精度dxbxaxfba−−=))((2)(dxbxaxfba−−=))((2)(),(ba

6)(2)(3abf−−=)(12)(3fab−−=梯形公式的余项为TIRT−=1=badxxR)(12.辛普森公式及其余项2,,2,,2210abhbxabxaxn−==+===则取柯特

斯系数为dtttC−−=20)2(0)2)(1(4161=dtttC−−=20)2(1)2(2164=dtttC−=20)2(2)1(4161=求积公式为)(2fI=−=20)2()()(kkkxfCab)]()2(4)([6bfb

afafab+++−=2()If记为S＝称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式辛普森公式的余项为)(2IRRS==badxxR)(2)()2(180)4(4fabab−−−=辛普森公式具有3次代数精度

3.柯特斯公式及其余项4,4,,1,0,,4abhkkhaxnk−==+==则取柯特斯系数为dtttttC)4)(3()2)(1(!44140)4(0−−−−=907=dtttttC)4)(3()

2(!34140)4(1−−−−=9032=dtttttC)4)(3()1(!2!24140)4(2−−−=9012=dtttttC)4)(2()1(!34140)4(3−−−−=9032=dtttttC

)3)(2()1(!44140)4(4−−−−=907=求积公式为)(4fI=−=40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)[(43210xfxfxfxfxfab+++

+−=01234[7()32()12()32()7()]90baCfxfxfxfxfx−=++++上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式柯特斯公式的余项为)(4IRRC==badxxR)(4)()4(945)(2)6(6fabab−−−=柯特斯公

式具有5次代数精度.例:用n=2和n=3的牛顿-柯特斯公式解：求的近似值。dxex−3121.n=2时：7665755.0)4(62232221312=++−−−−eeedxex2.n=3时)33(

8223676521312−−−−−+++eeeedxex766916279.0=（的精确值为0.7668010）dxex−312§2复合求积法复合求积公式余项及收敛的阶算法设计步长的自动选择◼Newton-Cotes积分公式()nkCCotes称为系数。+ba

ndxxR)(()()baIffxdx==−=nkknkxfCab0)()()(()()()bnnnaRIRxdxIf=是数值积分的余项，()0()()()()nnnkkkIfbaCfxIf==−为积分的近似值，◼低阶Newton-Cotes积分公式n=1,

2,4时的Newton-Cotes公式称为低阶公式n=1：梯形公式及其余项)]()([2bfafab+−=1()If梯形公式具有1次代数精度],[ba31()()()12baRIf−=−，·bayx0f(a)f(b)y=f(x)··◼低阶Newton-Cotes积分

公式n=2：辛普森公式及其余项[()4()()]62baabfaffb−+=++()2If辛普森公式具有3次代数精度],[ba4(4)()()()18022babaRIf−−=−，bayx0f(a)f(b)y=f(x)(

a+b)/2····◼低阶Newton-Cotes积分公式n=4：柯特斯公式及其余项01234[7()32()12()32()7()]90bafxfxfxfxfx−=++++()4If柯特斯公式具有5次代数精度],[ba6(6)2()()()()94544bab

aRIf−−=−，◼Newton-Cotes积分法的稳定性8n当时，牛顿－柯特斯公式都是稳定的，()8CotesnknC当时，系数出现负数，公式可能不稳定因此，实际应用中常用低阶Newton-Cotes公式，即：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式。高阶公式稳定性不好，低阶公式精度不高

问题b=xn函数y=f(x)上的数据点a=x0yx0f(a)x1y1f(b)y=f(x)x2xixi+1y2yiyi+1·······复合求积法·将积分区间[a,b]分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶公式计算，然后对所有子区间上的计算结果求和，即得到原定积分的近似

值，这种方法称为复合求积法。1()kkxxfxdx+()[,]bafxdxabn将定积分的积分区间分割为等份，,0,1,,,(),kxakhknhban=+==−各结点为1.复合求积公式1.1复合求积公式由定积分的区间可加性得：()()baIffxdx=

−=+=101)(nkxxkkdxxf（1.1）1.1复合求积公式1()kkxxfxdx+积分公式计算，可得到不同的复合积分法。由(1.1)式，可得到下面的三种的复合求积公式。1[,](0,1,,1)kk

xxkn+=−在子区间上，用不同的1()kkxxNewtonCotesfxdx+−特别，若用低阶求积公式计算x0x1xkxk+1xn11[,]()kkxkkxxxfxdx++在每个子区间上，用梯形公式计算，1.2复合梯形求积公式badxxf)(−=+=

101)(nkxxkkdxxfnT复合梯形公式−=++=101)]()([21nkkkxfxfh++=−=)()(2)(211bfxfafhnkk1.2复合梯形求积公式b=xna=x0yx0f(a)x1y1f(b)y=f(x)x2xixi+1y2yiyi+1

········1.3复合辛普森求积公式kx12kx+1kx+444badxxf)(−=+=101)(nkxxkkdxxfnS44411[,]()kkxkkxxxfxdx++在子区间上，用辛普森公式计算，复合辛普森公式)]()(2)(4)([6111021bfxfxfafhnkknkk

+++=−=−=+1.3复合辛普森求积公式11102[()4()()]6nkkkkhfxfxfx−++==++badxxf)(−=+=101)(nkxxkkdxxfnSxi+1/2=xnxixi+1x1ba=x0yx

0f(a)y1f(b)y=f(x)yiyi+11.3复合辛普森求积公式············)(7)(32)(12)(32)(7[90110434241+−=+++++++=knkkkkkxfxfxfxfxfh)(7)(14)](32)(12)(32[)(7

[901110434241bfxfxfxfxfafnabnkknkkkk+++++−=−=−=+++1.4复合柯特斯求积公式badxxf)(−=+=101)(nkxxkkdxxfnC11[,]()kkxkkxxxfxdx++在子区间上，用柯特斯公式计算2.复合求积法的余

项及收敛阶2.1复合求积公式的收敛阶0()()limnphIfIfch→−=()nIfp则称复合求积公式是阶收敛的。00()()npccIfIf−若存在及且，使其余项满足()nIf对于复合求积公式，定义.1,2,4阶牛顿-柯特斯积分公

式的余项分别为：1()RI)(12)(3fab−−=2()RI)()2(180)4(4fabab−−−=4()RI)()4(945)(2)6(6fabab−−−=积分区间[a,b]上：积分区间[xk,xk+1]上：)(122kfhh−=)(2180)4(4kfhh

−=)(49452)6(6kfhh−=2()[,]fxCab设被积函数，则复合梯形公式的余项为：101min()()max()nkaxbaxbkfxffxn−=由于[,],ab

所以存在使得−==10)(1)(nkkfnf])(12[103−=−=nkkfh−=−=103)(12nkkfh()1nRfIT=−2.2复合梯形公式的余项及收敛阶R1(f)是h的2阶无穷小量，所以0lim()bnnahTfxdx→→=因此复合梯形公式是2阶

收敛的。于是复化梯形公式余项为：),(ba()1Rf)(12)(2fhab−−=2.2复合梯形公式的余项及收敛阶因此复合辛普森公式是4阶收敛的。2.3复合辛普森公式的余项及收敛阶4()[,]fxCab同理，若，则复合辛普森公式的余项为：4(4)()()18022bahRff−

=−(),ab0lim()bnnahSfxdx→→=R2(f)是h的4阶无穷小量，所以因此复合柯特斯公式是6阶收敛的。2.4复合柯特斯公式的余项及收敛阶6()[,]fxCab同理，若，则复合柯特斯

公式的余项为：6(6)2()()()94544bahRff−=−(),ab0lim()bnnahCfxdx→→=R4(f)是h的6阶无穷小量，所以2.5三种复合求积公式比较相关项复合公

式余项收敛阶计算公式增加数据点复合梯形公式O(h2)2很简单0复合辛普森公式O(h4)4较简单1复合柯特斯公式O(h6)6较复杂3例1.sinxx根据函数的如下数据表，分别用8阶复合梯形公式、4阶复合辛普森公式和10sinxIdxx=2阶复合柯特斯公式计算

的近似值，并对结果进行比较分析。010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098)(iixf

x876543210xxxxxxxxxTrapz42133212221112100.xxxxxxxxxSimp++++243121141114302104100xxxxxxxxxCotes++++++n=8时的函数数据表分别由

复合梯形、辛普森、柯特斯公式得：8T])1()(2)0([16171=++=kkfxff94569086.0=4S)]1()(2)(4)0([241313021fxfxffkkkk+++===+94608331.

0=2C=)1(7)(14)](32)(12)(32[)0(7[18011110434241fxfxfxfxffkkkkkk+++++==+++94608307.0=比较三个复合公式的计算结果：8T94569086.0=4S94608331.0=2C9460830

7.0=积分的精确值为=10sindxxxI671839460830703.0=精度最高精度最低3.步长的自动选择通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可[,]nabnI而区间分割的区间数越大，近似值精度越高n同时越大，运算量也越大,,n但太小运算量虽较

小但精度可能又达不到要求取多大值合理呢？那么n1.变步长公式在实际计算中，借助于计算机来完成积分步长h的自动选择，即采用变步长求积公式。具体地讲，就是将步长逐次折半，反复利用复合求积公式，直到满足精度要求为止。2.变步长复合辛普森公式逐次将区间［a，b］分成21，22，…，2m

等份，并按复合抛物线公式逐次计算积分得到S1，S2，…，Sm，而121221220[()4()()]3mmmkkkkhSfxfxfx−−++==++其中2mmbah−=2.变步长复合辛普森公式再把每个子区间分成两半,用21122mmmbahh+−==作步长,按复

合抛物线公式计算出积分的近似值S2m。对于相邻两次的积分近似值Sm、S2m，考察222mmmmmSSdSSS−=−当｜S2m｜＜1当｜S2m｜≥12.变步长复合辛普森公式设给定的精度为ε，若｜d｜＜ε则

以S2m作为所要求的积分近似值，否则继续将区间分半，利用复合抛物线公式求积分，直到满足给定的精度为止。||1,212,12212IIpIhhn−===和计算，取步长折半4.自动选择步长的算法步骤11,1.1Iabhn计算，取−==否则停止计算若,,,2II

=||1,214,.224424IIpIhhn−===和计算，取步长折半否则停止计算若,,,4II=依此类推kII2,,=停止计算直到以上这种方法称为自适应求积法。有时去掉后精度会更高不同的方法P取不同值§3龙贝格积分方法复合梯形公式的递

推化龙贝格算法算法设计梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为1次,3次和5次复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶在代数精度和收敛速度方面,梯形公式都较差但梯形公式形式简单、计算量小有

没有办法改善梯形公式呢?1.复合梯形公式的递推化由前面讨论可知，加密节点可以提高求积公式的精度，复合求积方法对提高精度是行之有效的，但选择合适的步长（即n的选取）是个问题。上节的变步长方法解决了这个问题，即

把区间逐次二分，反复利用复合求积公式进行计算，直到二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。等份分割为的积分区间将定积分nbadxxfIba],[)(=,0,1,,kxakhkn=+=nabh−=各节点为])()(

[2101−=++=nkkknxfxfhT复合梯形公式为--------(1)则不变等份，而分割为如果将,/)(2],[nabhnba−=1,+kkxx经过二分只增加了一个分点)(21121+++=kkkxxx+

+++)()(2)(4121kkkxfxfxfh--------(3)−=++=10212)(221nkknnxfhTT−=++−=++=10211102)(2)]()([4nkkknkknxfhxfxfhT--------(2)用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为这里h仍为二分前的步

长.将每个子区间上的积分值相加得由(1)(2)两式可(3)式称为递推的梯形公式递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式优点：梯形法计算简单缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间多次，分点大量增加，计算量

很大2.龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可知nTI−),(),(122bafhab−−=nTI2−),(),()2(122bafhab−−=假定)()(ff，则有nnTITI−−241nnTITI−−244)(3122nnnTTT

I−−即为的近似值的截断误差约作为因此ITn2)(3122nnnTTTI−−nnnnnTTTTTT3134)(31222−=−+=nT2用积分近似值的误差作为nT2的一种补偿，得到1102411(())3223nnnjjbaITTfxTn−+=−=+−110214(

)()36nnjjbaTfxn−+=−=+11110214()[(()()2()]()326nnjjjjbabafafbfxfxnn−−+==−−=+++111102(()()2()4()]6nnjnjjjbaf

afbfxfxSn−−+==−=+++=复合辛普森公式也就是，相邻的两个梯形值的外推，nnnTTS31342−=即却得到了辛普森公式的值。简单的组合，改变了近似值的代数精度和收敛阶。)(15122nnnSSSI

−−同理，由复合辛普森公式的余项可得nC=nnSSI15115162−由复合柯特斯公式的余项)(63122nnnCCCI−−nR=得nnCCI63163642−通称为龙贝格公式，是一种加速技术一般的，若记)()(0hThT=，则有)10.4()2,1(

)(141)2(144)(11=−−−=−−mhThThTmmmmmm上述处理方法称为理查森外推加速法通常，取m≤3即可。因为当m较大时，校正的效果已经很微小了。设以0()kT表示二分k次后求得的梯形值，且以()mkT0(){}kT表示的m次加速值，则依

递推公式(4.10)可得)12.4(),2,1(141144)(1)1(1)(=−−−=−+−kTTTkmmkmmmkm公式(4.12)也称为龙贝格求积算法)21()41()81()161(21)()2

1()41()81(21)()21()41(21)()21(21)(321043210321021003210hhhhhhhhhhhhhhhhhhh步长T－数表00.920735510.9

3979330.946145920.94457350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831=10sindxxxI例2用龙贝格积分公式求龙贝格积分值R1=0.9460831的每位数字都是有效数字k3T0T2T1T解：由龙贝格公

式得如下T-数表：3.算法设计nnnSTT=−−1442nnnCSS=−−144222nnnRCC=−−144323Romberg序列<?<?<?………………T1=)0(0TT8=)3(0TT4=)2(0TT2=)1(0TS1=)0(1TR

1=)0(3TS2=)1(1TC1=)0(2TC2=)1(2TS4=)2(1TRomberg算法•引言•求积公式••(1)•当求积系数、求积节点都可以自由选取时，其代数精确度最高可以达到多少次?•下面的引理可以回答上

述问题。•1()()()()(,)nbkkakIfxfxdxAfxRf===+1{}nkkA=1{}nkkx=§4Gauss求积公式•引理1当求积系数和求积节点•都可以自由选取时，n点的求积公式(1)的代数精确度•最高可以达到2n-1次。•证假设求积公式(1)具有m次代

数精确度,•即对任意的m次代数多项式••求积公式(1)都精确成立。于是成立等式0()mimimipxaxP==1()()()mbmkmkakxpxdxApx==1{}nkkA=1{}nkkx=•即••(2)•

若记111001()(...)mnbimmikmkmkkaikaxxdxAaxaxaxa−−===++++(),0,1,2,...,biiaxxdxim==则(2)式成为(3)111100...mmmmaaaa−−++++

10111...nnnmmkkkkkkkkaAxaAxaA====+++•由于系数的任意性，故使(3)式•成为恒等式的充要条件是•(4)•(4)式的待定系数有2n个，所以确定待定系数的独立条件至多给出2n个，从而110,,...,,mmaaaa−120112211122nnnmmmnnmA

AAAxAxAxAxAxAx+++=+++=+++=•定义1n点的求积公式(1)具有2n-1次代数精确度(或称为•具有最高的代数精确度)时，称为Gauss型求积公式。•Gauss型求积公

式的求积节点，称为•Gauss点，它们可以通过求区间[a,b]上带权(x)的n次1{}nkkx=()ngx•正交多项式及其性质•定义2若•(1)，则称函数f(x)和g(x)在区间•[a,b]上正交。•(

2)，则称函数f(x)和g(x)在区()()0bafxgxdx=()()()0baxfxgxdx=•(3)代数多项式序列(下标k为多项式•的次数,表示k次多项式)，在区间[a,b]上满足•当mn•0{()}kkgx=()kgx2

0,()()()()(())0bbnmanaxgxgxdxxgxdx=0{()}kkgx=•定义3若n次多项式中含项的系•数为，则称为的首次系数；•时，称•为首次系数为1的n次多项式。()ngxnxndnd()ngx0nd*()()nnngxgxd=•正交

多项式有如下性质:•性质1若是区间[a,b]上带权(x)的正•交多项式序列，则它们线性无关。•证对任意的x[a,b],若，在式子•两边同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并从a到积分0{()}nkkgx=0()0nkkkcgx==0{()}nkkgx=0lc=0

{()}nkkgx=•由性质1可知,若为[a,b]上带权(x)的•正交多项式序列，则序列可以作为空间•的一组基函数,即中的任一元素•可由它们线性表示：0{()}nkkgx=0{()}nkkgx=[,]nPab[,]nPab()n

px0()()nnkkkpxagx==0{}nkka=•性质2若为[a,b]上带权(x)的正交多•项式序列,且,则0{()}kkgx=()[,]nqxPab(1)(2)事实上,由性质1,.由的正交性定义容易证得(1).证(2)也是类似的.0()()n

kkkqxagx=={()}ngx()()()0,1,2,...bkaxqxgxdxknn==++()()0,0,1,2,...,1binaxgxxdxin==−•Gauss型求积公式•由引理1

和定义1可知，n点的求积•公式(1)若具有最高的代数精确度，即•具有2n-1次的代数精确度，为Gauss型•求积公式.1{}nkkx=1{}nkkA=•定理1求积公式(1)中的n个求积节点,取为•区间[a,b]上带权函数(x)的n次正交多项式•的n个根，则求积公式(1)为Gauss型求积

公式。•证设。[a,b]上带权函数(x)的1{}nkkx=()ngx21()[,]nfxPab−n次正交多项式的n个根记为,记其首项系数为.由定义3有因此,(5)其中.()ngx1{}nkkx=nd*1()()()nnnkkngxgxxxd==−=*()()()

(),nfxqxgxrx=+1(),()[,]nqxrxPab−•在(5)式两边同乘(x),并从a到b积分.•由正交多项式的性质可知,含•项的积分为零,所以•(6)•注意到当作为插值节点时建立的n点插值1{}nkkx=*()()ngxqx()()()()bbaaxfxdxxrxdx=求

积公式至少具有n-1次代数精确度,而,所以(7)1()()nnkkkIfAfx==1()[,]nrxPab−1()()()nkknkIrArxIr===•又由(5)式可知,•即(8)•综合(6),(7),(8)式可

知,当时,求积•公式(1)()()(1,2,...,)kkfxrxkn==()()nnIfIr=21()[,]nfxPab−1()()()nbkkakxfxdxArx====nkkkxfA1)(•用n点Gauss求积公式•(9)•之值近似积分值，有下面的误差估计.•定理

2若,则Gauss型求积•公式(1)的误差估计R(,f)为1()()nnkkkIfAfx==()nIf2()[,]nfxCab2*2()(,)()[()](2)!nbnafRfxgxdxn=

*1()()nnkkgxxx==−1{}nkkA=•前面讨论了复合求积公式的收敛性问题．•Gauss型求积公式的收敛性由下面的定理给出.•定理4若f(x)[a,b],则Gauss型求积公式•所求积分值序列1{()()}nnkkkIfAfx==1lim()()()nbkkankAfx

xfxdx→==•Gauss型求积公式的构造与应用•定理1实际上给出了构造Gauss型求积公式的一种方法。•给定[a,b]和(x)，构造n个点的Gauss求积公式：•先求出区间[a,b]上带权函数(x)的n次正交多

项式,()ngx()ngx1{}nkkx=1{}nkkx=•为了求得求积系数,将n个求积节点•代入方程组(4)中的前n个方程并加以求解,•即解线性代数方程组1{}nkkA=1{}nkkx=求得系数,完成Gauss型求积公式的构造.1{}nkkA=120112211122n

nnmmmnnmAAAAxAxAxAxAxAx+++=+++=+++=•例1求使求积公式•具有三次代数精确度.•问题是构造区间[0,1]上带权函数•的两点Gauss型求积公式.•解方法1容易计算出当•时的积分值分别为所求1212,,,,AAxx1

11220()()()(,)xfxdxAfxAfxRxf=++()xx=23()1,,,fxxxx=10()xfxdx2222,,,,3579•故可得为未知数的方程组为•(1)•(2)•(3)•(4)•又因为为Gauss型求积公式的求积节点,•所以它们是区间[01]上带权函数12

11222211223311222/32/52/72/9AAAxAxAxAxAxAx+=+=+=+=12,xx()xx=*2()gx1212,,,,AAxx•不妨记,为此•又因为必须满足方程(2)(3)(4),所以*22()gxxpxq=++*

*2122()()0gxgx==12,xx由可得关于p,q的方程组为**121222**11212222(1)(2)(3)()()0(2)(3)(4)()()0qpAgxAgxqpAxgxAxgx++=+=++=+=222357222579qpqp+=−+=−•解

此方程组得109521pq=−=将所求p,q代入,求得其根为*22()gxxpxq=++120.2899491980.821161912xx•再将所求代入方程(1)(2),联立解得•为此,公式•为所求具有3次代数精确度的求积公式.12,xx10()0.277555

997(0.289949198)xfxdxf=120.2775559970.389110669AA0.389110669(0.821161912)(,)fRxf++•例1方法2求出区间[0,1]上带权函

数•的二次正交多项式,并求出其根,•获得求积节点.再求方程组(4)前两个方程组成•的方程组获得求积系数.()xx=*2()gx12,xx12,AA第二种方法与第一种方法求出的是一样的,后面的求解过程相同.方法2是一种将一组线性无关函数组正交化而得到正交多项式的方法.高于

2次的正交多项式用这样的方法同样可以得到.*2()gx*2()gx2,,1xx•Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现等优点,并且在积分区间[a,b]有限时便于推广到高维数值积分.•不足之处

是公式的构造比较困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的根完全不同,从而造成增加求积节•§6数值微分一、中点方法与误差分析.导数值在某点值的线性组合近似数值微分就是要用函数得到数值微分差商近似导数由导数定义,,(6.1).2)()()(,)()()(,)()(

)(（中点公式）hhafhafafhhafafafhafhafaf−−+−−−+,)(!5)(!4)(!3)(!2)()()()5(5)4(432+++=afhafhafhafhafhafhaf.)(!5)(!3)(2)()()()5(42

+++=−−+=afhafhafhhafhafhG.)(max(6.2,6)()(2xfMMhafhGhax−−其中误差估计.不能太小差角度考越小越好，但从舍入误表面上看hh.2)(},{ma,)()(212121hhhGhafhaf=+=−+的舍入误差，

则计算记和分别有舍入误和设计算.6)()(2hMhhEaf+的误差上界为计算./33Mh=最优步长?),2(四位数字计算,)(设==hfxxf.13.01024)2(4105.033432/34=+=−−hh二、插

值型的求导公式).(),,1,0()()(xPnixfyxfyii建立插值多项式，的节点上的函数已知函数===插值型求导公式.统称为，取(6.3))()(xPxf余项,)(dd)!1()()()!1()

()()()1(11)1(+++++++=−nnnnnfxnxxnfxPxf.)()(),,(01=+−=njjnxxxba其中(6.4)).()!1()()()(1)1(knnknkxnfxPxf+++=−.节

点上的导数值下面考虑在等距节点时两点公式.1,)()()(101001011xfxxxxxfxxxxxP−−+−−=,)()(1)(101xfxfhxP+−=.)()(1)(,)()(1)(01110101xfxfhx

PxfxfhxP−=−=),(2)()(1)(010fhxfxfhxf−−=).(2)()(1)(011fhxfxfhxf+−=)()!1()(1)1(knnxnf+++

三点公式.2.)())(())(()())(())(()())(())(()(2120210121012002010212xfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxP−−−−+−−−−+−−−−=.)()1(21)()2()()2)(

1(21)(21002xfttxfttxfttthxP−+−−−−=+.)]()12()()44()()32[(21)(21002xftxftxfththxP−+−−−=+,)]()(4)(3[21)(21002xfxfxfhxP−+−=,)]()([21)(2012xfxfhxP+−

=.)](3)(4)([21)(21022xfxfxfhxP+−=),(3)]()(4)(3[21)(22100fhxfxfxfhxf+−+−=),(6)]()([21)(2201fhxfxfhxf−+−=).(3

)](3)(4)([21)(22102fhxfxfxfhxf++−=.1,2,)()()()(=kxPxfknk，高阶导数公式,)]()(2)([1)(210202xfxfxfhthxP+−=+如：(6).(12)]()(2)([1)()4(22102

1fhxfxfxfhxf−+−=三、利用数值积分求导,,,,1,0,),()(,)(nabhniihaxxfxxfi−==+==充分光滑设(6,1,,1,d)()()(1111−=+=+−−+nixxxfxf

iixxii.微分公式同的数值积分计算，就得右边积分采用不同的数).,(,)(31)(2d)(11311+−+=+−iiiiixxxxhxhxxii例如，由，),(),(!2)())(()(

)(112+−−+−+=iiiiiiiixxxxxxxxx:式，整理得到中点微分公)6.6(代入得到中矩形公式.)(612)()()(311iiiihhxfxfxf−−=−+).,(,)(901)]()(4)([3d)(11451111

+−+−−++=+−iiiiiiixxxxhxxxhxxii）（将辛普森公式得到),()(，记)6.6(略去余项代入iiixfxm==.1,,2,1,)()(341111−=−=++−++−nixfxfhmmmiiiii)6.7(,)()()

()(41141141142331313300231221−−−−−−=−−−−−nnnhnnhhhnnffffffffffmmmm,)(

)(21,)()(2121021−−−=−=nnnxfxfhmxfxfhm或者取(6.7),m)f(f)f(f)f(fm)f(fmmmm41141141141n3n1nh34n2nh324h3113h32n3n32−−−−−−=

−−−−−−−.可利用追赶法求解四、利用三次样条求导,根据三次样条理论,|)(|max|)()(|max4)4()()(kbxakkkbxahxfCxsxf−−,6

3)0()(11jjjjjjjjjhyyMhMhxsxf−+−−=+++.)(jjMxf,||||241||||3)4(hfsf−.||||83||||2)4(hfsf−五、利用外推方法求数值微分.2)()(

)()(:hhafhafhGaf−−+=中点公式.),2,1(,)()(:24221无关与其中系数公式由hlhhhafhGTaylorlll=+++++=.3)()2(4)(62411+++=−=hhIhGhGhGG(h).(h)G(6.8)

.1,2,(m,14(h)G)2h(G4(h)G0m1m1mmΔm==−−=−−).()()()1(2+=−mmhOafhGP160.习题四:1.2(1、3).7.10.12本章作业感谢聆听