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第十五章集合论后页首页前页第十五章集合论后页首页前页基本要求、重点难点15.1集合15.2关系第十五章集合论后页首页前页基本要求掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。熟悉常用的表示集合的方法。能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系

和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及DeMorgan公式。第十五章集合论后页首页前页

重点难点重点：证明两个集合相等的方法；运用集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式来证明更复杂的集合等式。第十五章集合论后页首页前页15.1集合集合概念是数学中最基本的概念之一，它不具有严格精确的定义，只能给出描述性定义。一般地，把一些确定的、彼此不同的事物作为

一个整体来研究时，这个整体便称为一个集合.组成这个集合的个别事物，称为集合的元素。例如：15.1.1集合的概念与表示方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；表示一个集合的方法通常有两种：列举法

和描述法。列举法是列出集合的所有元素、或其规律。例如：A={a,b,c,d…},B={1,2,3,4…}描述法是将集合中元素的共同属性描述出来，其一般形式为：M=｛x｜x所具有的特征｝第十五章集合论后

页首页前页例如：A=｛y｜y=sinx，x∈R｝B=｛(x，y)｜x2+y2=R2｝C=｛(x，y，z)｜z=x2-y2｝N=｛x｜xZ=｛x｜x为整数｝Q=｛x｜xR=｛x｜x为实数｝A的元素都是集合B的元素，即若x∈A，则有x∈B，则称A是B的子集，B包含

A，记为AB，或BA。例如NZ，ZQ，QR。若AA，且BA，则称集合A与A相等，记为A=B。例如：A=｛x｜x2-1=0｝，B=｛1，-1｝，C=｛x｜x=±1｝A=B=C不含任何元素的集合称为空集，记为.例如：｛x｜x2+1=0，x∈R｝=第十五章集合论后页首页前页在一个具体问题中，如果所

涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记为E。全集是一个相对性概念。由于研究的问题不同，所取的全集也不同，而且并非是惟一的，一般总是取一个比较方便的集合作为全集。例如：在研究函数定义域时，我们取全集E=R。显然对任一集合A有AE设A是一个集合，由

A的所有子集组成的集合，称为集合A的幂集，记为ρ(A)或2A。例15.1.1设:A=，B=｛1｝，C=｛a，b，c｝求:A、B、C的幂集解:ρ(A)=｛｝ρ(B)=｛，｛1｝｝ρ(C)=｛，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝

｛a，c｝，｛b，c｝，｛a，b，c｝｝第十五章集合论后页首页前页定理15.1如果有限集合A中元素的个数(称为集合A的元数)为n，则幂集ρ(A)的元数为2n。证：n元集合A，它的0元子集有C0n个(即)，1元子集有C1n个，…，m元子集有Cmn个，…，n元子集有C

nn个，全部子集共有Cn0+Cn1+…+Cnm+…+Cnn=2n即：幂集ρ(A)的元数为2n第十五章集合论后页首页前页15.1.2集合的运算定义17.1设有全集E，A和B是其中两个任意集合。(1)所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记为A∪B。即

A∪B=｛x｜x∈A或x∈B｝(2)属于A同时又属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记为A∩B。即A∩B=｛x｜x∈A且x∈B｝(3)属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记为A-B。即A-B=｛x｜x∈A且xB｝(4)由E中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，

记为。即=｛x｜x∈E且xA｝第十五章集合论后页首页前页例15.1.1设:E=R，A=｛x｜｜x｜≤3｝，B=｛x｜0＜x＜5｝则：A∪B=｛x｜-3≤x＜5｝A∩B=｛x｜0＜x≤3｝A-B=｛x｜-3≤x≤0｝例15.1.2若：AB

则：A∪B=B，A∩B=A，A-B=为了直观，有时我们用文氏图(Venn)来表示集合，即用矩形圈起来的平面上的点表示E，用封闭曲线圈起来的圆表示集。则集合的四种运算的文氏图表示即为图所示。=｛x｜x＜-

3或x＞3｝A∪BA∩BA-B第十五章集合论后页首页前页图与实数运算满足一些运算律类似，集合的运算也具有许多运算律.设A，B，C为任意集合，则有恒等式如下：(1)交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A(2)结

合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C(3)分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)等幂律A∪A=A，A∩A=A(5)同一律A∪=A，A∩E=A(6)零一律A∩=，A∪E=E(7)互补律A∪=E，

A∩=(8)吸收律A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A(9)摩根律(10)对合律=A例15.1.3A-B=A∩试证：A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)A-(B-C)=A∩(B∩C)=A∩(

∪C)=A∩(∪C)(A-B)∪(A∩C)=(A∩)∪(A∩C)=A∩(∪C)A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)第十五章集合论后页首页前页15.2关系定义15.2两元素按给定顺序排列组成的二元组合称

为一个有序对，记为〈x，y〉。其中x是它的第一元素，y是它的第二元素.对于有序对〈a，b〉和〈c，d〉，当且仅当a=c且b=d时，才称〈a，b〉与〈c，d〉相等，记为〈a，b〉=〈c，d〉。当a≠b时，有序对〈a，b〉≠〈b，a〉。例如，平面上的点(x，y)就是一个有序对。定

义15.3设A、B是两个集合，x∈A，y∈B，则所有有序对〈x，y〉的集合，称为A和B的笛卡尔乘积，记为A×B。15.2.1笛卡尔乘积第十五章集合论后页首页前页例15.2.1设:A=｛1，2｝，B=｛a，b，c｝，则:A×B=｛〈

1，a〉，〈1，b〉，〈1，c〉，〈2，a〉，〈2，b〉，〈2，c〉｝B×A=｛〈a，1〉，〈b，1〉，〈c，1〉，〈a，2〉，〈b，2〉，〈c，2〉｝A×A=｛〈1，1〉，〈2，2〉，〈1，2〉，〈2，1〉｝B×B=｛〈a，a〉，〈a，b〉，〈a，c〉，〈b，

a〉，〈b，b〉，〈b，c〉，〈c，a〉，〈c，b〉，〈c，c〉｝第十五章集合论后页首页前页关系是使用非常广泛的一个词，例如人与人之间有朋友关系，夫妻关系，同学关系，师生关系等；两个数之间有大小关系，相等关系，整除关系，运算关系等；计算机的程

序之间有调用关系等。现在我们将这些关系抽象，用有序对来刻画。15.2.2关系的概念定义15.4若A和B是两个集合，则A×B的任何子集都定义了一个二元关系，简称关系。记R，即RA×B若〈a，b〉∈R，可记为aRb；否则，则记为ab.例如：自然数之间的大于关系＞=｛〈

x，y〉｜x，y∈N，且x＞y｝；人群中的父子关系=｛〈x，y〉｜x，y是人，并且x是y的父亲｝。第十五章集合论后页首页前页定义15.5设R为集合A上的关系.若R=，则称R为空关系，记为A.若R=A×A，则称R为全关系，

记为EA；若R=｛〈a，a〉｜a∈A｝，则称R为恒等关系，记为IA。例15.2.2若:A=｛1，2，3｝则:EA=｛〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉｝，IA=｛〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉｝第十五章集合论后页首页前

页15.2.3关系的性质定义15.6设R是集合A上的关系(1)若对于每一个a∈A，均有aRa，则称关系R是自反的(2)对于任意的a，b∈A，若有aRb，就有bRa，则称R是对称的(3)对于任意的a，b∈A，若有aRb且bRa，必有a=b，则称R是反对称的(4)对于任意的a，

b，c∈A，若有aRb且bRc，就有aRc，则称R是传递的例15.2.5设:A=｛1，2，3，4，5｝，R是A上的关系，定义为R=｛〈x，y〉｜x整除y，x，y∈A｝.试判断R的性质。解:R=｛〈1，1〉，〈

2，2〉，〈3，3〉，〈4，4〉，〈5，5〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈1，4〉，〈1，5〉，〈2，4〉｝.由定义可知，R是自反的，反对称的，传递的。第十五章集合论后页首页前页注意：(1)不是对称的，并非就是反对称的。也就是说，对于某个关

系，可能既不是对称关系，也不是反对称关系。例如，集合A=｛1，2，3｝上的关系R=｛〈1，2〉，〈2，3〉，〈3，2〉｝，R既不是对称的，也不是反对称的。(2)对于某种关系，可能既是对称的，又是反对称的.例如，集合A=｛1，2，3｝上的恒等关系IA=｛〈1，1〉，〈2，2

〉，〈3，3〉｝，就是既是对称的，也是反对称的。第十五章集合论后页首页前页定义15.7设R是集合A上的关系，如果关系R同时具有自反性、对称性、传递性，则称R是等价关系.此时的aRb，又称为a等价于b，记为ab。定义15.8设是A上的等价关系，M是A的一个非空子集，若满足条件：(1)若a∈M，b∈M

，则ab；(2)若a∈M，bM，则a与b不等价。则称子集M为A在关系R上的一个等价类。第十五章集合论后页首页前页例15.2.8整数集Z上关系R＝｛〈x，y〉｜x，y∈Z，x—y被3整除｝。试判断R是否为等价关系；若是，求出所有等价类。解R是自反的，

对称的，传递的，所以R为等价关系。等价类为｛…，—6，—3，0，3，6，…｝，｛…，—5，—2，1，4，7，…｝，｛…，—4，—1，2，5，8，…｝。后页首页前页