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第十一章线性方程组后页首页前页第十一章线性方程组后页首页前页基本要求、重点难点11.1线性方程组的消元法11.2线性方程组解的结构11.3线性代数的应用实例11.4演示与实验十第十一章线性方程组后页首页前页基本要求理解线性方程组解的概念。理解齐次线

性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用行初等变换求线性方程组的通解的方法，会用特

解及相应的导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。第十一章线性方程组后页首页前页重点难点重点：线性方程组的解的理论与求解方法。第十一章线性方程组后页首页前页11.1线性方程组的消元法用消元法解线性方程组的具体做法是

：对方程组反复施行初等变换，化为阶梯形方程组，然后从阶梯形方程组中看出原方程组是有惟一解，无穷多解，无解。这种方法称为高斯消元法。上一章中，我们研究了用克拉默法则和逆矩阵求线性方程组的解。它要求方程组必须是n个未知量和n个方程的线性方程组，而且系数行列式不等于零。对于未知量个数和线

性方程组的个数不相等，或者相等但系数行列式为零时，上一章的两种方法将无能为力。第十一章线性方程组后页首页前页设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组其中系数aij，常数bj都是已知数，xi是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b1,b2,…,bm不全为0时，称方程组（11.1.13）为非

齐次线性方程组；当b1=b2=…=bm=0时，即（11.1.13）称为齐次线性方程组。（2）第十一章线性方程组后页首页前页由n个数k1,k2,…,kn组成的一个有序数组（k1,k2,…,kn），如果将它们依次代入方程组（11.1.13）中的x1,x2,…,xn后，（11.1.13）中的每个方程

都变成恒等式，则称这个有序数组（k1,k2,…,kn）为方程组（11.1.13）的一个解。显然由x1=0,x2=0,…,xn=0组成的有序数组（0,0,…,0）是齐次线性方程组（2）的一个解，称之为齐次线性方程组（2）的无解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时

，称之为非零解。非齐次线性方程组（1）的矩阵表示形式为：可用矩阵形式表示为AX=b称A为方程组（1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。第十一章线性方程组后页首页前页将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵称为方程组（1）的增广矩阵。齐次线

性方程组（2）的矩阵表示形式为：AX=O(11.1.20)。定理11.1线性方程组(11.1.13)有解的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r(A)=r(B).对于方程组(11.1.14)中，若b=(0，0，…，0)T，则方程组为AX

=O，(11.1.20)称为齐次线性方程组。第十一章线性方程组后页首页前页定理11.2齐次方程组(11.1.20)一定有解：若r(A)=n则只有零解；它有非零解的充要条件是r(A)＜n。由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数：(1)

当m＜n时，r(A)≤m＜n，此时方程组(11.1.20)一定有非零解，即齐次方程中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m=n时，方程组(11.1.20)有非零解的充要条件是它的系数行列式d

etA=0(3)当m=n且r(A)=n时，此时系数矩阵的行列式detA≠0，故方程组(11.1.20)只有零解；(4)当m＞n时，此时r(A)≤n，故存在方程组(11.1.20)的同解方程组，使“m≤n”。第十一章线性方程组后页首页前页在10.3.2中我们给出了两个特殊的

矩阵——列向量和行向量，为了讨论方便用小写的希腊字母a，β，…表示，而对于n元线性方程组(11.1.13)，每一个方程的系数都可以看成一个n维行向量，即αi=(ai1，ai2，…，ain)(i=1，2，…，m)，

共有m个n维行向量a1，a2，…，am，叫做系数矩阵的行向量组。每个未知数的系数构成一个列向量共有n个列向量，称为系数矩阵m维列向量组。相应地，方程组(11.1.13)的常数项也可以表为一个m维列向量：可见，线性方程组(11.1.13)与n+1个m维列向量组β1，β2

…，βn，β之间是一一对应的。可用向量组表示方程组。若方程组有解，即存在x1,x2,…,xn，使得β=x1β1+x2β2+…+xnβn成立，此时称β是向量组β1,β2,…,βn的线性组合。11.2线性方程组解的结构第十一章线性方程组后页首页前页11.2.1向量的线性相关性

定义11.1设a1，a2…,αm和α都是n维行(列)向量，若存在一组数λ1,λ2,…,am，使得α=λ1α1+λ2α2+…+λmαm，则称向量α是向量组α1,α2,…,αm的线性组合或称α可由向量组α1,α2,…,αm线

性表出。由此可得：方程组(11.1.13)有解的充要条件是β可由向量组β1，β2…，βn线性表出。例11.2.1求证任一n维向量α=(a1，a2…,αn)是向量组ε1=(1，0，…，0)，ε2=(0，1，

…，0)，…，εn=(0，0，…，1)的线性组合。证事实上，令λ1=a1，λ2=a2，…，λn=an，则有α=(a1，a2，…，an)=a1ε1+a2ε2+…+anεn.即向量α是向量组ε1，ε2，…，εn的线性组合，或者说任意n维向量可由向量组ε1，ε2，…，εn线性表出。向量组

ε1，ε2，…，εn称为n维单位向量组。第十一章线性方程组后页首页前页定义11.2设n维向量α1,α2,…,αm，若存在一组不全为零的实数λ1,λ2,…,λm，使λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0成立，则称向量组α1,α2,…,α

m线性相关。否则，称向量组α1,α2,…,am线性无关。定义11.3在向量组α1,α2,…,αm中，若有r个向量(r≤m)线性无关，而任意添加一个向量(r个向量之外还有的话)都是线性相关，则称这r个向

量构成的部分向量组称为原向量组的极大线性无关组，简称极大无关组。第十一章线性方程组后页首页前页11.2.2齐次线性方程组解的结构设线性方程组(11.1.13)，写成矩阵形式如(11.1.14)的形式，当b1=b2=…=bm=

0，即b为零向量时，为齐次方程组(11.1.20)。也称为方程组(11.1.14)的导出方程组。方程组的解是一个列向量X=(x1，x2，…，xn)T，称为方程组的解向量。设齐次方程组(11.1.20)有非零解，则它的解有下述性质：第

十一章线性方程组后页首页前页定义11.4设ξ1，ξ2，…，ξs是方程组(11.1.20)的一组解向量，并且：(1)ξ1，ξ2，…，ξs线性无关；(2)方程组(11.1.20)的任一解向量ξ都可由向量组ξ1，ξ2，…，ξs线性表出。则称ξ1，ξ2，…，ξs是线性方程组(11

.1.20)的一个基础解系。定理11.3若齐次线性方程组(11.1.20)的系数矩阵A的秩r＜n(r≥0)，那么方程组(11.1.20)有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n-r。第十一章线性方程组后页首页前页对于齐次线性方程组，其向量方程

形式为：Ax=O，它的解向量可用通式表示为：ξ=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r，(其右端的ξ1,ξ2,ξn-r都是解向量：若取k1=1，其余的k为0，即可看出ξ1为解向量，...。)故我们可以说，Ax=

0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。是解空间的一个基。第十一章线性方程组后页首页前页11.2.3非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组(11.1.13)的解与它的导出方程组(11.1.20)的解之

间有密切的关系，具有以下两个性质：第十一章线性方程组后页首页前页定理11.4若η*是方程组(11.1.13)的一个解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是它的导出组(11.1.20)的一个基础解系，则方程组(11.1.13)的全部解为η=η*+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，(11.2.5)。其

中k1，k2，…，kn-r是任意实数。证先证η是方程组(11.1.13)的一个解。事实上，由于Aη=A(η*+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r)=Aη*+k1Aξ1+k2Aξ2+…+kn-rAξn-r=b+O+…+O=b.再证方程组(11

.1.13)的任意解都可以用式(11.2.5)表示。设η是方程组(11.1.13)的任意一个解，则由性质11.3知，η-η*可由导出组的一个基础解系表出，即有η-η*=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r

，于是，η=η*+k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r.第十一章线性方程组后页首页前页11.3线性代数的应用实例11.3.1线性规划问题例11.3.1第十一章线性方程组后页首页前页线性规划问题的一般形式如下：设有n个变量x1,x2,…,xn满足S称为目标函数，式(11.

3.3)称为约束条件。引入新的非负变量(称为松弛变量)x3,x4,x5就可以使不等式组(11.3.2)变为一组等式。因为2x1+x2比80小，加上某个正数量x3，使得它们的和为80。类似地，也可以使式(1

1.3.2)的另外两式变为等式，于是，有第十一章线性方程组后页首页前页显然，满足式(11.3.4)和式(11.3.5)的解xi(i=1,2,3,4,5)中的x1,x2必定满足式(11.3.1)和式(11.3.2)，因此，求满足式(11.3.5)的解xi(

i=1,2,3,4,5),使50x1+30x2+0x3+0x4+0x5(即式(11.3.4))取最大值，其中的x1、x2就是原线性规划问题的解。因此，我们将公式(11.3.3)改写成等式形式，称为线性规划问题的标准形式，即其中bi

≥0(i=1,2,…,m).满足公式(11.3.6)的x1,x2,…,xn称为线性规划问题的最优解，相应地maxS=S0称为该问题的最优值。第十一章线性方程组后页首页前页11.3.2线性规划问题的初等解法如果把S亦视

为一个变量，公式(11.3.6)写为第十一章线性方程组后页首页前页11.4演示与实验十11.4.1实验目的1.学习用Mathematica判定非齐次线性方程组解的存在性；2.学习用Mathematica求齐次线性方程组的基础解系和通解；3.学习用Mathematica求非齐次线性方程组

的通解和特解。第十一章线性方程组后页首页前页11.4.2内容与步骤1.用Mathematica判定非齐次线性方程组解的存在性。根据线性方程组解的存在性定理，只要求出系数矩阵和增广矩阵的秩，即可判定方程组的解是否存在。求矩阵的秩，除可以用10.6

.2中的方法外，还可以用下面的命令：n-Length［NullSpace［A］］其中，n是矩阵A的列数，Length［NullSpace［A］］是齐次线性方程组AX=O的基础解系所含解的个数。第十一章线性方程组后页首页

前页2.用Mathematica求齐次线性方程组的基础解系和通解(1)求AX=O的基础解系用下面命令：NullSpace［A］(2)AX=O的通解用下面的命令：Solve［｛方程组｝］第十一章线性方程组后页首页前页3.用Mathematica求非齐次线性方程组的通解和特解(1)

求非齐次线性方程组的通解可直接用Solve命令，格式如下：Solve［｛方程组｝］(2)求非齐次线性方程组的特解或惟一解可以用下面命令：LinearSolve［系数矩阵，常数项矩阵］后页首页前页